1、九年级数学教师自编压轴题三.解答题: 1. 已知抛物线 y=x2-(2m+1)x+m2-1 与 x 轴有公共点。（1） 求 m 的取值范围；（2） 设抛物线与 x 轴交于 A(x1,0)、B （x 2,0）(x 1x20),与 y 轴交于点 C，若 AC OC=BC OA，试求 m 的值以及此时的对称轴直线 l.（3） 试问抛物线 y=x2-(2m+1)x+m2-1 的的所有对称轴中，是否存在着两条直线 l1,l2,它们即关于（2）中所确定的直线 l 对称，又与 l 的距离之和最大？若存在，请求出这两条对称轴直线 l1,l2,并求出它们与直线 l 的距离之和的最大值；若不存在，请说明理由。2.
2、如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为15，边 OA 比 OC 大 2，E 为 BC 的中点，以 OE 为直 径的O交 x 轴于点 D，过点 D 作 DFAE 于点 F。（1（ 求 OA、OC 的长；（2（ 求证：OF 为O 的切线；（3（ 小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形， 由此，他断定：“直线 BC 上一定存在除点 E 以外的点 P，使 AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在O外。 ”你同意他的看 法吗？请充分说明理由。3. 220KV 高压线的最低处必须高出地面 15 米，而高压电 线在空中呈悬垂状态即是一条悬垂线，在此，我们将悬垂线近似地当成是一条抛物线在嘉兴这
3、样的平原地带，根据气候条件，架设220KV 高压线时如果用 20 米高度的铁塔，则最大跨度是 300 米，如图甲所示；如果两座铁塔间的跨度拉大到 400 米，如图乙所示，则必须增加铁塔的高度经统计分析，建造铁塔的成本大致如下表：铁塔高度 20 米及以下 20 米以上地基土地成本 6000 元/座 8000 元/座其它平均成本 2000 元/米 2000 元/米（1）图甲中，如果以 AB 所在直线为 轴，以铁塔 AM 所在直线为 轴，已知，高压线最低处距离地面 15 米，请求xy出抛物线 MN 的函数式；（2）图乙中，如果以 A1B1 所在直线为 轴，以铁塔 A1M1 所在直线为 轴，已知，高压
4、线最低处距离地面 15 米，在距离铁塔 A1M1300 米的 P 处，测得高压线距离地面 18.75 米，求图乙中铁塔的高度；（3）如果要架设 12 千米 220KV 的高压线，请你比较图甲与图乙这两个方案的成本4. 某单位花 50 万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有如下结论：第 x 天应付的养护与维修费为 元.5014x(1)观察下表，请填出使用 x 天后设备投入所需养护和维修的费用；cBOExyDO AFM115 米400 米A1 B1N1（图乙）N300 米15 米MA B （图甲）300 米18.75 米P
5、20 米设备投入使用的天数 设备投入使用所需养护和维修的费用 1 2 3 x (2)如果将设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备使用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗 y(元)用 x(天) 的代数式表示出来；(3)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，应当报废问该设备投入使用多少天应当报废？答:(3) 当 时， ，解得 x=2000. 经检验 x=2000 是方程的解.答：该设备投入使用 2000 天，应当报废.5. 如图,直线 AMAN, O 分别与AM 、AN相切于B 、C两点,连结OC、BC ,则有ACB= OCB ;(请
6、思考:为什么?)如果测得AB= a,则可知 O的半径r=a.( 请思考:为什么?)(1)将图中直线AN 向右平移 ,与O 相交于C 1、C 2两点,O与AM的切点仍记为B,如图.请你写出与平移前相应的结论,并将图补充完整;判断此结论是否成立 ,且说明理由.(2)在图中,若只测得AB=a,能否求出O 的半径r?若能求出 ,请你用a表示r; 若不能求出,请补充一个条件(补充条件时不能添加辅助线,若补充线段请用b表示,若补充角请用表示), 并用a和补充的条件表示r.解:(1)图 中相应结论为 AC 1B=OC 1B和AC 2B=OC 2B.2分先证AC 1B=OC 1B.连接OB、OC 1,AM与O
7、相切于 B,OBAM .ANAM, OBAN. AC1B=OBC 1.OB=OC 1,OBC 1=OC 1B, AC 1B=OC 1B.同理可证AC 2B=OC 2B.4分(2)若只测得AB=a,不能求出O 的半径r.5分补充条件:另测得AC 1=b.6分作ODC 1C2,则C 1D=C2D.由AB 2=AC1AC2,得AC 2= .则C 1C2=AC2-AC1= -b= .a2a2C 1D= C1C2= .b故r=OB=AD=AC 1+C1D=b+ = .10分2a2b说明:1.若补充条件:另测得AC 2=b,则r = .若补充条件 :另测得C 1C2=b,则r= .若补充条件:另测2a 2
8、4ab得BC 1=b,则r= . 若补充条件:另测得ABC 1=,则r= .22()a2sincoa2.以上答案供参考,若有其他答案,只要正确,都应给分.6. 已知抛物线 经过 及原点 2yaxbc53()02PE， (0)O，（1）求抛物线的解析式（2）过 点作平行于 轴的直线 交 轴于 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 下方的抛物线上，任取一点PCy PC，过点 作直线 平行于 轴交 轴于 点，交直线QAxA 于 点，直B线 与直线 及两坐标轴围成矩形 （如图） 是COB 否存在点 ，使Q得 与 相似？若存在，求出 点的坐标；若O B Q不存在，请说明理由（3）如果符合（2）中的 点在 轴
9、的上方，连结 ，x 矩形 内的OABC四个三角形 之间存在怎样PPA， 的关系？为什么？解 （1）由已知可得：解之得，375042abc 2530abc，因而得，抛物线的解析式为： 253yx（2）存在设 点的坐标为 ，则 ，要使 ，则有 ，即Q()mn，23mOCPBQ 3nmEAQBPCOy x，解之得， 2533m123m，当 时， ，即为 点，所以得1nP()Q，要使 ，则有 ，即OCPQB 3n2533m解之得， ，当 时，即为 点，123m，mP当 时， ，所以得 故存在两个 点使得 与 相似n(3)，QOCP BQ点的坐标为 Q()，（3）在 中，因为 所以 RtOCP 3tan
10、CPO30当 点的坐标为 时， (23)， 0BQ所以 9QA因此， 都是直角三角形OPCO， 又在 中，因为 所以 RtA 3tanQA30OA即有 0PQPBC所以 ，又因为OCO PQ， ，所以 30AQA 7. 原创题(压轴题)1、 如图，是一把伞的一部分。已知 AC=90cm，BC=60cm，点 O 是 BC 的中点。点 D 在线段 EF 上运动，当点 D 运动到点 B 时，点 E、F 与点 O 重合，点 M、N 落在 AC 上；当点 D 运动到点 O 时，点 M、D、N 在同一直线上(如图 1、2)。(1) 下雨了，小彬和小强想共用一把伞，请问能行吗？( 一般人的臂宽不超过 50c
11、m)。EM NFACOB DEM NFACOBD(图 1) (图 2)(2) 在打开伞的过程中，求点 M、N 所走过的路径的和。 (3) 若设 BD 长为 xcm，四边形 EDFC 的面积为 Scm2，问当 BD 多长时，四边形 EDFC 的面积 S 有最大值？ 解答：(1) 如图 3，当伞撑开时点 D 与点 O 重合。得 DN= 51.96，02MN103.92所以可也。(2)如图 4， = =60, MN 60182(2) 如图 5，作 FGAC 于 G，则 GF 22)60(3xS（60x） （设 a60x）22)60(3x9)18(4a当 a1800 时，S900即当 x60 30 时
12、最大面积为 900cm28. 银行存款利率调高后，对于现已存在银行里的存款是按原利率继续存下去，还是按活期利率取出后再按新利率存入，银行方面提供了如下计算公式：活期利率已存天数调高后新利率 （360已存天数）360 天=W，如果 W?原利率，则不必去银行转存。现有一客户，按一年期原利率存款若干元已 45 天，该客户应选择哪种存款方式比较合算？你能计算出两种存款方案的分界天数，既超过这个分界天数转存肯定不合算吗？（活期利率 0.72%，原一年期利率2.52%，调高后一年期利率 2.79%）解:(1)W=0.72%45+2.79%(36045) 360=2.53%?2.52% 转存合算(2)设两种
13、方案的分界天数为 X 天 ,由题意得:EM NFACOBD(图 3)M NFACOBDx60-xGFM NFACOBD(图 4)(图 5)PNMC BAOyx0.72%X+2.79%(360X) 360=2.52%X=(2.792.52) 360/(2.790.72)47(天)超过 47 天转存肯定不合算，47 天为两种存法的分界天数。9. 如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（6，0） ， （6，8） 。动点 M、N 分别从O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点N
14、 作 NPBC，交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。（1）P 点的坐标为（ ， ） ；（用含 x 的代数式表示）（2）试求 MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。（3）请你探索：当 x 为何值时，MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。答案：（） （6x , x ）; (2)设MPA 的面积为 S，在MPA 中，MA=6 34 x，MA 边上的高为 x，其中，0x6.S= （6x） x= (x2+6x) = (x3)2+621343S 的最大值为 6, 此时 x =3. (3)延长交 x 轴于，则有 若 x. 3x=6, x=2; 若，则62x，= x，6x在t 中， 2 2 2 (6 x) 2=(62x) 2+ ( x) 2x= 34108若， x，6x x=6x x= 35359综上所述，x=2，或 x= ，或 x= 。4108910 如图：有一矩形纸片 ABCD(如图 a)，AB=4，BC=3， 操作：（1）将 BC 向 CD 折过去，使 BC 与 CF 重合，得折痕 CE（如图 b） ，展开；（2）将该矩形沿对角线 BD 折叠，得折痕 BD（如图 c） ，展开，那么折痕 CE 与 BD 交于 P 点(如图 d） ，求PCD 的面积是多少? (答案: )724AD CBGEAD CBP图 a图 c图 b图 d
