1、第 1 页（共 16 页）数列倒序相加、错位相减、分组求和一选择题（共 2 小题）1 （2014 秋葫芦岛期末）已知函数 f（x）=x a 的图象过点（4，2） ，令an= ，nN *，记数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（ ）A 1B 1C 1D 12 （2014 春池州校级期末）已知函数 f（x）=x 2cos（x ） ，若 an=f（n）+f（n+1） ，则ai=（ ）A2015B2014C2014D2015二填空题（共 8 小题）3 （2015 春温州校级期中）设 ，若 0a1，则 f（a）+f（1 a）= ， = 4 （2011 春启东市校级月考）S n=12+34+
2、56+（1） n+1n，则 S100+S200+S301= 5 （2010武进区校级模拟）数列a n满足 ，a 1=1，S n 是a n的前n 项和，则 S21= 6 （2012新课标）数列 an满足 an+1+（ 1） nan=2n1，则a n的前 60 项和为 7 （2015张家港市校级模拟）已知数列a n满足 a1=1，a n+1an=2n（nN *） ，则 S2012= 8 （2009上海模拟）在数列a n中，a 1=0，a 2=2，且 an+2an=1+（1） n（nN *） ，则 s100= 9 （2012江苏模拟）设数列a n的前 n 项和为 ，则|a 1|+|a2|+|an|=
3、 10 （2013 春 温州期中）等比数列a n中，若 a1= ，a 4=4，则|a 1|+|a2|+|an|= 第 2 页（共 16 页）三解答题（共 15 小题）11在数列a n中，a 1=18， an+1=an+2，求：|a 1|+|a2|+|an|12 （2010云南模拟）已知数列a n的前 n 项和 Sn=25n2n2（1）求证：a n是等差数列（2）求数列|a n|的前 n 项和 Tn13已知在数列a n中，若 an=2n3+ ，求 Sn14 （2014海淀区校级模拟）求和：S n=1+2x+3x2+nxn115求下列各式的值：（1） （21）+ （2 2+2）+（2 33）+2
4、n+（1） nn；（2）1+2x+4x 2+6x3+2nxn16 （2010 春 宁波期末）在坐标平面 内有一点列 An（n=0，1，2，） ，其中 A0（0，0） ，An（x n，n） （n=1 ，2，3，） ，并且线段 AnAn+1 所在直线的斜率为 2n（n=0，1，2，） （1）求 x1，x 2（2）求出数列x n的通项公式 xn（3）设数列nx n的前 n 项和为 Sn，求 Sn17 （2013 秋 嘉兴期末）已知等差数列a n的公差大于 0，a 3，a 5 是方程 x214x+45=0 的两根（1）求数列a n的通项公式； （2）记 ，求数列b n的前 n 和 Sn18 （2014
5、 秋 福州期末）已知等比数例a n的公比 q1，a 1，a 2 是方程 x23x+2=0 的两根，（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列2na n的前 n 项和 Sn19 （2011 春 孝感月考）求和：S n=（x+ ） 2+（x 2+ ） 2+（x n+ ） 220 （2014 春 龙子湖区校级期中）求数列n 前 n 项和 Sn21 （2011 秋 文水县期中）已知数列a n中，a n=2n33，求数列|a n|的前 n 项和 Sn22数列a n中， an=n2n，求 Sn23已知数列a n中，a n=（2n 1）3 n，求 Sn24求数列 1，a+a 2，a 2+a3+a4，a 3+
6、a4+a5+a6，的前 n 项和 Sn25已知数列a n中， ，试求数列a n的前 n 项之和 Sn第 3 页（共 16 页）第 4 页（共 16 页）数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1 （2014 秋葫芦岛期末）已知函数 f（x）=x a 的图象过点（4，2） ，令an= ，nN *，记数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（ ）A 1B 1C 1D 1【解答】解：函数 f（x）=x a 的图象过点（4，2） ，则：4 a=2，解得：a= ，所以：f（x）= ，则： ，= =则：S n=a1+a2+an= ，则： ，故选：D2 （2014
7、 春池州校级期末）已知函数 f（x）=x 2cos（x ） ，若 an=f（n）+f（n+1） ，则ai=（ ）A2015B2014C2014D2015【解答】解：函数 f（x）=x 2cos（x） ，若 an=f（n）+f （n+1） ， ai=（a 1+a3+a5+a2013） +（a 2+a4+a6+a2014）=（3+7+11+4027）（5+9+13+4029）=21007=2014故选：B第 5 页（共 16 页）二填空题（共 8 小题）3 （2015 春温州校级期中）设 ，若 0a1，则 f（a）+f（1 a）= 1 ，= 1007 【解答】解： ，当 0 a1 时，f（a）+f
8、（1 a） = + = + = + =1，故 =10071=1007，故答案为：1，10074 （2011 春启东市校级月考）S n=12+34+56+（1） n+1n，则 S100+S200+S301= 1 【解答】解：由题意可得，S 100=12+34+99100=50，S 200=12+34+199200=100s301=12+34+299300+301=150+301=151s100+s200+s301=50100+151=1故答案为：15 （2010武进区校级模拟）数列a n满足 ，a 1=1，S n 是a n的前n 项和，则 S21= 6 【解答】解： ，a 1+a2=a2+a3，
9、a1=a3，a3+a4=a4+a5a1=a3=a5=a2n1，即奇数项都相等a21=a1=1S21=（a 1+a2） +（a 3+a4）+ +（a 19+a20）+a 21=10 +1=6答案：6第 6 页（共 16 页）6 （2012新课标）数列 an满足 an+1+（ 1） nan=2n1，则a n的前 60 项和为 1830 【解答】解： ，令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a 4n+1+a4n+3=（a 4n+3+a4n+2）（a 4n+2a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a 4n+4a4n+3）+（a 4n+3+a4n+2）=16n+8 ，则 b
10、n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n1+a4n+16=bn+16数列 bn是以 16 为公差的等差数列，a n的前 60 项和为即为数列b n的前 15 项和b1=a1+a2+a3+a4=10 =18307 （2015张家港市校级模拟）已知数列a n满足 a1=1，a n+1an=2n（nN *） ，则 S2012= 3210063 【解答】解：数列a n满足 a1=1，a nan+1=2n，nN *n=1 时，a 2=2，anan+1=2n， n2 时，a nan1=2n1， =2，数列 an的奇数列、偶数列分别成等比数列，S2012= + =3
11、210063故答案为：32 100638 （2009上海模拟）在数列a n中，a 1=0，a 2=2，且 an+2an=1+（1） n（nN *） ，则 s100= 2550 【解答】解：据已知当 n 为奇数时，an+2an=0an=0，当 n 为偶数时，a n+2an=2an=n，第 7 页（共 16 页），S100=0+2+4+6+100=0+50 =2550故答案为：25509 （2012江苏模拟）设数列a n的前 n 项和为 ，则|a 1|+|a2|+|an|= leftbeginarrayln2+4n1，1 n2n24n+7，n3endarrayright. 【解答】解：S n=n2
12、4n+1，an= ，当 n2 时，a n0，S1=|a1|=a1=2，S 2=|a1|+|a2|=a1a2=3；当 n3，|a 1|+|a2|+|an|=a1a2+a3+an=2S2+Sn=n24n+7|a1|+|a2|+|an|= 故答案为： 10 （2013 春 温州期中）等比数列a n中，若 a1= ，a 4=4，则|a 1|+|a2|+|an|= 2n1frac12 【解答】解：a 1= ，a 4=4，4= q3，解得 q=2即数列a n是以 为首项，以 2 为公比的等比数列则数列|a n|是以 为首项，以 2 为公比的等比数列故|a 1|+|a2|+|an|= =2n1第 8 页（共
13、 16 页）故答案为：2 n1三解答题（共 15 小题）11在数列a n中，a 1=18， an+1=an+2，求：|a 1|+|a2|+|an|【解答】解：数列a n中，a 1=18，a n+1=an+2，an是首项为18，公差为 2 的等差数列，an=18+（n1） 2=2n20，由 an=2n200， n10，设a n的前 n 项和为 Sn，当 n10 时，|a 1|+|a2|+|an|=Sn=18n+ =n2+19n当 n10 时，：|a 1|+|a2|+|an|=Sn2S10=n219n+180|a1|+|a2|+|an|= 12 （2010云南模拟）已知数列a n的前 n 项和 S
14、n=25n2n2（1）求证：a n是等差数列（2）求数列|a n|的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）证明：n=1 时，a 1=S1=23n2 时，a n=SnSn1=（25n2n 2）25（n1）2（n 1） 2=274n，而 n=1适合该式于是a n为等差数列（2）因为 an=274n，若 an0，则 n ，当 1n6 时，T n=a1+a2+an=25n2n2，当 n7 时，T n=a1+a2+a6（a 7+a8+an）=S6（S nS6）=2n 225n+156，第 9 页（共 16 页）综上所知 13已知在数列a n中，若 an=2n3+ ，求 Sn【解答】解：数列a n中，若 a
15、n=2n3+ ，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的数列，Sn=（ 1+1+3+5+（2n3） ）+（ + ）= +=n（n2 ）+1=n22n+1 14 （2014海淀区校级模拟）求和：S n=1+2x+3x2+nxn1【解答】解：当 x=0 时，S n=1；当 x=1 时，S n=1+2+3+n= ；当 x1，且 x0 时，S n=1+2x+3x2+nxn1，xSn=x+2x2+3x3+nxn（1x） Sn=1+x+x2+x3+xn1nxn= ，x=0 时，上式也成立， x1Sn= 第 10 页（共 16 页）15求下列各式的值：（1） （21）+ （2 2+2）+（2 33）+2 n+
16、（1） nn；（2）1+2x+4x 2+6x3+2nxn【解答】解：（1）当 n 为奇数时，1+23+（1） nn= n= ，当 n 为偶数时，1+23+ （1） nn= ，又 2+22+23+2n+= =2n+12，记 Sn=（2 1）+ （2 2+2）+（2 33）+ +2n+（ 1） nn，Sn= ；（2）记 Sn=1+2x+4x2+6x3+2nxn，则当 x=1 时，S n=1+2+4+6+2n=1+2 =n2+n+1；当 x1 时，xS n=x+2x2+4x3+2nxn+1，（ 1x） Sn=1+x+2（x 2+x3+xn） 2nxn+1=1+x+2 2nxn+1，Sn= +2 ；综上所述，S n= 16 （2010 春 宁波期末）在坐标平面 内有一点列 An（n=0，1，2，） ，其中 A0（0，0） ，An（x n，n） （n=1 ，2，3，） ，并且线段 AnAn+1 所在直线的斜率为 2n（n=0，1，2，） （1）求 x1，x 2（2）求出数列x n的通项公式 xn（3）设数列nx n的前 n 项和为 Sn，求 Sn【解答】解：（1）A 0（0，0 ） ，A 1（x 1，1） ，A 2（x 2，2）直线 A0A1 的斜率为 20=1，x1=1直线 A1A2 的斜率为 2， ，
