1、目 录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题例 2 2012 年苏州市中考第 29 题例 3 2012 年黄冈市中考第 25 题例 4 2010 年义乌市中考第 24 题例 5 2009 年临沂市中考第 26 题例 6 2008 年苏州市中考第 29 题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例 1 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题例 2 2012 年扬州市中考第 27 题例 3 2012 年临沂市中考第 26 题例 4 2011 年湖州市中考第 24 题例 5 2011 年盐城市中考第 28 题例 6 2010
2、年南通市中考第 27 题例 7 2009 年江西省中考第 25 题1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2013 年山西省中考第 26 题例 2 2012 年广州市中考第 24 题例 3 2012 年杭州市中考第 22 题例 4 2011 年浙江省中考第 23 题例 5 2010 年北京市中考第 24 题例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题例 7 2008 年河南省中考第 23 题1.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题例 2 2012 年福州市中考第 21 题例 3 2012 年烟台市中考第 26 题例 4 2011 年上海市中考第 2
3、4 题例 5 2011 年江西省中考第 24 题例 6 2010 年山西省中考第 26 题例 7 2009 年江西省中考第 24 题1.5 因动点产生的梯形问题例 1 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题例 5 2010 年杭州市中考第 24 题例 7 2009 年广州市中考第 25 题1.6 因动点产生的面积问题例 1 2013 年苏州市中考第 29 题例 2 2012 年菏泽市中考第 21 题例 3 2012 年河南省中考第 23 题例 4 2011 年南通市中考第 28 题例 5 2010 年广州
4、市中考第 25 题例 6 2010 年扬州市中考第 28 题例 7 2009 年兰州市中考第 29 题1.7 因动点产生的相切问题例 1 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题例 2 2012 年河北省中考第 25 题 例 3 2012 年无锡市中考第 28 题1.8 因动点产生的线段和差问题例 1 2013 年天津市中考第 25 题例 2 2012 年滨州市中考第 24 题例 3 2012 年山西省中考第 26 题第二部分 图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例 1 2013 年宁波市中考第 26 题例 2 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题例 3 2
5、012 年连云港市中考第 26 题例 4 2010 年上海市中考第 25 题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例 1 2013 年菏泽市中考第 21 题例 2 2012 年广东省中考第 22 题 例 3 2012 年河北省中考第 26 题 例 4 2011 年淮安市中考第 28 题例 5 2011 年山西省中考第 26 题例 6 2011 年重庆市中考第 26 题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2013 年南京市中考第 26 题例 2 2013 年南昌市中考第 25 题3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例 1 2013 年上海市黄浦区
6、中考模拟第 24 题例 2 2013 年江西省中考第 24 题声 明选自东师范大学出版社出版的挑战中考数学压轴题 （含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题， 并把它们分为 4 部分、24 小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。挑战中考数学压轴题自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。由于格式问题，该书最具特色的电脑课
7、件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax 2bx（a0）经过点 A和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似请打
8、开超级画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1第（2）题把求AOM 的大小，转化为求BOM 的大小2因为BOMABO30，因此点 C 在点 B 的右侧时，恰好有ABC AOM 3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC 与AOM 相似满分解答（1）如图 2，过点 A 作 AH y 轴，垂足为 H在 Rt AOH 中，AO2， AOH30，所以 AH1，OH 所以 A 3(1,3)因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点，设 yax(x2
9、)，代入点 A ，可得 ,a图 2所以抛物线的表达式为 233()yxx（2）由 ，231yx得抛物线的顶点 M 的坐标为 所以 3(,)3tanBOM所以BOM30所以AOM150（3）由 A 、B (2,0)、M ，(1,)(1,)得 ， ， 3tanABO223OM所以ABO30， A因此当点 C 在点 B 右侧时， ABCAOM150ABC 与AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当 时， 此时 C(4,0)3O23BAC如图 4，当 时， 此时 C(8,0)ABM6图 3 图 4考点伸展在本题情境下，如果ABC 与BOM 相似，求点 C 的坐标如图 5，因为BOM 是 30底角的等腰
10、三角形，ABO30，因此ABC 也是底角为 30的等腰三角形，ABAC ，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0)图 5例 2 2012 年苏州市中考第 29 题如图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别1()44yx交于点 A、B （点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在
11、第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29”，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在 OQAB 的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b
12、 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b, 0) ，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PD x 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE 设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bxx解得 所以点 P 的坐标为( )165x6,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA111()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩
13、形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQA QOA BAQO2BA所以 解得 所以符合题意的点 Q 为( )2()1b83b1,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQA QOA此时OQB90BAQ所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOAC14b4A图 4 图 5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、 O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两
14、直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾例 3 2012 年黄冈市中考模拟第 25 题如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与(2)yxy 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使
15、得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于 45观察右图，可以体验到，CBF 保持 45，存在BFC BCE 的时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方
16、程满分解答（1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m41(2)yxm124()（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2) 4x所以 SBCE 62BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 4HP323(,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 ，即 时，BCE FBCB设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmEOC1()2mx解得 xm2所以 F(m2, 0
17、)由 ，得 所以 COBFE24mBF2(4)m由 ，得 2 2()整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCE BFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xm解得 x2m所以 F 所以 BF2m 2， (2,0) (2)由 ，得 解得 BCE 综合、，符合题意的 m 为 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长例 4 2010 年义乌市中考第 24 题如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过
18、点 O（0，0） 、A （2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、 A1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点
19、 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P 、 Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2x 1 随 S 的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果GAFGQE ，那么GAF 与GQE
20、 相似思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y 13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点为 M（1， ） 12184yx8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 ，由此得到22()3()6Sx由于 ，所以 整理，得13sx23y2211yx因此得到 221()()84x7S当 S=36 时， 解得 此时点 A1 的坐标为（6，3） 21,.12,8.x
