1、函数 图象的对称轴与对称中心)sin(xAy新疆民丰县一中 亚库普江奥斯曼摘要：新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数的对称性知识提出自己的观点。)sin(xAy关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该
2、函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180 度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。正弦函数 的图像既是轴对称又是中心对称，xysin它的图象关于过最值点且垂直于 轴的直线分别成轴x对称图形； 的图象的对称轴是经过其图象的xysi“峰顶点”或“谷底点” ，且平行于 轴的无数条直y线；它的图象关于 轴的交点分别成中心对称图形。x正弦函数 的对称轴方程为 ，ysin 2ky对称中心点为（ ）,其中 。0kZk正弦型函数 是由正弦函数)sin(xAy演变而成。xysin一般只要知道正弦
3、函数 图象的对称轴与对xysin称中心就可以快速准确的求出正弦型函数的对称轴与对称中心。)sin(xAy若 是 的对称轴，则a )sin()(xAxfy；若 是它的对称中心，则 。f)(0, 0)(af函数 对称轴方程的求法：令)sin(xAy， 得 ，则1)sin(x ）（ Zk2（ ） ，所以函数 的2kZk)sin(xAy图象的对称轴方程为 ，其中 。2kx Zk例 1：函数 图象的一条对称轴方程是：)5sin(y（ ）（A） （B） （C） （D）2-x4-x8x45解：由性质知，令 得1)25sin(x25kx，即 ，取 时， ，故选（A） 。)(Zk-2kx)(Zk2-例 2：函数
4、 的图象相邻两条对称轴之52sincoxy间的距离是（ ） 。解： ，设 ， 分别是)452sin(52sicoxxy 1x2其相邻两条对称轴与图象交点的横坐标，则有2451x 132 2由 - 得 2 1 )(512x12x可知，相邻两条对称轴之间的距离是 。25函数 的对称中心求法：令)sin(xAy， 得 ，则0)sin(x ）（ Zk，所以函数 的图象)(2Zkkx )sin(xAy关于点 成中心对称。)(0），（例 3：设函数 的图象关于点 成)32sin(xy )0,(1xP中心对称，若 ，则 _.0,1x1解：由性质知， 令 得 ，0)32sin(xkx32)(Z即 ，所以函数 图象的对称中62kx)(Z)i(y心是 。)0,(k在 中，取 ，得 。62x0k 0,26-1x-1由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，因此只要把对称轴的方程代入到函数解析式，函数就会取得最大值或最小值。易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数 的周期是 ，xysink2就会错误的令成 。2kx通过类比可以得到余弦型函数 的)cos(xAy对称轴方程是 ，对称中心点是kx，其中 。)0,2(k Zk
