1、第三章 矩阵的标准形与若干分解形式1 矩阵的相似对角形一、知识回顾1线性变换在两组基下的矩阵相似,相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。2特征值与特征向量,特征子空间 及其维数,特征值的代数重数与几何重数。V3矩阵与对角形相似的充要条件:有 n 个线性无关的特征向量。4矩阵与对角形相似的充分条件:有 n 个不同的特征值。若 为 阶矩阵,矩阵Annnn naaE 21221121称为 的特征矩阵。又多项式A niAf 1|)(称为 的特征多项式,这里 , , 是 的所有 阶主Aanii1tr|)1(Aniai子式的和与 的乘积。 叫 的迹。i)1(Atr属于矩阵 的同一个特征值 的所有特征向量连同零
2、向量一起,构成一个线性空间0,称为 的特征子空间。特征子空间 的维数不超过特征根 的重数。0VA0V0二、寻找矩阵的相似对角形的方法例 3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似(1) ,(2) ,(3) 。120365A12A284013A提示:(1) ;3,31;21,2,031 xx, 。32011P 6321301P(2) ; ;5,1321 321,2,013xx; 。1P131P(3) ; 的特征子空间是一维的;不存在三个线性无关的特征向量。2,1321例 3-2 设 ,求 的相似对角形及 。163054AA10A2 矩阵的约当标准形当矩阵 不能和对角形矩阵相似时,能否找到一个构造比较
3、简单的分块nijCa)(对角矩阵和它相似呢?当我们在复数域 内考虑这个问题时,这样的矩阵确实是存在的,这就是约当(Jordan)形矩阵,称之为矩阵 的约当标准形。A定义 若数域 上多项式 满足 ,则称 整除P)(,)(xgqf)()(gqf)(,记为 。)(f )(|fg定义 31 设 是 上多项式,如果存在 上多项式 满足, P)(d(1) , (即 可以整除 ) ;)(|fd)(|gd)(d),(gf(2)若有 上多项式 , , ,则有 ,则P1x|1f|1 )(|1称 是 的一个最大公因式,记 表示首项系数为 1 的最大公因)()(,gf )(,式。三个多项式 的最大公因式 可定义为)(
4、,)(hgf )(,)(hgf,)(gf1行列式因子设 , 是 的特征矩阵,记为 。nijCaA)(AE)(A定义 32 中所有非零的 阶子式的首项(最高次项)系数为 1 的最大公因式k称为 的一个 阶行列式因子( ) 。)(kD)(kn,21,并且 ( ) 。|AEn)(|1kkD ,3例 33 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子:(1) ;(2)1a12不变因子,初等因子定义 33 下列 个多项式n, , ,)(11Dd)(122d)()(233Dd)()(1nnDd称为 的不变因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的)(A乘积,所有这些一次因式的方幂(相同的必须按出
5、现次数计算) ,称为 的初等因子。)(A由于这里的 完全由 决定,所以这里 的不变因子及初等因子也AE)( )(常称为矩阵 的不变因子及初等因子。A例 34 求下列矩阵的不变因子及初等因子(1) ;(2)1120A例 35 设 (各个 ) ,求 的初等因子。aba 0iA3约当标准形设矩阵 A 的全部初等因子为: 。相对于每个初等skkk ,21因子 构造一个 ki 阶的 Jordan 矩阵块:ik。siJiiii ,1,1 由所有这些 Jordan 块构成的对角矩阵 sJJ21称为矩阵 A 的 Jordan 形矩阵,或 A 的约当标准形。定理 34 每个 阶复数矩阵 都与一个约当形矩阵 相似
6、n;JP1除去约当块的排列次序外,约当形矩阵 是被矩阵 唯一决定的。J这个定理用线性变换的语言来说就是:设 是复数域上 维线性空间 的线性变换,则在 中必定存在一个基,使 在这个TnVVT基下的矩阵是约当形矩阵;除去约当块的排列次序外,这个约当块矩阵是被 唯一决定的。推论 复数矩阵 与对角形矩阵相似的充要条件是 的初等因子全为一次因式。AA注意:由于 | 21 sJEJJEE skkk )()()(21所以约当形矩阵 的主对角线上的元素 全为 的特征值,并且 。但Js,21 Anksi1ji时可能有 ji,故 不一定是 的 重特征根,故一般由矩阵的特征多项式不能iAik写出矩阵的约当形矩阵。例
7、 36 求矩阵 的 Jordan 标准形及所用的矩阵 P。21A解: (1) 341020E210所以 A 的初等因子为 ,故 A 的 Jordan 标准形为 。2,1 1J(2)设 。由 ,得 , 即321,xPJP1J321321,xx。于是有31 ,x(1)1xAE(2)32(3)方程组(1) 、 (3)的基础解系为: 。TT1,0,12ee取 ,而 。为使(2)有解,选择 c1, c2 T0,1x cc213x的值是下面两矩阵的秩相同:, 211,12cAE的 c1=2, c2=-1。所以 。将所求的 代入方程(2)并解之得: 。T,3x3xT1,2x易证 线性无关。 。321,x10
8、2P例 37 求矩阵 特征多项式、初等因子及约当标准形。6354A解 易得 的特征多项式为 )2(1|)(Ef并且可以求得不变因子为, ,1)(d)(2 )(1)(3d故初等因子为, ,因此约当标准形为对角形矩阵 21J例 38 求线性微分方程组 的通解。3132214xdtxxtd解:方程组可以写成 。其中 , 。xAt 2014Tx321,(1)求 A 的初等因子及 Jordan 标准形。 。J(2)求相似变换矩阵。 。120P(3)作满秩线性变换 ,其中 ,则有 。即yxPTy321, yAPdt1(*)323ydttd(上述过程实际上是将系统解藕的过程) 。(4)求(*)的通解,进而求
9、原方程组得通解。ttektP322110yx例 39 利用约当标准形证明:若 n 阶矩阵 A 的特征值为 ,则 的特征n,1 mA值为 。mn,1证明:设 的约当形矩阵为AsJJ21其中 iiiiJ1因 ,故AP1PAm但是有,msmJJ21 miimii * 显然 的特征值就是 的特征值的 次幂,而相似矩阵有相同的特征值,故 的特征值mJ mA就是 的特征值,即 (或 )的特征值的 次幂。证毕。mJAJm3 哈密顿凯莱定理及矩阵的最小多项式一、哈密顿凯莱(Hamilton-Cayley)定理定理 1 每个矩阵都是它的特征多项式的根。即若矩阵 A 的特征多项式是,则有 nnaaAEf 11。
10、3-6 01 EAf证明:设 是 的伴随矩阵,则B。 3-7fEA)(由于 的元素都是次数不超过 的 的多项式,所以1n。120nBB其中 为 阶数字矩阵。于是有iBn。 3-8AAAE nnn 121010)( 注意到 , 3-9EaEaf n由等式 3-7,38,39 即得: AB101Eann112以 一次右乘上面的第一式、第二式,第 式,并将它们加起来,EAn,1 n左边为零,右边即为 。f例 38 设 ,试计算 。012 EAA432)(2458定义:方阵 的零化多项式:使 的多项式 。A0A注:如果多项式 的次数比 的高,则在计算 时,存在一个次数比A低的多项式 ,使得 。事实上,
11、用 去除 ,得:)(rr。将 A 代入即可。p二、矩阵的最小多项式定义 34 设 A 是 阶矩阵,则 A 的首项系数为 1 的次数最小的零化多项式 ,n m称为 A 的最小多项式。2最小多项式的性质(1) 矩阵 的任一零化多项式都能被最小多项式所整除。证明: 。则 。由于 是最小多项式,只能有rmq0m是零多项式。r(2) 矩阵 A 的最小多项式是唯一的。证明:用结论(1) 。若有两个最小多项式,则它们互相整除,且都是首一多项式,只能相等。(3) 相似矩阵的最小多项式相同。证明:设 B=P-1AP,则对于任一多项式 ,有 ,从而 A 和 B 的pPpB1零化多项式是相同的。(4) 矩阵 A 的
12、最小多项式的根必定是 A 的特征根;反之,A 的特征根也一定是 A 的最小多项式的根。证明:由(1) ,特征多项式 能被最小多项式 所整除。所以矩阵 A 的最小多fm项式的根必定是 A 的特征根。反之,若 ,则 。00x 00Ax注:求最小多项式的方法之一:若矩阵 A 的特征多项式是,则 的最小多项式具有形式:skkf 1,snnm1其中 。sikni ,1,例 3-9 求矩阵 的最小多项式,其中 。A03125A解:A 的特征多项式是 ,于是 A 的最小多项式只能是42f或 。mf直接验证得 。042EA例 约当块 的最小多项式的是 。iniiiJ1 inm证明: 的特征多项式为 ,而 , iJin)(01EJii,所以 的最小多项式为 。01)( iniEJiJin)((5)设 是一个分块矩阵, , 的最小多项多等于 的最AsAA21 iA小多项式的最小公倍式, 。si,21证明:设 的最小多项式为 , 的最小多项式为 , 的最小公倍式是iA)(xfi )(xffi,由 整除 知 , 。)(xg)(fi)(g0iAsi,21