1、_ （版权所有 翻版必究）高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳：名 称 椭圆 双曲线图 象xOy xOy定 义平面内到两定点 的距离的和为21,F常数（大于 ）的动点的轨迹叫椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 即 aM21当 2 2 时，轨迹是椭圆，ac当 2 2 时，轨迹是一条线段1F当 2 2 时，轨迹不存在c平面内到两定点 的距离的差的绝21,F对值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 即 12Ma当 2 2 时，轨迹是双曲线ac当 2 2 时，轨迹是两条射线当 2 2 时，轨迹不存在标准方 程焦点在 轴上时： x12byax焦点在 轴上时： y2注：根据分母的大小来
2、判断焦点在哪一坐标轴上焦点在 轴上时： x12bya焦点在 轴上时：y2x常数 cba,的关 系 ， ，22b0a最大， bc,，22bac0ac最大，可以 b,渐近线焦点在 轴上时：x0ya焦点在 轴上时：yxb抛物线：_ （版权所有 翻版必究）图形 xyOFlyl方程 )0(2pxy)0(2pxy )0(2pyx )0(2pyx焦点 ), ),(), ),(准线 2x2x2y2y（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程 )0(12bayx（1）范围： ，椭圆落在 组成的矩形中。b-a， by，x（2）对称性:图象关于 y 轴对称。图象关于 x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，
3、简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 奎 屯王 新 敞新 疆椭圆共有四个顶点： ， 。加两焦点 共有六个)0,(,(2aA),0(,(2bB)0,(,(21cF特殊点。 叫椭圆的长轴， 叫椭圆的短轴。长分别为 。 分别为椭圆的长半轴长和短半21A1Ba,轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。 。 。ace2)(1ab10e椭圆形状与 的关系： ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e0,c时的特例。 椭圆变扁，直至成为极限位置线段 ，此时也可认为
4、是椭圆在 时01a21F1e的特例。2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 内常数 ，那么这)1,0(个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 就是离心率。e椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 奎 屯王 新 敞新 疆3. 椭圆的准线方程对于 ，左准线 ；右准线12byaxcaxl21:caxl22:_ （版权所有 翻版必究）对于 ，下准线 ；上准线12bxaycayl21:cayl22:焦点到准线的距离 （焦参数）bcp22（二）双曲线的几何性质：1. （1）范围、对称性由标准方程 ，从横的方向来看，直线 xa,xa
5、 之间没有图象，从纵的方向来看，随着 x12byax的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。（2）顶点顶点： ，特殊点：0,),(21aAbB,0),(21实轴： 长为 2a,a 叫做实半轴长。虚轴： 长为 2b，b 叫做虚半轴长。1双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（3）渐近线过双曲线 的渐近线 （ ）12byaxxaby0y（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率 奎 屯王 新 敞新 疆 范围：e1ce2双曲线形状与 e 的关系： ，e 越大，即渐近线的斜
6、率的绝对122aabk值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 。xy 2e3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是：ab)0(k或写成 。)0(1)(22kbykax 2yx4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线
7、的焦点在同一圆上。_ （版权所有 翻版必究）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为1。5. 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹是l )0(ace双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数 e 是双曲线的离心率。6. 双曲线的准线方程：对于 来说，相对于左焦点 对应着左准线 ，相对于右焦点12byax )0,(1ccxl21:对应着右准线 ；)0,(2cFcaxl22:焦点到准线的距离 （也叫焦参数） 。bp对于 来说，相对于下焦点 对应着下准线 ；相对于上焦点12xay ),0(1cFcayl21:对应着上准线 。),0(2c
8、Fcayl22:（三）抛物线的几何性质（1）范围因为 p0，由方程 可知，这条抛物线上的点 M 的坐标（x，y）满足不等式 x0，02pxy所以这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性以y 代 y，方程 不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做02px抛物线的轴。（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程 中，当 y0 时，x0，因此抛物2pxy线 的顶点就是坐标原点。02pxy（4）离心率抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示。由抛物线的定义可
9、知，e1。【典型例题】例 1. 根据下列条件，写出椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8；（2）和椭圆 9x24y236 有相同的焦点，且经过点（2，3） ；（3）中心在原点，焦点在 x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的_ （版权所有 翻版必究）距离是 。510分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据 a2b2c2 及已知条件确定 a2、b2 的值进而写出标准方程。解：（1）焦点位置可在 x 轴上，也可在 y 轴上因此有两解： 12612y6去（2）焦点位置确定，且为（0， ）
10、，设原方程为 ,（ab0） ，由已知条件有521yxab，故方程为 。14952ba10,22ba102（3）设椭圆方程为 ,（ab0）2byax由题设条件有 及 a2b2c2，解得 b510c 10,5a故所求椭圆的方程是 。yx2例 2. 直线 与双曲线 相交于 A、B 两点，当 为何值时，A、B 在双曲线的同一支1kxy132yxa上？当 为何值时， A、B 分别在双曲线的两支上？a解：把 代入2整理得： （1）0)3(2ax当 时，a24由 0 得 且 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 奎 屯王 新 敞新 疆6a3若 A、B 在双曲线的同一支，须 0，所以 或 。21ax3a故
11、当 或 时，A、B 两点在同一支上；当 时，A、B 两点3 3a在双曲线的两支上。例 3. 已知抛物线方程为 （p0） ，直线 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得)1x(p2ymyxl:的弦长为 3，求 p 的值。_ （版权所有 翻版必究）解：设 与抛物线交于l12(,),|3.AxyBA则由距离公式|AB| |y|2|y|k1)- 2122121 则有 219().y由 02yx，)1(2pxpy去去.,.042121从而 214)()( yyy即 94p由于 p0，解得 3例 4. 过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆 C 相交于 A、B 两点，2直线
12、 y= x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的21方程.解法一：由 e= ,得 ,从而 a2=2b2,c=b.2ac21ab设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0, .)(211yxxy设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB= ,0y又(x0,y0)在直线 y= x 上，y0= x0,2121于是 =1,kAB=1,02yx设 l 的方程为 y=x+1.右焦点(b,0)关于
13、l 的对称点设为(x,y), byxbxy1 12解 得则由点(1,1b)在椭圆上，得 1+2(1b)2=2b2,b2= .89,162aBAy=12xoyxF2 F1_ （版权所有 翻版必究）所求椭圆 C 的方程为 =1,l 的方程为 y=x+1.29168yx解法二：由 e= ,从而 a2=2b2,c=b.,22abac得设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1),将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则 x1+x2= ,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= .214k 21k直线 l：y=
14、x 过 AB 的中点( ),则 ,2,11yx2k解得 k=0，或 k=1.若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y=(x1),即 y=x+1,以下同解法一.解法 3：设椭圆方程为 )1(0(2bayx直线 不平行于 y 轴，否则 AB 中点在 x 轴上与直线 中点矛盾。l ABxy过21故可设直线 )2(1xkl的 方 程 为整 理 得 ：消代 入 y)1(2 )3(0( 222 bakxaba，)2xBA，设 221kx知 ：代 入 上 式 得 ：又 kky(
15、121， ， ，21xk 212akb21kabe又， ，)(2eacb xyl的 方 程 为直 线， ，2a此 时 0243)(2bx化 为方 程 0)13(8)1(2462b， ， ，3b )(yC的 方 程 可 写 成 ：椭 圆 ac又， ，)0(，右 焦 点 F0xl，的 对 称 点关 于 直 线设 点则 ，byxbyx121000， ，得 ：在 椭 圆 上 ， 代 入，又 点 )4()( 2)(34b， 1692b892a_ （版权所有 翻版必究）所以所求的椭圆方程为： 16982yx例 5. 如图，已知P1OP2 的面积为 ，P 为线段 P1P2 的一个三等分点，求以直线 OP1、
16、OP2 为渐近线427且过点 P 的离心率为 的双曲线方程 .213解：以 O 为原点，P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为 =1(a0,b0)2byax由 e2= ，得 .2)13()1c23a两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= x 和 y= x设点 P1(x1, x1),P2(x2, x2)(x10,x20),2323则由点 P 分 所成的比 = =2,11P得 P 点坐标为( ),2,3xx又点 P 在双曲线 =1 上，294ay所以 =1,211)(9)(xax即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 ,427
17、1342sin|211329ta2sin 21349|,34| 2121211 xOPPSxOxxOPxxPP又即 x1x2= 9由、得 a2=4,b2=9故双曲线方程为 =1.942yx例 6. 已知点 B（1，0） ，C（1，0） ，P 是平面上一动点，且满足 .|CBP（1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（2）已知点 A（m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE，且 ADAE，判断：直线 DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点 A（m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD，AE，且 AD，AE 的斜率 k1、k2 满足oyxP
18、P2P1_ （版权所有 翻版必究）k1k2=2.求证：直线 DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设 .4,1)(|),( 22xyxyxCBPyxP 化 简 得得代 入 ).2,5(),(1205)( ),14(24: ).24,(),1(: .24,242 ,048,)1(.1,() 221 22过 定 点即 化 简 得方 程 为则 直 线 得代 入同 理 可 设 直 线可 得由 得代 入的 方 程 为设 直 线 的 坐 标 为点得代 入将 xkyykxkDE kEykyADy kyxkAmmA),1,(21,2,0)(4)(,),(3 112 xxykbkxybyxEDDEmyAAE得
19、由 的 方 程 为设 直 线 得代 入将 )2,1( ,),21(,)1(2.).( ).(,)(,)202)()( 221211 定 点 为 舍 去不 合过 定 点得代 入将 过 定 点得代 入将 代 入 化 简 得将且 xkkxybkxybk kbkbbxbxk【模拟试题】 （答题时间：50 分钟）1、选择题1. 是任意实数，则方程 所表示的曲线不可能是（ ）4sin2yxA. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆2. 已知椭 的一条准线方程是 ，则实数 的值是（ ）12)(1tyx 8ytA. 7 或7 B. 4 或 12 C. 1 或 15 D. 0_ （版权所有 翻版必究）3.
20、 双曲线 的离心率 ，则 的取值范围为（ ）142kyx)2,1(ekA. B. （12，0） C. （3，0） D. （60，12）)0,(4. 以 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）124yxA. B. 6162yxC. D. 142yx45. 抛物线 的焦点坐标为（ ）28mA. B. C. D. )0,()3,( )321,0(m)0,321(m6. 已知点 A（2，1） ， 的焦点为 F，P 是 的点，为使 取得最小值，xy42xy4PFA点的坐标是（ ）PA. B. C. D. ),4(),()1,( )2,(7. 已知双曲线的渐近线方程为 ，一条准线方程为 ，则双曲线方程为（ ）043yx 095yA. B. 1692xy 1692C. D. 2525yx8. 抛物线 到直线 距离最近的点的坐标为（ ）xy4yA. B. C. D. )4,23()1,()9,23()4,(9. 动圆的圆心在抛物线 上，且动圆与直线 相切，则动圆必过定点（ ）xy82 0xA. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，2）10中心在原点，焦点在坐标为(0，5 )的椭圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为 ，21则椭圆方程为( ) 1257D. 1752C. B. A. 22 yxyx
