1、河北衡水中学 2016-2017 学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则集合 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选 D.2. ，若 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ,则 ,选 A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为3. 数列
2、为正项等比数列，若 ，且 ，则此数列的前 5 项和 等于 （ ）A. B. 41 C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以，选 A.4. 已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以线段 为边作正三角形 ，如果线段 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率 等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选 D.5. 在 中， “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 时， ，所以必要性成立； 时，所以充分性不成立，选 B.6. 已知二次函数 的两个零点分别在区间 和 内
3、，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A 学|科| 网.【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为 ）：，而 ，所以直线 过 C 取最大值 ，过 B点取最小值 ， 的取值范围是 ，选 A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，若该简单几何体的体积是 ，则其底面周长
4、为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，周长为 ，选 C.8. 20 世纪 30 年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半；如果 是奇数，则将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“ ”猜想的一个程序框图，若输出 的值为 8，则输入正整数 的所有可能值的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得 ； ，因此输入正整数 的所有可能值的个数为 4，选
5、 B.9. 的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 项的系数为（ ）A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得 ,所以 展开式中 项的系数为,选 A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.10. 数列 为非常数列，满足： ，且对任何的正整数 都成立，则 的值为（ ）A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275【答案】B【解析】因为 ，所以，即，所以 ,叠加得
6、, ， ,即 从第三项起成等差数列，设公差为 ，因为 ，所以 解得 ，即，所以 ，满足 ，选 B.11. 已知向量 满足 ，若 ， 的最大值和最小值分别为 ，则 等于（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】因为 所以 ；因为 ，所以学|科|网.的最大值与最小值之和为 ，选 C.12. 已知偶函数 满足 ，且当 时， ，关于 的不等式在 上有且只有 200 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为偶函数 满足 ，所以 ，因为关于 的不等式 在 上有且只有 200 个整数解，所以关于 的不等式在 上有且只有 2 个整数解，因为 ，所以 在上单调
7、递增，且 ，在 上单调递减 ，且 ，因此 ，只需 在 上有且只有 2 个整数解，因为 ，所以，选 C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场商品的售价 元和销售量 件之间的一组数据如下表所示：价格 8.5 9 9.5 10
8、 10.5销售量 12 11 9 7 6由散点图可知，销售量 与价格 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 ，则_【答案】39.4【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 .14. 将函数 的图象向右平移 个单位（ ） ，若所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是_【答案】【解析】 向右平移 个单位得 为偶函数，所以，因为 ，所以 学|科|网.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平
9、移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数是奇函数 ；函数 是偶函数；函数 是奇函数 ；函数是偶函数 .15. 已知两平行平面 间的距离为 ，点 ，点 ，且 ，若异面直线与 所成角为 60，则四面体 的体积为_【答案】6【解析】设平面 ABC 与平面 交线为 CE，取 ,则 16. 已知 是过抛物线 焦点 的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足，则 的值为_【答案】【解析】因为 ，所以 因此 ，所以 因为 ，所以 ，因此 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，已知 关于 边的对称图形为 ，延长 边交 于点
10、 ，且 ，.（1）求 边的长；（2）求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出 再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得 边的长；（2）先由余弦定理求出 ，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求 的值.试题解析：解：（1）因为 ，所以 ，所以 因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 （2）由（1）知 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以学| 科|网.18. 如图，已知圆锥 和圆柱 的组合体（它们的底面重合） ，圆锥的底面圆 半径为 ， 为圆锥的母线， 为圆柱 的母线， 为下底面圆 上的两点，且 ， ，.（1）求证：平面 平面 ； （2）求二
11、面角 的正弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得 ,再根据圆柱性质得 平面 ，即有，最后根据线面垂直判定定理得 平面 ,即得平面 平面 ；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为 ，又圆柱的高为 ，所以 ，因为 ，所以 ，连接 ，易知 三点共线， ，所以 ，所以 ，解得 ，又因为 ，圆 的直径为 10，圆心 在 内，所以易知 ，所以 因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 又因为
12、平面 ，所以平面 平面 （2）如图，以 为原点， 、 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系则 所以 ，设平面 的法向理为 ，所以 ，令 ，则 可取平面 的一个法向量为 ，所以 ，所以二面角 的正弦值为 19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第 3 个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台阶，当有任何一方登上第 3 个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为 （1）求游戏结束时小华在第 2
13、个台阶的概率；（2）求 的分布列和数学期望【答案】 （1） （2） 学|科|网.【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为 再分两种情况分别计数：一种是小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率， （2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有 个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第 次划拳小华赢”为 ；事件“第 次划拳小华平”为 ；事件“第 次划拳小华输”为 ，所以 因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为 ，第二种：小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为 （2）依题可知 的可能取值为 2、3、4、5，
