1、1实数综合与提高23一、实数的概念及分类 1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0； 另一种分类是：有理数、无理数 将两种分类进行组合：负有理数，负无理数， 0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 等；（2 ）有特定意义的数，如圆3,7周率 ，或化简后含有 的数，如 +8 等；（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如 sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零
2、） ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对4应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|0） 。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a ，则 a0。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1 。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估
3、算三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。5表示方法：记作“ ”，读作根号 a。a性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。表示方法：正数 a 的平方根记做“ ”，读作“正、负根号aa”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。0a注意 的
4、双重非负性：a0a3、立方根一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根） 。表示方法：记作 3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方6根；零的立方根是零。注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33a四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设 a、b 是实数，,0a,ba0（3）求商比较法
5、：设 a、b 是两正实数， ;1;1;1baba （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 。ba（5）平方法：设 a、b 是两负实数，则 。ba27五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。2、性质：（1） )0()(2a)0(a（2） a2)0(a（3） （ ）),(bab )0,(bab（4） （ ）)0,(),(a3、运算结果若含有“ ”形式，必须满足：（1 ）被开方数的a因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算
6、乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。8（3）运算律加法交换律 ab加法结合律 )()(cc乘法交换律 ba乘法结合律 )()(c乘法对加法的分配律 aba例题例 1 已知一个立方体盒子的容积为 216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？例 2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。例 3 下列说法中：无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无理数；实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4例 4 （1 ） 已知 2()0,()yxyxyzxz求 的 平 方 根 。(2)设 2a2的 整 数 部
7、分 为 ， 小 数 部 分 为 b， 求 -16ab的 立 方 根 。9(3)若, 3523204,4xymxymxy适 合 于 关 系 式 试 求 的 算 术 平 方 根 。（4 ） 设 a、b 是两个不相等的有理数，试判断实数 是有理数还是无理数，并说明理3ab由。例 5 （1 ）已知 2m-3 和 m-12 是数 p 的平方根，试求 p 的值。（2 ） 已知 m，n 是有理数，且 ，求 m，n 的值。(52)(35)70mn（3 ） ABC 的三边长为 a、b、c，a 和 b 满足 ，求 c 的取值范围。2140ab（4 ）已知 ，求 x 的个位数字。19332()4ax分类讲解一、二次根式的非负性1若 ，则 =_204205aa204102已知： ，求 的值2181xy 22xyxy3已知 、 为实数，且 ，求 的值x 49yy y二、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方1化简 ，所得的结果为 _221()n（拓展）计算 22222 0413143111 2化简： 3化简553yy241864化简： 5化简：3613257356化简： 21042（二）分母有理化1计算： 的值497491751353 2分母有理化： 3计算：26313
