1、全等三角形、轴对称能力提高练习1.如图，P 是等边 ABC 内的一点,连接 PA、PB、PC.以 PB 为边作等边BPM ，连接 CM.（1）观察并猜想 AP 与 CM 之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若APC=100，PMC 为直角三角形，求APB 的度数2.如图，已知在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，过 C 作 CEAB 于 E，并且AE= ，求ABC+ADC 的度数。)(21ADB3.点 P 在AOB 内，点 M，N 分别是点 P 关于 OA，OB 的对称点，M ，N 的连线交 OA 于点 E，交 OB 于点F，若PEF 的周长为 20cm，求线段 MN 的长。拓展：（1）
2、若AOB=45，连接 OM，ON 判断MON 的形状，并说明理由。（2）已知点 P 在 AOB 内，在 OA,OB 上分别取点 E,F，使PEF 周长最小，请画出图形，并写出过程。4.已知如图，等腰 RtABC 中，BAC=90，点 D 是 BC 边的中点，且 BE=AF.求证：DE DF5.如图，ABC 中，ABC=90，AB=CB，AE 平分BAC，过点 C 作 CDAD 于点 D，求证：CD= AE217.如图所示，ABC 中， AB=AC，在 AB 上取一点 E，在 AC 延长线上取一点 F，使 BE=CF，EF 交 BC 于 G，求证：EG=FG8.已知ABC 中，AB=AC，且过A
3、BC 的某一顶点的直线可将 ABC 分成两个等腰三角形，试求ABC 各内角的度数。AMPCBA EDCBFEMNPOBAFEDACBAEDCBGECBAF9.如图，ABC 中 BD 是 AC 边上的中线，BDBC 于点 B，且ABC=120 .求证：AB=2BC.10.如图所示，ABC 是等边三角形， P 是三角形外一点，且 ABP+ ACP=180，求证：PB+PC=PA11.已知 P 是等边 ABC 内任意一点，过点 P 分别向三边作垂线，垂足分别是 D、E 、F ，试证明 PD+PE+PF 是不变的值。12.如图所示，等边ABC，D、E 分别在 AC、AB 的延长线上，且 CD=AE，求
4、证：DB=DE13.如图，在ABC 中，AD 平分BAC，ABC=2C，求证：AB+BD=AC.14.在图 1 至图 3 中，ABC 是等边三角形，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC.观察思考：当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，线段 AE 与 DB 的大小关系是：AE DB(填“”，“”或“=”）；拓展延伸：CDBAPB CAPADEFB CADEBC21D CBAD CBEA图 1ED CBA图 2FED CBA图 3当点 E 不是 AB 的中点时，如图 2，猜想线段 AE 与 DB 的大小关系是：AE DB(填“”，“”或“=”），并说明理由（提示：在
5、图 2 中，过点 E 作 EFBC 角 AC 于点 F，得到图 3）。15.如图 1，在ABC 中， ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 右侧作正方形 ADEF.解答下列问题：如果 AB=AC，BAC=90当点 D 在线段 BC 上时，（与点 B 不重合），如图 2，线段 CF、BD 之间的位置关系为，数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，请说明理由。（2）如图 4，如果 ABAC，BAC90，点 D 在线段 BC 上运动，其余条件不变，猜想当BCA 等于多少度时，CFBC ，请说明理由。16.三角形
6、 ABC 中，BD 和 CE 是三角形的高，延长 BD 至点 F，使 BF=AC，在 EC 上取点 P，使 CP=AB，作 FM 垂直于 BC，PN 垂直于 BC。求证 PN+FM=BC17.如图，等腰直角ABC 中，AC=BC ，ACB=90，P 为ABC 内部一点，满足 PB=PC，AP=AC，则BCP=( )CBFDEACBFDEA图 1 图 2FED CBA图 3FED CBA图 4FN MPEDCBAPCBA18. 如图，ABC 中，AB=AC，角 BAC=90 度，D 为 BC 上一点，过 D 作DE 垂直 AD，且 DE=AD，连接 BE，求DBE 的度数。19. 如图，ABC
7、中， BAC=90，AB=AC，点 D 是 BC 上一点，DEAD 且 DE=AD，求证： CEAC20. ABC 为等边三角形,BDA=ADC=60，试说明 AD=BD+DC21.在等边三角形 ABC 中的 AC 延长线上取一点 E,以 CE 为边做等边三角形 CDE，使它与三角形 ABC 位于直线 AE 的同一侧，点 M 为线段 AD 的中点，点 N 为线段 BE 的中点，求证：三角形 CNM 为等边三角形。22.正方形 ABCD，E 为 BC 上一点，AEF 为直角， CF 平分DCG。(1)如图（1），当点 E 在线段 BC 上时，求证：AE=EF(2)如图（2），当点 E 在 BC
8、的延长线上时，试判断 AE=EF 是否依然成立，并说明理由。23. 如图，ABC，CDE 是边等三角形，C 为线段 AE 上一不动点ADECBACEDBDCABNMEBDCADCBAFE G图(1)DCBA FE G图(2)OAMNDECBCNAB AD=BEAOE=120 度 CM=CNOC 平分AOE OB+OC=OADM=CN 其中正确的有参考答案：1.（1）AP=CM证明 AB=BC ，ABP=CBM ，BP=BMABPCBM SAS AP=CM（2） APC=100 BAP+BCP=BCP+BCM= PCM=100-60=40若CPM=90，如图（1）则APB=360- BPM- C
9、PM-APC=360-60-90-100=110若CMP=90，如图（2）AMPCB图（1）AMPCB图（2）则APB=360- BPM- CPM-APC=360-60-50-100=150 2. 过点 C 作 CFAD，交 AD 的延长线于点 FAC 平分BAD ，CEAB AEC= AFC=90， EAC= FAC, CE=CFAECAFC AE=AF AE= (AB+AD) 212AE=AB+ADAB-AE =AE-AD AB-AE =AF-AD，即 EB =FD在EBC 和FDC 中：CE=CF ，BEC=DFC=90 ， EB =FDEBC FDC B=FDC，即ABC=FDCFDC
10、+ADC=180 ABC+ ADC=180 3. M、N 分别是点 P 关于 OA、OB 的对称点EP=EM ， FP=FN PEF 的周长=EP+EF+FP =EM+EF+FN，即PEF 的周长=线段 MNPEF 的周长=20cm MN=20cm(1)连接 OM，OP，ONM、N 分别是点 P 关于 OA，OB 的对称点 OM=OP ，ON=OP ，MOA= POA ,NOB=POBOM=ONMON=MOA+POA + NOB+POB=2(POA +POB)=2AOBAOB=45 ， MON=90 ，MON 是等腰直角三角形（2）分别作点 P 关于 OA ，OB 的对称点 M、 N ，连接
11、MN，分别交 OA，OB 于点 E、F连接 PE、PF ，PEF 即为所求。4.提示：连接 AD，证ADFBDE5.提示：延长 AB 与 CD 的延长线交于点 F，证ABECBF6.提示：（1）EC=BD (2)BOP=BAE=60，故BOP 的大小与ABC 形状无关。7.提示：过点 E 作 EMAC，交 BC 于点 M，证 MEGCFGAFEDCBFEMNPOBA8.（1）当在底边 BC 边上取点时，分两种情况：如图（1） ，在 BC 上取点 E，使 AE=BE=CE 时，容易计算得B= C=45 ，BAC=90；如图（2） ，在 BC 上取点 F，使 AB=FB，AF=CF，设B=C= x
12、 ，则FAC=x ，BFA=BAF=2x ，所以有 x+x+x+2x=180， x=36 ，2x=72，3x=108 ，B=C=36 ，BAC=108 ；（2）当在腰上取点时，也有两种情况：如图（3） ，在 AC 上取点 D，使 BD=AD=BC，设 A=x，则ABD=x ，所以BDC=2x，C=2x ，DBC=x ，所以有 x+2x+2x=180，x=36，2x=72.所以A=36，ABC=ACB=72 .如图（4） ，在 AC 上取点 G，使 AG=BG，CG=CB，设A=x，则ABG=x，BGC=CBG=2x，所以，ABC=ACB=3x，所以 x+3x+3x=180，x= ，3x= .7
13、18054所以A= ，ABC=ACB=7180 7540综上所述，ABC 各内角度数分别为 45，45，90 或 36，36，108 或 36，72，72 或 ， ，71805475409.如图，延长 BD 到点 E，使 DE=DB，连接 AE.ADE CDB，所以AE=BC，AED=90 ，由ABC=120，BDBC，所以ABD=30 ，所以 AB=2AE=2BC10.延长 PC 到点 D，使 CD=BP，连接 AD.45 454545AECB图（1）xFx x2x2xACB图（2）x 2x2xxxDCBA图（3）3x2x2xxxGCBA图（4）CDEBAABP+ACP=180，ACP+ A
14、CD=180ABP=ACD.在ABP 和ACD 中：AB=AC ， ABP=ACD，BP=CDABPACD .AP=AD， BAP=CAD.BAP+PAC=60，CAD+ PAC=60，即PAD=60 PAD=60 PAD 是等边三角形AP=PD=PC+CDAP=PB+PC11.过点 A 作 AHBC 于 H，连接 PA、PB 、PC.S ABC =S PAB+SPBC +SPACBC.AH= AB.PD+ BC.PE+ AC.PF2121又AB=BC=AC ，AH=PD+PE+PFPD+PE+PF 的值是等边 ABC 的高，是不变的值。12.如图，延长 AE 到点 F，使 EF=AB，连接
15、DF.证明ABDFED13.延长 AB 至点 E，使 BE=BD，连接 DE，则BED=BDEABD= E+BDE，ABD=2EABC=2C，E=C在AED 和ACD 中：DPB CAPAHDEFB CADE FBC21ED CBAE=C ， 1=2，AD=AD ，AEDACDAC=AEAE=AB+BE，AC=AB+BD 即 AB+BD=AC14.提示：证明BDEFEC15. (1)CF BD，CF=BD 成立。提示：证明 ABDACF(2) 如右图， 过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，AGD+ACG=90 ，GAD+ DAC=90CF BCACF+ACG=90，AGD=ACF四边形
16、 ADFE 是正方形CAF+DAC=90，AD=AFGAD=CAF在AGD 和ACF 中：AGD=ACF,GAD=CAF,AD=AFAGDACFAG=ACAGC= ACG=45即BCA=45当BCA=45 时 CFBC16. 过点 A 作 AQBC 于点 Q， AQB=90 ，BAQ+ABQ=90CEABPCN+ABQ=90BAQ= PCNPNBC CNP=90AQB= CNP又AB=CPGABFED CFQ N MPEDCBAPCBAABQCPNBQ=PN同理可证：ACQBFM, CQ=FMPN+FM=BQ+CQ, 即 PN+FM=BC17.作 PMBC ，PNAC，垂足分别为 M、N四边形 PMCN 是矩形 PNCMPB PCCMBM BC AC PN= AC2121AP=AC PN AP在直角PAN 中，PAN30PCACPA75BCP90751518. 过点 A 作 ANBC 于点 N，过点 E 作 EMBC 于点 MDME=AND= 90，DAN+ADN=90DE ADEDM+ADN=90EDM=DAN在EDM 和DAN 中：DME=AND ，EDM=DAN，DE=ADEDMDANDM=AN ， EM=DNAB=AC， BAC=90 BN=ANBN=DMBN-MN=DM-MN,即 BM=DNEM=BMDBE=45 AMN DECBNM CAEDB
