1、第 1 页（共 16 页）2017 高考一轮复习 圆锥曲线大题一选择题（共 1 小题）1 （2012 秋黄州区校级期末）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2y2=6 的左支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是（ ）A （ ） B （ 1，1） C （ ） D （ ）二填空题（共 2 小题）2 （2014 秋烟台期末）已知（4，2）是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点，则l 的方程是 3 （2013和平区校级模拟）过点 M（2，2p）作抛物线 x2=2py（p0）的两条切线，切点分别为 A、B，若线段 AB 中点的纵坐标为 6，则抛物线的方程为 三解答题（共 9 小题）4 （201
2、5 春杭州期中）已知圆 C 的圆心在坐标原点，且被直线 3x+4y+15=0 截得的弦长为8（）试求圆 C 的方程；（）当 P 在圆 C 上运动时，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为线段 PD 上一点，且|MD|= |PD|求点 M 的轨迹方程5 （2011陕西）如图，设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且|MD |= |PD|（）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程（）求过点（3，0）且斜率 的直线被 C 所截线段的长度6 （2013新课标 ）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： （ab0）右焦点的直线
3、x+y =0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 （）求 M 的方程第 2 页（共 16 页）（）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值7 （2014 秋安徽月考）已知椭圆 C： + =1（a b0）的离心率 e= ，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为 2（）求椭圆 C 的方程；（）已知 P（0，2） ，过点 Q（ 1，2）作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点（异于 P） ，直线PA、PB 的斜率分别为 k1、k 2试问 k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由
4、8 （2015 秋新乡校级月考）已知椭圆 C 的方程为 + =1（ab0） ，左、右焦点分别为 F1、F 2，焦距为 4，点 M 是椭圆 C 上一点，满足 F1MF2=60，且 =（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P（0，2）分别作直线 PA、PB 交椭圆 C 于 A、B 两点，设 PA、PB 的斜率分别是 k1，k 2，且 k1+k2=4，求证：直线 AB 过定点，并求出直线 AB 的斜率 k 的取值范围9 （2013 秋丰台区期末）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点 F（1，0） ，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点（）求抛物线 C 的方程；（）若直线
5、OA，OB 的斜率之积为 ，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点10 （2014 秋 邛崃市校级月考）已知 A、B 是抛物线 y2=2px（p0）上的两点，且OAOB（O 为坐标原点） ，求证：（1）A、B 两点的横坐标之积为定值；（2）直线 AB 经过定点11 （2012东城区二模）已知椭圆 的左焦点 F1（1，0） ，长轴长与短轴长的比是 （）求椭圆的方程；（）过 F1 作两直线 m，n 交椭圆于 A，B，C ，D 四点，若 mn，求证：为定值12 （2015四川）如图，椭圆 E： =1（ab0）的离心率是 ，点 P（0，1）在短轴 CD 上，且 =1（）求椭圆 E 的方程；（）设 O 为
6、坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A、 B 两点是否存在常数 ，使得 + 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由第 3 页（共 16 页）第 4 页（共 16 页）2017 高考一轮复习 圆锥曲线大题参考答案与试题解析一选择题（共 1 小题）1 （2012 秋黄州区校级期末）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2y2=6 的左支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是（ ）A （ ） B （ 1，1） C （ ） D （ ）【分析】根据直线 y=kx+2 与双曲线 x2y2=6 的左支交于不同的两点，可得直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，进而构造关于 k 的不等式组，解不等式可得
7、答案【解答】解：联立方程 得（1k 2） x24kx10=0若直线 y=kx+2 与双曲线 x2y2=6 的左支交于不同的两点，则方程有两个不等的负根解得：k（ ）故选 D【点评】本题考查的知识点圆锥曲线中的范围问题，其中分析出题目的含义是直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，是解答的关键二填空题（共 2 小题）2 （2014 秋烟台期末）已知（4，2）是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点，则l 的方程是 x+2y8=0 【分析】设直线 l 与椭圆交于 P1（x 1，y 1） 、P 2（x 2，y 2） ，由“点差法”可求出直线 l 的斜率k= = = = = 再由由点斜式可得 l
8、 的方程第 5 页（共 16 页）【解答】解：设直线 l 与椭圆交于 P1（x 1，y 1） 、P 2（x 2，y 2） ，将 P1、P 2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率k= = = = = 由点斜式可得 l 的方程为 x+2y8=0【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法” 3 （2013和平区校级模拟）过点 M（2，2p）作抛物线 x2=2py（p0）的两条切线，切点分别为 A、B，若线段 AB 中点的纵坐标为 6，则抛物线的方程为 x 2=2y 或 x2=4y 【分析】设过点 M 的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于 0，再利用韦达定理
9、，结合线段 AB 中点的纵坐标为 6，可求抛物线的方程【解答】解：设过点 M 的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x2）与抛物线的方程联立消 y得：x 22pkx+4pk+4p2=0此方程的判别式等于 0，pk 24k4p=0设切线的斜率分别为 k1，k 2，则 k1+k2=此时 x=pk，y=设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 12=y1+y2=2（k 1+k2）+4p=p 23p+2=0p=1 或 p=2所求抛物线的方程为 x2=2y 或 x2=4y故答案为：x 2=2y 或 x2=4y【点评】本题考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，考查中点坐标公式，属于中档题三解答
10、题（共 9 小题）4 （2015 春杭州期中）已知圆 C 的圆心在坐标原点，且被直线 3x+4y+15=0 截得的弦长为8（）试求圆 C 的方程；（）当 P 在圆 C 上运动时，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为线段 PD 上一点，且|MD|= |PD|求点 M 的轨迹方程第 6 页（共 16 页）【分析】 （）求出到直线 3x+4y+15=0 的距离，利用 ，求出圆的半径，即可求出圆 C 的方程；（）设点 M 的坐标是（x，y） ，P 的坐标是（x P，y P） ，确定坐标之间的关系，利用 P 在圆 x2+y2=25 上，求点 M 的轨迹方程【解答】解：（）已知圆 C 的圆心在坐标原
11、点，且被直线 3x+4y+15=0 截得的弦长为 8，而圆心到直线 3x+4y+15=0 的距离 d=3，由弦长公式得 ，所以 r=5所以所求圆的方程为 x2+y2=25；（5 分）（）设点 M 的坐标是（x，y） ，P 的坐标是（x P，y P） ，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|= |PD|，x P=x，且 yP= y，P 在圆 x2+y2=25 上，x 2+（ y） 2=25，整理得 ，即 C 的方程是 （ 5 分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查代入法求圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题5 （2011陕西）如图，设
12、 P 是圆 x2+y2=25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且|MD |= |PD|（）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程（）求过点（3，0）且斜率 的直线被 C 所截线段的长度【分析】 （）由题意 P 是圆 x2+y2=25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影，M 为 PD 上一点，且|MD|= |PD|，利用相关点法即可求轨迹；（）由题意写出直线方程与曲线 C 的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度【解答】解：（）设 M 的坐标为（x，y）P 的坐标为（x p，y p）第 7 页（共 16 页）由已知得：P 在圆上， ，
13、即 C 的方程为 （）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为： ，设直线与 C 的交点为 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2） ，将直线方程 即：，线段 AB 的长度为|AB|= = 【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式6 （2013新课标 ）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： （ab0）右焦点的直线 x+y =0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 （）求 M 的方程（）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值【分析
14、】 （）把右焦点（c，0）代入直线可解得 c设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段AB 的中点 P（ x0，y 0） ，利用“ 点差法”即可得到 a，b 的关系式，再与 a2=b2+c2 联立即可得到 a，b，c（）由 CDAB，可设直线 CD 的方程为 y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|把直线 x+y =0 与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用 S 四边形 ACBD= 即可得到关于 t 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值【解答】解：（）把右焦点（c，0）代入直线 x+y =0 得 c+0 =0，解得 c
15、= 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点 P（x 0，y 0） ，第 8 页（共 16 页）则 ， ，相减得 ， ， ，又 = ， ，即 a2=2b2联立得 ，解得 ，M 的方程为 （）CDAB，可设直线 CD 的方程为 y=x+t，联立 ，消去 y 得到 3x2+4tx+2t26=0，直线 CD 与椭圆有两个不同的交点，=16t 212（2t 26）=728t 20，解3t 3（*） 设 C（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） ， ， |CD|= = =联立 得到 3x24 x=0，解得 x=0 或 ，交点为 A（0， ） ，B ，|AB|= = 第
16、9 页（共 16 页）S 四边形 ACBD= = = ，当且仅当 t=0 时，四边形 ACBD 面积的最大值为 ，满足（*） 四边形 ACBD 面积的最大值为 【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、 “点差法” 、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力7 （2014 秋安徽月考）已知椭圆 C： + =1（a b0）的离心率 e= ，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为 2（）求椭圆 C 的方程；（）已知
17、 P（0，2） ，过点 Q（ 1，2）作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点（异于 P） ，直线PA、PB 的斜率分别为 k1、k 2试问 k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由【分析】 （）留言椭圆的离心率，a、b、c 的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆 C 的方程；（）利用直线斜率存在与不存在两种情况，通过直线方程与椭圆的方程，求出 A、B 坐标，求出直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k 2k 1+k2 为定值【解答】解：（）由题意得 ，解得 a2=8，b 2=4，所以椭圆 C 的方程为 =15 分（）k 1+k2 为定值 4，证明如下：6 分第 1
18、0 页（共 16 页）（）当直线 l 斜率不存在时， l 方程为 x=1，由方程组 易得 ， ，于是 k1= ，k 2= ，所以 k1+k2=4 为定值8 分（）当直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y（ 2）=k x（1），即 y=kx+k2，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由方程组 ，消去 y，得（1+2k 2）x 2+4k（k2）x+2k 28k=0，由韦达定理得 （*） 10 分k 1+k2=2k+（k 4） ，将（*）式代入上式得 k1+k2=4 为定值13 分【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力8 （2015 秋新乡校级月考）已知椭圆 C 的方程为 + =1（ab0） ，左、右焦点分别为 F1、F 2，焦距为 4，点 M 是椭圆 C 上一点，满足 F1MF2=60，且 =（1）求椭圆 C 的方程；
