1、2017 备战 高考数 学压轴题 集合1 （本小题满分 14 分）如图，设抛物线 的焦点为 F，动点 P 在直线 上运动，过 P 作抛2:xyC 02:yxl物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛 物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨 迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点 A、B 坐标分别为 ，)(,),(012120xx和切线 AP 的方程为： ;20yx切线 BP 的方程为： 211解得 P 点的坐标为： 100,xyxPP所以APB 的重心 G 的坐标为 ，PG310 ,34)(33 210210102010 pPG yxxxyy 所以 ，
2、由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：24Gpx).24(31,0)( xyyx即（2）方 法 1：因为 ).41,(),41,(, 201020 xFBxFFA由于 P 点在 抛物线外，则 .|P ,|41)41(|2|cos 0202010 FPxxFxAF 同理 有 ,|41)41(|cos 0221010 FPxxFPBP AFP= PFB.方法 2：当 所以 P 点坐标为 ，,0,00011 yxxx 则不 妨 设由 于时 )0,2(1x则 P 点到直线 AF 的距离为： ,41:;2| 21 xyBFd 的 方 程而 直 线即 .041)(21xyx所以 P
3、 点到 直线 BF 的距离为： 2|41|)()41(|2| 12112 xxxd 所以 d1=d2，即得AFP=PFB.当 时，直线 AF 的方程：0x ,041)(),0410202 xyxxy即直线 BF 的方程： ,41)(),(041212 yxy即所以 P 点到直线 AF 的距离为：，同理可得到2|41)(2|)41(2)(| 1002020010201 xxxxd P 点到直线 BF 的距离 ，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB.|012d2 （本小题满分 12 分）设 A、B 是椭圆 上的两点，点 N（1， 3）是线段 AB 的中点，线段 AB23yx的垂直平分线与椭圆相
4、交于 C、D 两点.（）确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；（）试判断是否存在这样的 ，使得 A、B、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（）解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 ，23,)1(yxxky代 入整理得 .0)3()(2)3( 22 kxkxk设 是方程的两个不同的根，211,yBA则 ,0)3()(422k且 由 N（1 ，3）是线段 AB 的中点，得,21x.)(,22 k解得 k=1，代入得， 的取值范围是（12 ，+）.即,1于是，直线 A
5、B 的方程为 04),(3yxy即解法 2：设 则有),(),(21xBA.0)(3 2121212121 yyyx依题意， .)(3,2121 xkABN（1，3）是 AB 的中点， .1,6,21ABky从 而又由 N（1，3）在椭圆内， 32 的取值范围是（12，+ ）.直线 AB 的方程为 y3= （x1） ，即 x+y4=0.（）解法 1：CD 垂直平分 AB，直线 CD 的方程为 y3=x1，即 xy+2=0 ，代入椭圆方程，整理得 .042又设 CD 的中点为 是方程的两根，),(),(43yxDC43,),(xyxC则 ).23,1(2121043043 Mx 即且于是由弦长公
6、式可得 .|)(| 432xk将直线 AB 的方程 x+y4=0，代入椭圆方程得 01682同理可得 .)(|1| 212xkAB当 时，2 |,)()3( CDAB假设存在 12，使得 A、B、C 、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，点 M 为圆心.点 M 到直线 AB 的距离为 .23|421|4|0yxd于是，由、式和勾股定理可得 .|23129| 222 CDABA故当 12 时， A、B、C、D 四点匀在以 M 为圆心， 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D 共圆 ACD 为直角三角形，A 为直角 |AN|2=|CN|DN|，即 ).2|)(|
7、()2|( d由式知，式左边 ,1由和知，式右边 ,2193)23()23( 式成立，即 A、B、C、 D 四点共圆.解法 2：由（）解法 1 及 12,CD 垂直平分 AB， 直线 CD 方程为 ，代入椭圆方程，整理得13xy.042x将直线 AB 的方程 x+y4=0，代入椭圆方程，整理得.1682解和式可得 .231,2432,1 xx不妨设 )23,1(),(),3,( DCA 23,21C)1,33(DA计算可得 ，A 在以 CD 为直径的圆上.0C又 B 为 A 关于 CD 的对称点，A、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明 ACAD）3 （本小题满分 14 分）已知
8、不等式 为大于 2 的整数， 表示不超过nn其 中,log21321 log2n的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足n2log na,4,),0(11 abann（）证明 ,53,log22bn（）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明） ；na（）试确定一个正整数 N，使得当 时，对任意 b0，都有n.51na本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.（）证法 1：当 ,1,0,2 11annnn 时即 ,1nan于是有 .1,31,22312 naan所有不等式两边相加可得 .1n由已知不等式知，当 n3 时有， .log21nan .log2.llo
9、g21, 21 nbabba nn 证法 2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式nf3)( .,54,)(1nbfan（i）当 n=3 时， 由 .)3(1231312 bfaaa知不等式成立.（ii）假设当 n=k（k3 ）时，不等式成立，即 ,)(1bkfak则 )()(1)()1(1 fkaakkk ,)1()1()()( bkfbkfbfk 即当 n=k+1 时，不等式也成立.由（i） 、 （ii）知， .,543,)(1nbfan又由已知不等式得 .,543,log2log22nbn（）有极限，且 .0limna（） ,51log2,llog222 nb令则有 ,04,10log1nn
10、故取 N=1024，可使当 nN 时，都有 .5a4如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA 1|A 1F1|21 ()求椭圆的方程；()若点 P 为 l 上的动点，求F 1PF2 最大值本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分 14 分.解：() 设椭圆方程为 ，半焦距为 ，则20xyabc2112222,4,3,1.4aMAFaccabcxy由 题 意 ,得 故 椭 圆 方 程 为() 0,P设 0 0112221 00212
11、0012 1212350, 5tan .55tanrc.yyFkPFkMPykFyyyFPFPP设 直 线 的 斜 率 ,直 线 的 斜 率 为 锐 角 。 当 ， 即 =时 ， 取 到 最 大 值 ， 此 时 最 大 ，故 的 最 大 值 为5已知函数 和 的图象关于原点对称，且 fxg2fx()求函数 的解析式；()解不等式 ；1gxfx()若 在 上是增函数，求实数 的取值范围h, 本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分 14 分.解：() 设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，则yfx0,Qxy,
12、Pxy00,2.,xyy即点 在函数 的图象上0,Qxfx 222,yygx， 即 故()由 2110gxfxx， 可 得当 时， ，此时不等式无解.120当 时， ，解得 .xx2x因此，原不等式的解集为 .1,（） 21hxxx 41,当 时 ， 在 上 是 增 函 数 ， 1.x当 时 ， 对 称 轴 的 方 程 为） 1,.当 时 ,解 得） ,0.当 时 解 得0.综 上 ，6(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分.对定义域分别是 Df、D g 的函数 y=f(x) 、y=g(x),f(x)g(x)
13、 当 xDf 且 xDg规定: 函数 h(x)= f(x) 当 xDf 且 x Dgg(x) 当 x Df 且 xDg若函数 f(x)= ,g(x)=x2,xR,写出函数 h(x)的解析式;1x求问题(1)中函数 h(x)的值域;(3)若 g(x)=f(x+), 其中 是常数,且 0,请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x),及一个 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明.解 (1)h(x)= x(-,1)(1,+)121 x=1(2) 当 x1 时, h(x)= =x-1+ +2,2x1若 x1 时, 则 h(x)4,其中等号当 x=2 时成立若 x1 时, 则 h(x) 0,其中
14、等号当 x=0 时成立函数 h(x)的值域是 (-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,= 4则 g(x)=f(x+)= sin2(x+ )+cos2(x+ )=cos2x-sin2x,4于是 h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令 f(x)=1+ sin2x, = ,2g(x)=f(x+)= 1+ sin2(x+)=1- sin2x,2于是 h(x)= f(x)f(x+)= (1+ sin2x)( 1- sin2x)=cos4x.7(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,
15、 第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分.在直角坐标平面中,已知点 P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中 n 是正整数.对平面上任一点 A0,记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点, A2 为 A1 关于点 P2 的对称点, , AN 为 AN-1 关于点 PN的对称点.(1)求向量 的坐标;20(2)当点 A0 在曲线 C 上移动时, 点 A2 的轨迹是函数 y=f(x)的图象,其中 f(x)是以 3 为周期的周期函数,且当 x(0,3时,f(x)=lgx. 求以曲线 C 为图象的函数在(1,4 上的解析式;(3)对任意偶数 n,用 n 表示向量 的坐标
16、.n0解(1)设点 A0(x,y), A0 为 P1 关于点的对称点 A0 的坐标为(2-x,4-y),A1 为 P2 关于点的对称点 A2 的坐标为(2+x,4+y), =2,4.0(2) =2,4,2f(x)的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位, 再向上平移 4 个单位得到.因此, 曲线 C 是函数 y=g(x)的图象, 其中 g(x)是以 3 为周期的周期函数 ,且当 x(-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当 x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点 A0(x,y), A2(x2,y2),于是 x2-x=2,y2-y=4,若 3 x26,则 0 x2-33,于
17、是 f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当 1 x4 时, 则 3 x26,y+4=lg(x-1).当 x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4.(3) = ,n0 nA2420由于 ,得kkPA12=2( )=2(1,2+1,23+1,2n-1)=2 , =n,n0 n14321 2n3)1(3)2(41 如图，设抛物线 的焦点为 F，动点 P 在直线 上运动，过 P2:xyC 02:yxl作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点 A、B 坐标分别为 ，)(,
18、),(012120xx和切线 AP 的方程为： ;0yx切线 BP 的方程为： 2211解得 P 点的坐标为： 100,xyxPP所以APB 的重心 G 的坐标为 ，PG310 ,34)(33 210210102010 pPG yxxxyy 所以 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：24Gpx).24(31,0)( xyyx即（2）方法 1：因为 ).41,(),41,(),( 201020 xFBxFxFA由于 P 点在抛物线外，则 .|P ,|41)41(|2|cos 0202010 FPxxFxAF 同理有 ,|41)41(|cos 0221010 FPxxFPxBP AFP= PFB.方法 2：当 所以 P 点坐标为,0,00011 yxxx 则不 妨 设由 于时
