1、1求轨迹方程的六种常用方法1直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例 1已知线段 ，直线 相交于 ，且它们的斜率之积是 ，求点6ABBM, 49的轨迹方程。M解：以 所在直线为 轴， 垂直平分线为 轴建立坐标系，则 ，xy(3,0)(,AB设点 的坐标为 ，则直线 的斜率 ，直线 的(,)yAAMkxM斜率 3AMkx由已知有 4()9化简，整理得点 的轨迹方程为21(3)4xy练习：1平面内动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2，则点 的轨迹P(10,)FxP方程是 。2设动直线 垂直于
2、轴，且与椭圆 交于 、 两点， 是 上满足lx24xyABPl的点，求点 的轨迹方程。1PABP3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ）A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线22定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例 2若 为 的两顶点， 和 两边上的中线长之和是 ，(8,0)(,BCABACB30则 的重心轨迹方程是 _。A解：设 的重心为 ，则由 和
3、两边上的中线长之和是 可得,)Gxy，而点 为定点，所以点 的轨迹为以230(8,0)(,G为焦点的椭圆。,BC所以由 可得2,8ac21,6abc故 的重心轨迹方程是A2(0)03xy练习：4方程 表示的曲线是 （ ）22(1)()|xyxyA椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线3点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ，12(,)(,)AxyB 12x， ， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ，12yAB(,)Pxy且直线 的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程。12A21yx例 3椭圆 中,过 的弦恰
4、被 点平分,则该弦所在直线方程为24xy(,)P_。解：设过点 的直线交椭圆于 、 ，则有(1,)P1(,)Axy2(,)B 24xy243 可得12121212()()04xxyy而 为线段 的中点，故有,)PAB,x所以 ，即121212()012ABk所以所求直线方程为 化简可得()yx30xy练习：5已知以 为圆心的圆与椭圆 交于 、 两点，求弦 的中点(2,)P2ymABA的轨迹方程。M6已知双曲线 ，过点 能否作一条直线 与双曲线交于 两点，使21yx(,)Pl,为线段 的中点？PAB4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下
5、特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点 在已知方程的曲线上移动；P另一个动点 随 的变化而变化；M在变化过程中 和 满足一定的规律。例 4 已知 是以 为焦点的双曲线 上的动点，求 的重心 12,F2169xy12FPG的轨迹方程。解：设 重心 ，点 ，因为(,)Gxy0(,)Pxy12(4,0)(,F则有 ， 故 代入 304yy396yx得所求轨迹方程 291(0)6x4例 5抛物线 的焦点为 ,过点 作直线 交抛物线 、 两点,再以24xyF(0,1)lAB、 为邻边作平行四边形 ，试求动点 的轨迹方程。AFBABR解法一：（转移法）设 ， ，平行四边形 的中心为(,)Rx(,)
6、FR，1(,)2xyP将 ，代入抛物线方程,得 ，k240xk设 ，则12()()AB121260|44kxkx ，2221111()44xy k 为 的中点 . ，消去 得PAB1221kyyx342kyxk，由得， ，故动点 的轨迹方程为 。24(3)xy|4xR2()|4xx解法二：（点差法）设 ， ，平行四边形 的中心为(,)Ry(0,1)FAFBR，1(,)2P设 ，则有12(,)AxyB 424xy由 得 111212()4lxk而 为 的中点且直线 过点 ，所以 代PABl0,12132,lyxx5入可得 ，化简可得 34yx221414xxy由点 在抛物线口内，可得 1(,)2
7、P22()8()y将式代入可得2218(16|44xx故动点 的轨迹方程为 。R23)(|y练习：7已知 ，在平面上动点 满足 ，点 是点 关于直线(1,0),4ABQ4ABPQ的对称点，求动点 的轨迹方程。2yxP5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例 6过点 作直线 交双曲线 于
8、、 两点，已知(2,0)Ml21xyAB。OPAB（1）求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；P（2）是否存在这样的直线 ，使 矩形？若存在，求出 的方程；若不存在，lOPl说明理由。解：当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，代入方程 ，得ll(2)0ykx21xy22(1)410kxk因为直线 与双曲线有两个交点，所以 ，设 ，则l 12(,)(,)AyB2211,k 2121212 24()()()11kkyxkx设 ，由 得,POAB224,)(,)yxy6 所以 ，代入 可得 ，化简得2241kxyxky241ky241()xy即 240x2()x当直线 的斜率不存在时，易求得 满足
9、方程，故所求轨迹方程为l (4,0)P，其轨迹为双曲线。 （也可考虑用点差法求解曲线方程）()y（2）平行四边 为矩形的充要条件是 即 OABOAB120xy当 不存在时， 、 坐标分别为 、 ，不满足式k(2,3)(,)当 存在时， 21211 1()4xyxkxkxk化简得 ，22()440k201此方程无实数解，故不存在直线 使 为矩形。lOPAB练习：8设椭圆方程为 ,过点 的直线 交椭圆于点 、 , 是坐标原点,点142yx(0,)MlABO满足 ,点 的坐标为 ,当 绕点 旋转时,求:P)(BAON21lM(1)动点 的轨迹方程； (2) 的最小值与最大值。|P9设点 和 为抛物线
10、 上原点 以外的两个动点，且 ，24(0)ypxOAB过 作 于 ，求点 的轨迹方程。M6交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例 7已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 、 是椭圆长轴的两个端N12byax AB点，求直线 和 的交点 的轨迹方程。MABP解 1:(利用点的坐标作参数)令 ，则1(,)xy1(,)Nxy而 .设 与 的交点为(,0(,)Aa因为 共线，所以 因为 共线，所以Paxy1,BPaxy17两式相乘得 ， 而 即 代入212axyaxy12byax2)1(axb得 ， 即交点 的轨迹方程
11、为 2bxPyx解 2: (利用角作参数)设 ，则cos,in)Ma(cos,in)Nab所以 , 两式相乘消去bxyaxy即可得所求的 点的轨迹方程为 。P12ba练习：10两条直线 和 的交点的轨迹方程是_ 01yax)(0yx_。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性” ，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明 的取值范围，或同时注明 的取值范围。x,xy2 “轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程” ，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉
12、增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。8练习参考答案12()1648xy2解：设 点的坐标为 ，则由方程 ，得P(,)xy24xy24x由于直线 与椭圆交于两点 、 ，故lAB即 、 两点的坐标分别为AB22(,),()xx2 244(0,),(0,)xPyPBy由题知 即1A22(,)(,)1xx 即 所以点 的轨迹方程为224xy26yP2(2)63yx3D 【解析】在长方体 中建立如图所示1ABCD的空间直角坐标系，易知直线 与 是异面垂直的1两条直线，过直线 与 平行的平面是面 ，ABCD设在平面 内动点 满足到直线 与(,)Mxy的距离相等，作 于 ，1C1P
13、1于 ， 于 ，连结 ，易知MNC平面 ，则有 ，1,DMP(其中 是异面直线 与 间的距离)，即有 ，因此动22|yxaA122yxa点 的轨迹是双曲线，选 D.4A5解 设 ，(,)12(,)(,)AyBx则 ，由 ， 122xmy1yx2两式相减并同除以 得1()xMOPBA x9, 而1212yxxxyy12ABykx, 又因为 所以PMkPPM化简得点 的轨迹方程121xy240xy6先用点差法求出 ，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。0xy中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。7解：设 ，则(,)Qxy(1,)(1,
14、4)AxyQBxy由 4 (1)(4)B xy即 223所以点 的轨迹是以 为圆心，以 3 为半径的圆。(0,)C点 是点 关于直线 的对称点。P4yx动点 的轨迹是一个以 为圆心，半径为 3 的圆，其中 是点0, 0(,)Cxy关于直线 的对称点，即直线 过 的中点，且与(0,2)C2()2(4)yx垂直，于是有 即000124yxx0082182yxy故动点 的轨迹方程为 。P2(8)()98解：(1)解法一:直线 过点 ，设其斜率为 ,则 的方程为 l,1Mkl1ykx记 、 由题设可得点 、 的坐标 、 是方程组 ),(1yxA,2yBAB),(1x),(242k的解 将代入并化简得,
15、 ,所以 于032)4(kx.48,221kyx是 ).4,()2,()(21 21kyxOBAP 10设点 的坐标为 则 消去参数 得 P),(yx.4,2kk042yx当 不存在时, 、 中点为坐标原点 ,也满足方程 ,所以点 的轨迹方程为kAB(0)P240xy解法二:设点 的坐标为 ,因 、 在椭圆上,所以 P)(yx,1y)2yxB ,121 .42得 ,所以 0)(42121yx.)()( 212221x当 时,有 21.04212121 xyyx并且 将代入并整理得 .1,2,21xyyx .042yx当 时,点 、 的坐标为 ，这时点 的坐标为21xAB(0,2)P(0,)也满足,所以点 的轨迹方程为 P2164yx(2)解:由点 的轨迹方程知 ，即 所以 21x127)6(3)()()21(| 222 xyxNP故当 , 取得最小值,最小值为 时, 取得最大值, 最大值为4| 1;4当 |NP2169解法 1 ：(常规设参)设 ， ，则(,)Mxy12(,)(,)ABxy
