1、第四章复习题1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。5对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之6什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？7用高斯塞德尔迭代法求解代数方程时是
2、否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？8有人对一阶导数21, 53xttxt iniinin你能否判断这一表达式是否正确，为什么？一般性数值计算4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根 :)6,21(n3,21,tanBin并用计算机查明，当.02Fo时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计算中用前六项之和来替代）可能引起 的误差。解： Binta，不同 Bi 下前六个根如下表所示
3、：Bi 1 2 3 4 5 60.1 0.3111 3.1731 6.2991 9.4354 12.5743 15.71431.0 0.8603 3.4256 6.4373 9.5293 12.6453 15.771310 1.4289 4.3058 7.2281 10.2003 13.2142 16.2594Fo=0.2 及 0.24 时计算结果的对比列于下表：Fo=0.2 xBi=0.1 Bi=1 Bi=10第一项的值 0.94879 0.62945 0.11866前六和的值 0.95142 0.64339 0.12248比值 0.99724 0.97833 0.96881Fo=0.2 0
4、xBi=0.1 Bi=1 Bi=10第一项的值 0.99662 0.96514 0.83889前六项和的值 0.994 0.95064 0.82925比值 1.002 1.01525 1.01163Fo=0.24 xBi=0.1 Bi=1 Bi=10第一项的值 0.94513 0.61108 0.10935前六项的值 0.94688 0.6198 0.11117比值 0.99814 0.98694 0.98364Fo=0.24 0xBi=0.1 Bi=1 Bi=10第一项的值 0.99277 0.93698 0.77311前六项和的值 0.99101 0.92791 0.76851比值 1.0
5、0177 1.00978 1.005984-2、试用数值计算证实，对方程组 52311xx用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。解：将上式写成下列迭代形式 2131321/xx假设 3,2x初值为 0，迭代结果如下：迭代次数 0 1 2 3 410 2.5 2.625 2.09375 2.632812520 -0.75 0.4375 - 1.171875 1.261718253x0 1.25 -0.0625 2.078125 -0.89453125显然，方程迭代过程发散因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。4-3、试对附图所示的
6、常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯- 赛德尔迭代法计算4321,tt之值。解：温度关系式为： 5104/32/2321tttt开始时假设取01；43t得迭代值汇总于表迭代次数 0 20 20 15 151 26.25 22.8125 21.5625 14.843752 28.59375 23.359375 22.109375 15.11718753 28.8671875 23.49609375 22.24607565 15.185542584 28.93554258 23.53027129 22.28027129 15.202635655 28.95263565 23.53881782
7、22.28881782 15.206908916 28.9569089 23.54095446 22.290955445 15.20797723其中第五次与第六次相对偏差已小于 410迭代终止。4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点 2，3 的温度。图中 )./(,5,8200 KmWhCttf.肋高 H=4cm,纵剖面面积 4cAL导热系数 /0。解：对于 2 点可以列出：节点 2：;)(221431 txhtxt节点 3：0)(312tff。由此得： 0)(212321 txhtt，0)(2)(3332 thxtht ff，xHHf 21223 htxhtt ff
8、06.1.0xh，于是有： 1.01fttt， 53.253.23.2/ f23 ffffttt ，代入得：fftt05.1.2， f106.6ttttf，fttt8136.42， 3.4862ff， C.597.536. ，Ct 75.5893 。离散方程的建立4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性条件（ )yx。解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为 2tat扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分： 211211 yttxtat inininiini所以有 ininiin tyxatyt 2121 稳定性条件 /xFo4-6、极坐标中
9、常物性无内热源的非稳态导热微分方程为 221trtrat试利用本题附图中的符号，列出节点（i,j）的差分方程式。解：将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得： 1111112 22ki kkkkkkjtjtjtjjtjjijijijj jt ttrarrr ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。也可采用热平衡法。对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得：111kkkkkkijijijijijijjttttttrc rrr， ， ， ， ， ，1 1,22kk kkijij ijijttttr ， ， ，对等式两边同除以 j并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。4-7、一金属短圆柱
10、在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却，底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温度的变化，取中心角为 1rad 的区域来研究（如本题附图所示） 。已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1） ，（M,1）(M,n)及（M,N）的离散方程式。在 r 及 z 方向上网格是各自均分的。解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。节点（1，1）： 2 122121 8k k kkt t trrzrzcz， ， ， ， ， ，节点（m，1）： ,11 21 1;2 2k kk kmmmmt t t tzz zrrrcrz， ， ， ， ， ， ，节
11、点（m，n）： ,411 10333424kkk nn nmntttrrhtTr ， ， ， ， ， ， 。4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用 25.1)(tch来表示。试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点（M,n）的温度方程，并对如何求解这一方程提出你的看法。设网格均分。解：利用热平衡法： 0.25Mnfnfhctt， ，将 h 写为 0.25fMnft， ，其中 Mnt， 为上一次迭代值，则方程即可线性化。4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点 4） ，其余两个界面与温度为 ft的
12、流体对流换热，h 均匀，内热源强度为。试列出节点 1，2，5，6，9，10 的离散方程式。解：节点 1： 521 1042fttxyxyhty；节点 2：32612ttt xyx；节点 5：5955 5102fyxht；节点 6：26761056ttttxyxyx；节点 9：59109 90242fyhty；节点10：1010610 102 ftttyxyxtxx。当 y以上诸式可简化为：节点 1：252 12fhhttty；节点 2： 613240y；节点 5：29 520fhhytttt节点 6：271057640ttty；节点 9：25 912 0fhhty；节点 10： 691 102
13、fyttt。一维稳态导热计算4-10、一等截面直肋，高 H,厚 ，肋根温度为 0t，流体温度为 ft，表面传热系数为 h,肋片导热系数为 。将它均分成 4 个节点（见附图） ，并对肋端为绝热及为对流边界条件（h 同侧面）的两种情况列出节点 2，3，4 的离散方程式。设 H=45cm,)./(50,1KmWh,=50W/(m.K), 10t ， 20ft，计算节点2，3，4 的温度（对于肋端的两种边界条件） 。解：采用热平衡法可列出节点 2、3、4 的离散方程为：节点 2：12 20ftthxtx；节点 3：3433f；节点 4：肋端绝热40fthxt，肋端对流34 40ffht。其中Hx。将已
14、知条件代入可得下列两方程组：肋端绝热 32.051.90tt2343.tt肋端对流 2234.05.90tt3178由此解得：肋端绝热0.tC， 37.t，0486.2tC；肋端对流 2，062， 3。肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日益得到广泛的应用。附图所示为双层圆筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。已知 40,18,6,5.12132 mrrmrW/(m.K)， 150),./(120ftKmW，0)./(02ftKWh， )./(322Kh。试用数值方法确定稳态时双层圆筒壁截面上的温度分布。解：采用计算机求解，答案从略。采用热
15、平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解;如果采用 Taylor 展开法列出方程，则需对两层管子单独进行，并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数值计算也需分两区进行，界面耦合。截面的温度分布定性地示于上图中。4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度 10t，其表面上有自然对流散热，4/1dtchf，其中， );./(20.175CmWcod 为杆直径， m。杆高 H=10cm，直径 d=1cm, 50W/(m.K)， t。不计辐射换热。试用数值方法确定长杆的散热量（需得出与网格无关的解。杆的两端可认为是绝热的。解：数值求解过程略，Q=2.234W 。4-13 在上题中考虑长
16、杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为 0.8，环境可作为温度为t的大空间，试重新计算其导热量。解：数值求解过程略，Q=3.320W 。4-14、有如附图所示的一抛物线肋片，表面形线方程为： 2/12Hxebxy肋根温度 0t及内热源 恒定，流体表面传热系数 h,流体温度 ft为常数。定义： tf/,0。试：（1）建立无量纲温度 的控制方程；（2）在无量纲参数 01.,.,5.,1.02 hHbHetf下对上述控制方程进行数量计算。确定无量纲温度 的分布。解：无量纲温度方程为： 22/0.2/5d。数值计算结果示于下图中，无量纲温度从肋根的 1 变化到肋端的 0.852。一维非稳态导热计算4-
17、15、一直径为 1cm,长 4cm 的钢制圆柱形肋片，初始温度为 25，其后，肋基温度突然升高到 200，同时温度为25的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为 100 )./(2KmW。试将该肋片等分成两段（见附图） ，并用有限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻 4 个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据） 。已知 43W/(m.K)， sma/103.25。 （提示：节点 4的离散方程可按端面的对流散热与从节点 3 到节点 4 的导热相平衡这一条件列出） 。解：三个节点的离散方程为：节点 2：12 231 22/444kk kkftt tdddxhtcxxx
18、 节点 3： 122 2423 33/kk kkftt tdt 节点 4： 22344/k kftdhtx。以上三式可化简为： 1213 222 2341k kfaahtttt txcdxcd 3 4 3k kfhtttt tx43kkfh稳定性要求 210axcd，即 2341/ahxcd。55432.8101.0ca，代入得：2 541/ 8.97.3.0.97.024s ，如取此值为计算步长，则： 5221.308.970.26ax， 54.1332.81.hcd。于是以上三式化成为： 1 290kkfttt243.k f30977kftt8.9s时间 点 1 2 3 40 200 25
19、 25 25 200 128.81 25 252 200 128.81 55.80 55.093 200 137.95 73.64 72.544 200 143.04 86.70 85.30在上述计算中，由于 之值正好使 23410ahxcd，因而对节点 2 出现了在 及 2 时刻温度相等这一情况。如取 为上值之半，则20.1483ax，0.5hcd， 2.5，于是有：1322.0kkkftttt2433. 5k3097.07kftt对于相邻四个时层的计算结果如下表所示： 4.8s时间 点 1 2 3 40 200 25 25 25 200 76.91 25 252 200 102.86 32
20、.70 32.533 200 116.98 42.63 42.234 200 125.51 52.57 51.944-16、一厚为 2.54cm 的钢板，初始温度为 650，后置于水中淬火，其表面温度突然下降为 93.5并保持不变。试用数值方法计算中心温度下降到 450所需的时间。已知sma/106.25。建议将平板 8 等分，取 9 个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒计算的结果作比较。解：数值求解结果示于下图中。随着时间步长的缩小，计算结果逐渐趋向于一个恒定值，当 =0.00001s 时，得所需时间为 3.92s。如图所示，横轴表示时间步长从 1 秒，0.1 秒，0.01 秒，0.001
21、秒，0.0001 秒，0.00001秒的变化；纵轴表示所需的冷却时间（用对数坐标表示） 。4-17、一火箭燃烧器，壳体内径为 400mm,厚 10mm,壳体内壁上涂了一层厚为 2mm 的包裹层。火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度为 3000的烟气，经燃烧器端部的喷管喷住大气。大气温度为 30。设包裹层内壁与燃气间的表面传热系数为 2500 W/(m.K)，外壳表面与大气间的表面传热系数为 350 )./(2KmW，外壳材料的最高允许温度为 1500。试用数值法确定：为使外壳免受损坏，燃烧过程应在多长时间内完成。包裹材料的 0.3 W/(m.K)，a= sm/10227。解：采用数值方法解得 40
22、s。4-18、锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温随时间变化。为控制热应力，需要计算汽包内壁的温度场。试用数值方法计算：当汽包内的饱和水温度上升的速率为 1/min,3/min时，启动后 10min,20min,及 30min 时汽包内壁截面中的温度分布及截面中的最大温差。启动前，汽包处于 100的均匀温度。汽包可视为一无限长的圆柱体，外表面绝热，内表面与水之间的对流换热十分强烈。汽包的内径 ,9.01mR外半径 ,0.2R热扩散率sma/1098.26。解：数值方法解得部分结果如下表所示。汽包壁中的最大温差，K温升速率，K/min启动后时间，min1 310 7.136 21.4120 9.4
23、63 28.3930 10.19 30.574-19、有一砖墙厚为 m3.0， 0.85W/(m.K)， )./(105.36KmJc室内温度为201t，h=6 )/(2KW。起初该墙处于稳定状态，且内表面温度为 15。后寒潮入侵，室外温度下降为 1ft，外墙表面传热系数 32h./2W。如果认为内墙温度下降 0.1是可感到外界温度起变化的一个定量判据，问寒潮入侵后多少时间内墙才感知到？解：采用数值解法得 t=7900s。4-20、一冷柜，起初处于均匀的温度（20） 。后开启压缩机，冷冻室及冷柜门的内表面温度以均匀速度 18/h 下降。柜门尺寸为 m2.1.。保温材料厚 8cm， 0.02W/(m.K) 。冰箱外表面包裹层很薄，热阻可忽略而不计。柜门外受空气自然对流及与环境之间辐射的
