1、2.2 有限杆上的热传导定解问题：一均匀细杆，长为 ，两端坐标为 。杆的侧面绝热，且l lx ,0在端点 处温度为零，而在 处杆的热量自由发散到周围温度为 0 的介0xx 质中。初始温度为 ，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题：)( .0 ),(u0,hu, l ,02lxtxatutx仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似2.1中步骤，设 ，代入上面的方程可得)(),(tTxXtu.0)()(,)()( 2 22 xXtTatx从而可得通解 BAxXsinco由边界条件知 .0)(,0)( lhXl从而 .tan0sico, hllhlA令 tan1,ll上方程的
2、解可以看作曲线 ， 交点的横坐标，显然他们有无穷1y2y多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,21n于是得到特征值问题的无穷个特征值1,23.)(n ,2ln及相应的特征函数 xBxXnnsi)(再由方程 ， 可得0)()(2 tTat，tanneAt2)(从而我们得到满足边界条件的一组特解 xCtxuntannsi),(2由于方程和边界条件是齐次的，所以 1si),(2nntaetn仍满足此方程和边界条件。下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin1xC可以证明 在区域0,l上具有正交性，即sinxl mnxd0 n ,0sii证明： 0)(sincocsin 2)()
3、()()( sinsin )co()(co21sin00 mnm mnnmml nlm ll lll dxxd完成。令 l nnxdL0 ,sii于是， lnnC0si)(1从而得到定解问题得解。lnntaxdLCetxun01si)(,),(22.3 圆域内的二维 Laplace 方程的定解问题平面极坐标 和直角坐标 的关系是),(),(yx.sin ,cos由此可得 dyxdcossin,ci即是 ,cos ,sin,i ,cyyxx由复合函数求导法则，可得 ,cossin ,iyyxx进一步，可得221)(1在此基础上，还可以得到柱坐标系下的 Laplace 算符考虑圆域内的稳定问题：
4、., ,0220fuyxyx其在极坐标下的表示形式： .20 ),(,( ,20 , ,1102fu因圆域内温度不可能为无限，尤其是在圆盘中心点的温度应该有限，并且表示同一点，故而我们有下约束 )2,( ),(和 ).2,(),(0u下面用分离变量法求解该问题。令 代入极坐标下方程可.(R得： ,0)(1)(1)(2 R,)()( R从而可得常微分方程 .0)()(, 2由有限性及周期边界条件知，)2()|(|R从而得定解问题 ).2(),0求解： 时，通解为0 BeA)(由周期边界条件可得 从而 ，不可取。.0,B0)( 时，通解为0BA)(由周期边界条件可得 B 任意，说明 为一特征值，相
5、应得特征函数为,0A0。1)( 时，通解为0 ,sinco)(BA因以 为周期，所以有 从而可得特征值2,2n1,23. ,特征函数为 ,sinco)(BAnn接下来，求特解，并叠加出一般解。由 Euler 方程 .0)(02 RdR若令 ，即 ，则上方程可写为dtln.02Rdt故 时，通解0 ,ln000 ct 时，通解为2n .nnntnt dcedcR为保证 ，所以可得 ，即|)0(|R,210 ,nc从而，满足齐次方程和周期条件及有限性的解可以表示为级数 ,)sino(2),(10nnbau 最后，为了确定系数，我们利用边界条件可得10 )sinco(2)(0nnbaf 运用性质 n
6、,m ,0cos ,0sini ,cs220 20 xdnmxdx从而可得 .sin)(1,co ,)(12020dfbafn因而，我们有 201010 )(cos)()( )sin )sico(),( dttntf dttttfbaunnnn利用下面的求和公式 1| ,)(cos21 )( )(cos2122() ktnketktintinn 所以， . ,20 ,)cs()(),( 02 22 dtttfu称此表达式为圆域内的 Poisson 公式，它的作用是把解写成积分形式，便于作理论上的研究。例题 解下列定解问题： .20 ,cos),( ,20 , ,1102Auu解：利用公式可知， 所以 。.0 ,)1(,0,1 nnbaA cos),(0Au
