霍尔效应.doc

1、第三章 霍尔效应计算公式在本章开始之前，我们首先来回顾一下霍尔效应的几个参数。霍尔效应主要有面电阻率，体电阻率，面霍尔系数，体霍尔系数，面载流子浓度，体载流子浓度，霍尔迁移率这么几个参数。 体电阻率是材料直接通过泄漏电流的能力的度量。体电阻率定义为边长 1 厘米的立方体材料的电阻，单位为 。 面电阻率定义为材料表面的电阻，单位为 （通常称cm 为方块电阻）。 体霍尔系数，它表示材料产生霍尔效应的本领大小，单位为 。面霍尔系数单31cmC位为 。21cmC 体载流子浓度单位为 ，面载流子浓度单位为 。3c 2 霍尔迁移率指 载 流 子 （ 电 子 或 空 穴 ） 在 单 位 电 场 作 用 下

2、的 平 均 漂 移 速 度 ， 即 载 流 子在 电 场 作 用 下 运 动 速 度 的 快 慢 的 量 度 ， 单 位 为 。21cmVs霍尔效应的测量主要使用两种单位制：国际单位制（SI）和被称为“实验室单位”的单位制、实验室单位制混合了国际单位制、CGS 静电制和 CGS 电磁制。下文的公式都采用实验室单位制。在测试软件里，为了数据录入更方便，一般都使用实验室单位制。在所有的例子中，电压以伏特（V ）为单位，电流以安培（A ）为单位，电阻为欧姆（ ）为单位。其他量的单位都以括号内的为准。以下是标号的含义。 ，V 表示电压，左上角的 表示施加在样品上的电流正负方向；右下角前(),Bijkl

3、两个数字 ij 表示电流从电极 i 流进（I+），从电极 j 流出（I-）；后两个数字表示电极k（V+）和电极 l（V-）之间的电压之差，即 ；括号内表示施加在样品上的磁场klV大小和方向。 ，I 表示电流，左上角表示电流方向，右下角两个数字 ij 表示电流从电极 i 流()Bij进（I+），从电极 j 流出（I- ）；括号内表示施加在样品上的磁场大小和方向，方向定义见图 3.1，即从上面观测，磁场方向垂直于样品且指向观测者，这个方向为正。图 3.1 磁场方向定义下面分别介绍 Van der Pauw 法和 Hall Bar 法的实际测量计算公式。3.1 Van der Pauw 法1958

4、年，范德堡（Van der Pauw,L.J）发表了两篇论文， A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape和 A method of measuring specific resistivity and Hall coefficient on lamellae of arbitrary shape ，阐述了一种测量了电阻率和霍尔系数的新的方法，从理论上证明了这种针对单连通任意形状均匀等厚薄片样品的测量方法。Van Der Pauw 法能计算出一个任意形状但扁平的样品

5、的电阻率，载流子浓度和迁移率，当然样品需要满足以下条件， 接触点在样品的周围； 接触点从分的小； 样品厚度均匀； 样品单一连接，即中间没有穿孔。Van Der Pauw 法的优点是， 只需要 4 个接触点； 不需要测量样品的宽度或接触点的间距； 能用形状不规则的样品。Van Der Pauw 法的缺点是， 需要将近两倍的测量次数； 当用形状不规则的样品时，接触点的大小和位置所引起的误差将会非常显著。3.1.1 电阻率Van der Pauw 法测量电阻率需要围绕样品进行 8 次测量。电极 12 加电流电极 43 测电压，和电极 23 加电流电极 14 测电压，得到的电阻率称之为 ；接下来电极

6、34 加电流电A极 21 测电压，和电极 41 加电流电极 32 测电压，得到的电阻率称之为 。如果样品均匀，B和 会比较接近，求它们的平均值 将能得到样品的电阻率。AB av图 3.2 Van der Pauw 电阻率测量为什么要进行 8 次测量，这是为了消除源误差和副效应误差，在后面一节我们将讨论这个问题。A 部分和 B 部分的电阻率计算公式分别为（3.1）12,43,23,14,lnAVVftIIcm（3.2）34,21,41,32,lBftII 系数 和 与形状因子 和 有关， 和 分别为AfBAQBABQ（3.3） 14,23,1243,14,23,41 VIIVRQ（3.4） 32

7、,41,3421,32,41,23 VIIVRQB注意， 一定要大于 1 ，如果 和 小于 1，则下式的 就用它们的倒数。下式表示了AQBQ与 的函数关系f（3.5）ffQ2lnexpcosh2ln11和 的差值应该在 10%以内，如果超过这个范围，就说明样品不均匀，不能准确地测AB量出电阻率，应当放弃使用 Van der Pauw 法。如果在这个范围，那么样品电阻率取它们的平均值（3.6）2BAavcm为了区别于磁阻效应，以上电阻率都是样品在 0 磁场环境下测试得到的。3.1.2 磁阻效应如果希望计算磁阻效应，可以依据以下公式， 12,4312,4323,1423,14()()()()()l

8、nAAVBVBftBIIII A（3.712,4312,4323,1423,14()()()()IIIIcm） 34,2134,2141,3241,32()()()()()lnBBVBVBftIIII A（3.8）34,2134,2141,3241,32()()()()IIIIcm系数 和 的计算方法和 0 磁场环境下的计算方法是一样的，且整个样品在非 0 磁AfB场环境下的电阻率也是 和 的平均值。()A()B（3.9()2av）在范德堡样品上测量磁阻效应是粗糙的，软件可以选择不测量磁阻效应。3.1.3 霍尔系数Van der Pauw 法测量霍尔系数同样需要围绕样品进行 8 次测量。电极

9、3 和电极 1 之间加电流，然后电极 4 和电极 2 之间测量电压，得到的霍尔系数称之为 ；接下来电极 4HCR和电极 2 加电流，电极 1 和电极 3 之间测量电压，得到的霍尔系数称之为 。D（3.10）31,4231,4231,4231,4280HCVBVBtRIIII 31cm（3.11）42,1342,1342,1342,138DtIIII 31C和 的差值应该在 10%以内，如果超过这个范围，就说明样品不均匀，不能准确地HCR测量出霍尔系数，应当放弃使用 Van der Pauw 法。如果在这个范围，那么样品霍尔系数取它们的平均值2HDCHavR 31cmC（3.12）3.1.4 载

10、流子浓度（ ） 1pHavnRe或 3cm191.6028C（3.13）3.1.5 霍尔迁移率（3.14）Hav21cmVs其中 取相应磁场环境下（磁阻效应）测得的电阻率，如果没有测试磁阻效应，那么av就取 0 磁场环境下测得的电阻率。3.2 Hall Bar 1-2-2-1 法Hall Bar 法是测量霍尔效应的理想方法。因为这种方法可以使电流沿着长轴流过样品，而电流正好垂直于外部磁场。Hall Bar 法常常用在测量磁阻和低电阻的霍尔迁移率当中。Hall bar 法也有缺点，缺点包括： 要测量迁移率最少需要 6 个接触点， 电阻率的测量精度对于样品的形状十分敏感， Hall bar 公式当

11、中的样品宽度和接触点间距都很难精确测量。当然，通过延长接触点的长度可以提高测量的精度，但是这样的形状很难在易碎的样品上做出来。一个理想的六电极 1-2-2-1 样品是均匀的，见图 3.3 。样品两边的电极间距 a 和 b 相等，且电极关于样品长轴的正中心对称。这种样品在进行电阻率和霍尔系数的测量时，允许两次等价的测量来检查样品的均匀性。然而，由于测量霍尔电压的电极都靠近样品的头尾两部，即电流电极，这样会减小霍尔电压，同时也就低估了霍尔系数。尽管这样，1-2-2-1 法包含在 ASTM 标准 F76 里，只是这里的电极定义与标准不一样。图 3.3 六电极 1-2-2-1 样品3.2.1 电阻率如

12、果不测磁阻效应，那么电阻率就在 0 磁场环境下测试，（3.15）56,2356,230AVwtaI cm（3.16）56,1456,140BtbI 和 的差值应该在 10%以内，如果超过这个范围，就说明样品不均匀。如果在这个范A围，那么样品的电阻率就取它们的平均值。 （见公式 3.6）3.2.2 磁阻效应（3.1756,2356,2356,2356,23()AVBVBwtBaIIII）（3.18）56,1456,1456,1456,14()BtbIBIIBI整个样品在非 0 磁场环境下的电阻率也是 和 的平均值。 （见公式 3.9） 。()A()3.2.3 霍尔系数（3.1956,3456,3

13、456,3456,34810HCVBVBtRIIII 31cmC）（3.2056,2156,2156,2156,2180HDtBIIBIIB 31c）和 的差值应该在 10%以内，如果超过这个范围，就说明样品不均匀。如果在HCRD这个范围，那么样品的霍尔系数就取它们的平均值（见公式 3.12） 。3.2.4 载流子浓度（见公式 3.13）3.2.5 霍尔迁移率（见公式 3.14）3.3 Hall Bar 1-3-1-1 法理想的 1-3-1-1 样品，它的电极 2 和电极 4 正好位于长轴中心的两侧，电极 1 和电极 3位于电极 2 一侧且关于它对称。这种样品不允许均匀性检测，但在样品正中心处

14、检测霍尔电压有助于减小由于电流电极带来的霍尔电压衰减。这种方法不在 ASTM 标准 F76 里。图 3.4 六电极 1-3-1-1 样品3.3.1 电阻率如果不测磁阻效应，那么电阻率就在 0 磁场环境下测试，（3.21）56,1356,130VwtbI cm3.3.2 磁阻效应（3.22）56,1356,1356,1356,13()VBVBwtBbIIII3.3.3 霍尔系数（3.2356,2456,2456,2456,24810HVBVBtRIIII 31cmC）3.3.4 载流子浓度（见公式 3.13）3.3.5 霍尔迁移率（见公式 3.14）3.4 Hall Bar 1-3-3-1 法八

15、电极 1-3-3-1 样品是理想的最对称的 Hall Bar 形状。样品两侧各有 3 个电极，它们分布均匀，且关于长轴两两对称。其中电极 2 和电极 4 正好位于长轴中心两侧。电极 1 到 4作为电压测量端，电流从电极 5 流进，从电极 6 流出。八个电极中只有六个用于测量。剩余的两个电极没有命名，只用于保证样品的完全对称。八电极 Hall Bar 法结合了 1-2-2-1 法的均匀性检测和 1-3-1-1 法的中心测量霍尔电压两种优势。它允许两次电阻率测量来检测均匀性，但是霍尔系数测量只有一次测量。1-2-2-1法和 1-3-1-1 法都可以使用八电极的公式，只需要把它们的电极移置到相似位置

16、即可。八电极 Hall Bar 法包含在 ASTM 标准 F76 里，只是这里的电极定义与标准不一样。图 3.5 八电极 1-3-3-1 样品3.4.1 电阻率如果不测磁阻效应，那么电阻率就在 0 磁场环境下测试，（3.24）56,2356,230AVwtbI cm（3.25）56,1456,140BtaI 和 的差值应该在 10%以内，如果超过这个范围，就说明样品不均匀。如果在这个范A围，那么样品的电阻率就取它们的平均值。 （见公式 3.6）3.4.2 磁阻效应（请见公式 3.17, 3.18, 3.9）3.4.3 霍尔系数（3.2656,2456,2456,2456,24810HVBVBtRIIII 31cmC）3.4.4 载流子浓度（见公式 3.13）3.4.5 霍尔迁移率（见公式 3.14）