1、求轨迹方程的常用方法：题型一 直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件 直接)(|MP翻译成 的形式 ，然后进行等价变换，化简 ，要注意轨迹方程yx,0),(yxf 0),(yxf的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性） ；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性） 。例 1 过点 任作互相垂直的两直线 和 ，分别交 轴于点 ，求线段)3,2(AAMNyx,NM,中点 的轨迹方程。MNP解：设 点坐标为 ，由中点坐标公式及 在轴上得 ，),(yx, )2,0()0,(x),(RyxA1NMk，
2、化简得203yx)(x01364yx)(x当 时， ， ，此时 的中点 它也满足方程 ，),0,MN2,P01364yx所以中点 的轨迹方程为 。P1364yx变式 1已知动点 到直线 的距离是它到点 的距离的 2 倍。(,)Mxy:l(1,0)（1） 求动点 的轨迹 的方程；C（2） 过点 的直线 与轨迹 交于 两点。若 是 的中点，求直线 的(0,3)Pm,ABPBm斜率。题型二 定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例 2 动圆 过定点 ，且与圆 相切，求动圆圆心 的轨迹M)0,4(P08:2xyCM方程。解：根据题意 ，说
3、明点 到定点 的距离之差的绝对值为定值，|CMP、故点 的轨迹是双曲线。42a，c12b故动圆圆心 的轨迹方程为M124yx变式 2在 中， 上的两条中线长度之和为 39，求 的重心的轨迹方ABC 2ACB， ABC程解：以线段 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立直角坐标系，如图 1， 为xyM重心，则有 3926M点的轨迹是以 为焦点的椭圆， BC，其中 123ca25bac所求 的重心的轨迹方程为 A 21(0)69xy题型三 相关点法此法的特点是动点 的坐标取决于已知曲线 上的点 的坐标，可先用),(yxMC),(yx来表示 ，再代入曲线 的方程 ，即得点 的轨迹方程。yx,C0)
4、,(yxfM例 3 如图，从双曲线 上一点 引直线 的垂线，垂足为 ，求线段12yxQ2N的中点 的轨迹方程QNP分析：从题意看动点 的相关点是 ， 在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为),(yxQ),(1yxN)2,(11yx在直线 上，N11yx又 垂直于直线 ，PQ2x，即 1xy01y由解得 1231yxy又点 在双曲线 上， Q121yx代入，得动点 的轨迹方程为P0yx变式 3 已知ABC 的顶点 ，顶点 在抛物线 上运动，求 的重(30)(1BC，A2xABC心 的轨迹方程G解：设 ， ，由重心公式，得 又()xy0()A
5、y 0031xy，3y， 在抛物线 上， 0()A， 2x20x将，代入，得 ，3()(yy即所求曲线方程是 240x题型四 参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 ，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得yx,其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例 4 已知线段 ，直线 垂直平分 于 ，在 上取两点 ，使有向线段2AalAOlP，满足 ，求直线 与 的交点 的轨迹方程OP，4PPM解：如图 2，以线段 所在直线为 轴，以线段 的中垂线为 轴建立直角坐标系xy设点 ，(0)
6、t，则由题意，得 40Pt由点斜式得直线 的方程分别为 A， 4()()tyxayxat，两式相乘，消去 ，得 t22440xa这就是所求点 M 的轨迹方程变式 4 设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于点 ， 是坐标原142yx)1,0(MlBA， O点， 上的动点 满足 ，点 的坐标为 ，当 绕点 旋转时，lP(OBAN)21,(lN求：（1）动点 的轨迹方程；（2） 的最小值与最大值.|P分析：（1）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，求出 ，进而表示出点l 2121,yx坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将 表示成变量 的二次函数。P|N解：（1）法一：直线 过点 ，当 的斜率存在时，设其
7、斜率为 ，则 的方程为l)1,0(Ml kl。设 ， ，由题设可列方程为kxy),(1yxA2yB42x将代入并化简得： ，032)4(kx所以 22148kyx于是 )(OBAP)2,(11yx)4,(22k设点 的坐标为 ，则,yx24kyx消去参数 得 02yx当直线 的斜率不存在时， 的中点坐标为原点 ，也满足方程，l BA， )0,(所以点 的轨迹方程为 。P42yx法二：设点 的坐标为 ，因 ， 在椭圆上，所以),(),(1),(2yx1421yx得： 0)(42121yx所以 )()( 21222当 时，有 21x04212121xyyx并且 2121xyy将代入并整理得 042y当 时，点 的坐标分别为 、 ，21xBA， ),()2,这时点 的坐标为 ，也满足，所以点 的轨迹方程为 。P)0,(P14)2(162yx（2）由点 的轨迹方程知 ，即162x4x所以 ，2)()(|yNP221)(27)(3x故当 时， 取得最小值，最小值为 ；41x|故当 时， 取得最小值，最小值为 ；6| 621
