1、1方法:1 利用 Excel2000 进行主成分分析第一步，录入数据，并对进行标准化。【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度和宽度。图 1 原始数据和标准化数据及其均值、方差（取自张超、杨秉庚计量地理学基础）计算的详细过程如下： 将原始数据绘成散点图（图 2）。主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势如果数据之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的就是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对2数据进行线性转换，否则效果不佳。从图 2 可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系数 R2=0.4979，相应地，相关系数 R=0.
2、7056。 对数据进行标准化。标准化的数学公式为 jiijx*这里假定按列标准化，式中，nijijx1 )(Var)(12ijnijijij xx分别为第 j 列数据的均值和标准差， 为第 i 行（即第 i 个样本）、第 j 列（即第 j 个变量）ij的数据， 为相应于 的标准化数据， 为样本数目。*ijxij 5原 始 数 据 的 散 点 图 y = 0.7686x + 2.3174R2 = 0.497905101520250 5 10 15 20 25长 度宽度图 2 原始数据的散点图标 准 化 数 据 的 散 点 图 y = 0.7056x + 2E-16R2 = 0.4979-2.00
3、0000-1.0000000.0000001.0000002.0000003.000000-2.000000 -1.000000 0.000000 1.000000 2.000000 3.000000长 度宽度图 3 标准化数据的散点图3对数据标准化的具体步骤如下： 求出各列数据的均值，命令为 average，语法为：average(起始单元格 :终止单元格)。如图 1 所示，在单元格 B27 中输入“=AVERAGE(B1:B26)”，确定或回车，即得第一列数据的均值 ；然后抓住单8.10x元格 B27 的右下角（ 光标的十字变细）右拖至 C27，便可自动生成第二列数据的均值。68.102x
4、求各列数据的方差。命令为 varp，语法同均值。如图 1 所示，在单元格 B28 中输入“=VARP(B2:B26)”，确定或回车，可得第一列数据的方差 ，右拖至465.9)(VarxC28 生成第二列数据的方差 。0976.23)(Varx 求各列数据的标准差。将方差开方便得标准差。也可利用命令 stdevp 直接生成标准差，语法和操作方法同均值、方差，不赘述。 标准化计算。如图 1 所示，在单元格 D2 中输入“=(B2-$B$27)/$B$29”，回车可得第一列第一个数据“3”的标准化数值-1.786045，然后按住单元格 D2 的右下角下拖至D26，便会生成第一列数据的全部标准化数值；
5、按照单元格 D2 的右下角右拖至 E2，就能生成第二列第一个数据“2”的标准化数据-1.806077，抓住单元格 E2 的右下角下拖至E26 便会生成第二列数据的全部标准化数值。 作标准化数据的散点图（图 3）。可以看出，点列的总体趋势没有变换，两种数据的相关系数与标准化以前完全相同。但回归模型的截距近似为 0，即有 ，斜率等于0a相关系数，即有 。Rb 求标准化数据的相关系数矩阵或协方差矩阵。求相关系数矩阵的方法是：沿着“工具（T）”“数据分析（D）”的路径打开“分析工具（A）”选项框（图 4），确定，弹出“相关系数”对话框（图 5），在“输入区域”的空白栏中输入标准化数据范围，并以单元格
6、G1 为输出区域，具体操作方法类似于回归分析。确定，即会在输出区域给出相关图 4 分析工具选项框4图 5 相关系数对话框系数矩阵的下三角即对角线部分，由于系对称矩阵，上三角的数值与下三角相等，故未给出（图 6），可以通过“拷贝转置粘帖”的方式补充空白部分。图 6 标准化数据的相关系数和协方差求协方差的方法是在“分析工具”选项框中选择“协方差”（图 7），弹出“协方差”选项框（图 8），具体设置与“相关系数”类似，不赘述。结果见图 6，可以看出，对于标准化数据而言，协方差矩阵与相关系数矩阵完全一样。因此，二者任取其一即可。图 7 在分析工具选项框中选择“协方差”5图 8 协方差选项框 计算特征根
7、。我们已经得到相关系数矩阵为，17056.C而二阶单位矩阵为，I于是根据公式 ，我们有0)det(I 017056.1756.1 按照行列式化为代数式的规则可得 2.0.)(22根据一元二次方程的求根公式，当 时，我们有4acb据此解得 ， （对于本例，显然 ， ）。这便是7056.129. R12相关系数矩阵的两个特征根。 求标准正交向量。将 代入矩阵方程 ，得到1 0)(CI756.0. 21在系数矩阵 中，用第一行加第二行，化为CI 0. 21由此得 ，令 ，则有 ，于是得基础解系2112，单位化为71.1e6单位化的公式为 （ ）。21iie,1i完全类似，将 代入矩阵方程 ，得到20
8、)(CI756.0. 21用系数矩阵的第二行减去第一行，化为 0. 21于是得到 ，取 ，则有 ，因此得基础解系为2112，单位化为271.2e这里 、 便是标准正交向量。1e2 求对角阵。首先建立标准正交矩阵 P，即有 701.021e该矩阵的一个特殊性质便是 ，即矩阵的转置等于矩阵的逆。根据 ，可T CPDT知 701.017056.1.70.D 2934.056.下面说明一下利用 Excel 进行矩阵乘法运算的方法。矩阵乘法的命令为 mmult，语法是mmult (矩阵 1 的单元格范围，矩阵 2 的单元格范围)。例如，用矩阵 与矩阵 C 相乘，TP首先选择一个输出区域如 G1:H2，然
9、后输入“=mmult(A1:B2,C1:D2)”，然后按下“Ctrl+Shift+Enter”键（图 9），即可给出1.206044 1.2060440.20817 -0.20817再用乘得的结果与 P 阵相乘，便得对角矩阵1.705603 00 0.294397如果希望一步到位也不难，选定输出区域如 C3:D4，然后输入“=mmult(mmult(A1:B2,C1:D2),E1:F2)” （图 10），同时按下“Ctrl+Shift+Enter”键，立即得到结果（图 11）。显然，对角矩阵对角线的数值恰是相关系数矩阵的特征值。图 9 矩阵乘法示例7图 10 矩阵连乘的命令与语法至此，标准化的
10、原始变量 x 与主成分之间 z 之间可以表作 2121221 94.0756.17056. zx显然 与 之间正交。1z2图 11 乘法结果：对角矩阵 根据特征根计算累计方差贡献率。现已求得第一特征根为 ，第二特征根为7056.1，二者之和刚好就是矩阵的维数，即有 ，这里 m=2 为变量数294.0 221目（注意前面的 n=25 为样本数目）。比较 图 6 或图 10 中给出的相关系数矩阵 C 与图 11中给出的对角矩阵 D 可以看出，Tr.(C)=1+1=2，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2，即有 Tr.(C)= Tr.(D)，可见将相关系数亦即协方差矩阵转换为对角矩阵以后，矩
11、阵的迹（trace，即对角线元素之和）没有改变，这意味着将原始变量化为主成分以后，系统的信息量没有减少。现在问题是，如果我们只取一个主成分代表原来的两个变量，能反映原始变量的多少信息？这个问题可以借助相关系数矩阵的特征根来判断。利用 Excel 容易算出，第一特征根占特征根总和即矩阵维数的 85.28%（见下表），即有特征根 累计值 百分比 累计百分比1.705603 1.705603 85.28% 85.28%80.294397 2 14.72% 100.00%也就是说：1.7056，1%28.5/706.1/m：0.2944，2 7492：2，)(这表明，如果仅取第一个主成分，可以反映原来
12、数据 85.28%的信息换言之，舍弃第二个主成分，原来数据的信息仅仅损失 14.72%，但分析变量的自由度却减少一个，整个分析将会显得更加简明。 计算主成分载荷。根据公式 ，容易算出jje9235.071.056.187.294. 计算公因子方差和方差贡献。根据上述计算结果可以比较公因子方差和方差贡献。再考虑全部的两个主成分的时候，对应于 和 的公因子方差分别为121387.095.221 jiV)(22 ji对应于第一主成分 z1 和第二主成分 z2 的方差贡献分别为7056.193.05.2ijC94)8(722ijV可以看出（图 12）： 第一，方差贡献等于对应主成分的特征根，即有 jj
13、CV第二，公因子方差相等或彼此接近，即有 21第一，公因子方差之和等于方差贡献之和，即有 mjji第一个规律是我们决定提取主成分数目的判据与之一，第二个规律是我们判断提取主成分数目是否合适的判据之一，第三个规律是我们判断提取主成分后是否损失信息的判据之一。去掉次要的主成分以后，上述规律理当仍然满足。这时如果第二个规律不满足，就意味着主成分的提取是不合适的。此外，上述规律也是我们检验计算结果是否正确的判据之一。9图 12 公因子方差、方差贡献的计算结果及其与特征根的贡献 计算主成分得分。根据主成分与原始变量的关系，应有 XPZT或者对于本例而言，式中， ，21xX21zZ2121ee 701.0
14、这里 ， 为前面计算的标准化特征向量。于是有Te11 T1 2127.0.xz化为代数形式便是 11.x22z式中的 x 均为标准化数据。对 进行转置，可得XPZTT图 13 计算特征向量的公式及语法10图 14 计算主成分得分根据这个式子，利用 Excel 计算主成分得分的步骤如下： 将特征向量复制到标准化数据的附近； 选中一个与标准化数据占据范围一样大小的数值区域（如 G2:H26）； 输入如下计算公式“=mmult(标准化数据的范围，特征向量的范围)”，在本例中就是“=MMULT(B2:C26,E2:F3)”（图 13）； 同时按下“Ctrl+Shift+Enter”键。 计算主成分得分的均值和方差，可以发现，均值为 0（由于误差之故，约等于 0），方差等于特征根。 最后，可以对主成分得分进行标准化。已知主成分得分的均值为 0,我们不按总体方差进行标准化，而按样本方差进行标准化。
