1、第六讲 图形面积简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为 4 的正方形，它的面积是 44 16（格）；右图是 35 的长方形，它的面积是 35 15（格）.上面左图是一个锐角三角形，它的底是 5，高是 4，面积是 542 10（格）；右图是一个钝角三角形，底是 4，高也是 4，它的面积是 4428（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是 5
2、，高是 3，它的面积是 5 3 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，下底是 7，高是 4，它的面积是（4+7）4222（格）.上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是 1 厘米，1 格就是 1 平方厘米；如果小正方形边长是 1 米，1 格就是 1 平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是 1 个长度单位，1 格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.6.1 三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底高2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌
3、握这一公式，而且要会灵活运用.例 1 右图中 BD 长是 4，DC 长是 2，那么三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍呢？解：三角形 ABD 与三角形 ADC 的高相同.三角形 ABD 面积=4高2.三角形 ADC 面积=2高2.因此三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 2 倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例 2 右图中，BD，DE，EC 的长分别是 2，4，2.F 是线段 AE 的中点，三角形 ABC 的高为 4.求三角形 DFE 的面积.解： BC 2 4 2 8.三角形 ABC
4、 面积= 8 4216.我们把 A 和 D 连成线段，组成三角形 ADE，它与三角形 ABC 的高相同，而 DE 长是 4，也是 BC 的一半，因此三角形 ADE 面积是三角形 ABC 面积的一半.同样道理，EF 是 AE 的一半，三角形 DFE 面积是三角形 ADE 面积的一半.三角形 DFE 面积= 1644.例 3 右图中长方形的长是 20，宽是 12，求它的内部阴影部分面积.解：ABEF 也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与 BE 一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是 FE 的长.因此这三个三角形的面积之和是FEBE2，它恰好是长方形 ABEF 面积的一半.同样道理，F
5、ECD 也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形 ABCD 面积的一半，也就是20122120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形 ABCD 是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形 ABCD 面积的的一半.例 4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形 ABCD（阴影部分）的面积是多少？解：把 A 和 C 连成线段，四边形 ABCD 就分成了两个，三角形 ABC
6、 和三角形 ADC.对三角形 ABC 来说，AB 是底边，高是 10，因此面积=4102 20.对三角形 ADC 来说， DC 是底边，高是 8，因此面积=78228.四边形 ABCD 面积= 20 28 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例 5 在边长为 6 的正方形内有一个三角形 BEF，线段 AE3，DF2，求三角形 BEF 的面积.解：要直接求出三角形 BEF 的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE 面积=362 9.三角形 BCF 面积= 6（6-2）2 12.三角形 DEF 面积=2（6-3）2 3.我们只要用正方形
7、面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形 BEF 面积=66-9-12-312.例 6 在右图中，ABCD 是长方形，三条线段的长度如图所示，M 是线段 DE 的中点，求四边形 ABMD（阴影部分）的面积.解：四边形 ABMD 中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE 与三角形 MBE 的面积，然后用长方形 ABCD 的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD 的面积.把 M 与 C 用线段连起来，将三角形 DCE 分成两个三角形.三角形 DCE 的面积是 7227.因为 M 是线段 DE 的中点，三角形 DMC 与三角形 MCE 面积相等，所以三角形 MCE
8、面积是 723.5.因为 BE 8 是 CE 2 的 4 倍，三角形 MBE 与三角形 MCE 高一样，因此三角形 MBE面积是3.5414.长方形 ABCD 面积=7（82）=70.四边形 ABMD 面积=70-7- 14 49.6.2 有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90 度），还有两个角都是 45 度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.一个等腰直角三角形，当知道
9、它的直角边长，从图（a）知，它的面积是直角边长的平方2.当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是斜边的平方4例 7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是 8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是 88232.这一个图形的面积是3216 8 4 21 63.例 8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是 2，A 点是大长方形一边的中点，并且三角形 ABC 是
10、等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.三角形 ABC 的面积=2222.三角形 ABC，ADE，EFG 都是等腰直角三角形.三角形 ABC 的斜边，与三角形 ADE 的直角边一样长，因此三角形 ADE 面积=ABC 面积24.三角形 EFG 的斜边与三角形 ABC 的直角边一样长.因此三角形 EFG 面积=ABC 面积21.阴影部分的总面积是 415.例 9 如右图，已知一个四边形 ABCD 的两条边的长度 AD7，BC3，三个角的度数：角 B 和 D 是直角，角 A 是 45.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰
11、直角三角形 ADE，切掉一个等腰直角三角形 BCE.因为A 是 45，角 D 是 90，角 E 是180-45-90 45，所以 ADE 是等腰直角三角形，BCE 也是等腰直角三角形.四边形 ABCD 的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即772-33220.这是 1994 小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线 AC 把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A 是 45，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，
12、是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有 45和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例 10 在右图 1115 的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽 =15-114是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-423.中间
13、小正方形面积=33 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例 11 从一块正方形土地中，划出一块宽为 1 米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是 15.75 平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道长-宽=1（米）.还知道它的面积是 15.75 平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，
14、仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于 1 米.现在，我们就可以算出大正方形面积：15.754+11 64（平方米）.64 是 88，大正方形边长是 8 米，也就是说长方形的长+宽=8（米）.因此长=（81）2 4.5（米）.宽=8-4.53.5（米）.那么划出的长方形面积是4.514. 5（平方米）.例 12 如右图.正方形 ABCD 与正方形 EFGC 并放在一起.已知小正方形 EFGC 的边长是6，求三角形 AEG（阴影部分）的面积.解：四边形 AECD 是一个梯形.它的下底是 AD，上底是 EC，高是 CD，因此四边形 AECD 面积=（小正方形边长+大正方形
15、边长）大正方形边长2三角形 ADG 是直角三角形，它的一条直角边长 DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此三角形 ADG 面积=（小正方形边长+大正方形边长）大正方形边长2.四边形 AECD 与三角形 ADG 面积一样大.四边形 AHCD 是它们两者共有，因此，三角形AEH 与三角形 HCG 面积相等，都加上三角形 EHG 面积后，就有阴影部分面积=三角形 ECG 面积=小正方形面积的一半= 66218.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.6.3 其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者
16、仔细体会.例 13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有 3 个，面积为 1 的三角形有 5 个，面积为 1.5 的三角形有 1 个，因此围成面积是44-3-5-1.56.5.例 6 与本题在解题思路上是完全类同的.例 14 下图中 ABCD 是 68 的长方形，AF 长是 4，求阴影部分三角形 AEF 的面积.解：三角形 AEF 中，我们知道一边 AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形 AEB，底边 AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即 BC
17、 的长，面积就可以求出.三角形 AEB 的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形 AFB 是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此三角形 AEF 面积（三角形 AEB 面积）-（三角形 AFB 面积）862-482 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例 9 的解法，也是这种思路.例 15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是 10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底高.从图上可以看出，底是 2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 102 的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 102 的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此草地面积=（16-2）（10-2） 112.例 16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.
