1、专题六 几何探究题的解题思路一、方法简述随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件-演绎-结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法
2、，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。2.数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3.函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题
3、的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4.转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程图 3yxO PDCBA图 2PDCBA图 1PDCBA实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。三、典例分析例 1: 阅读理解：如图 1
4、，在直角梯形 中， ， ,ABCDO90点 在 边上，当 时，PP易证 ，从而得到 .C解答下列问题：（1） 模型探究：如图 2，在四边形 中，D点 在 边上，当 = = 时，BCA求证： ；BP（2） 拓展应用：如图 3，在四边形 中， = ,4,A6,D10, O60C 于点 ，以 为原点，以 所在的直线O为 轴，建立平面直角坐标系，点 为线段 上一动点（不与端点 、 重合） xP 当 时，求点 的坐标；OP 过点 作 ，交 轴于点 ，设 ， ，求 与 的函数关系式，EDyExOyEx并写出自变量 的取值范围x(1)证明：如图 2，1=180 -B -2 3=180 -APD-2 B= A
5、PD001=3 又B=C ABPPCD DPADAB(2) 如图 3，当APD=60 时 OB=021AB设 P 点坐标为（x，0） ， （0 x8）则 BP=2+x，PC=8-x图 3图 2yxE2E1 MP2P1PODCBA321321PDCBAB=C=APD=60 0 即（2+x）(8-x)= 解得：x =2, =4CDABP 6412x点 P 的坐标为 P（2，0）或 P（4，0）解法一：如图 3，过点 D 作 DMx 轴于点 M则 CM= ，DM= OM=51()当点 P 在线段 OM 上设为 P ，P M=x-5 (0x5)1E OP =DMP =E P D=90110OP P M
6、=OE DM 即 )= (0x5)11x5(3yxy9352() 当点 P 在线段 CM 上设为 P , P M=x-5 (5x8)21+3=90 2+ 3=90 1=2 RtE OP RtP MD00 22 即 x(x-5)= DMOE22DMOE2 3y (5x8)xy9352解法二：如图 3，过点 D 作 DMx 轴于点 M则 CM= ，DM= OM=5 D(5， )21C3()当点 P 在线段 OM 上设为 P ，P M=5-x (0x5) 连接 DE；1 即 -x) + ( ) =( -y) +5 211Ex5(2y2232 (0x5)xy9352() 当点 P 在线段 CM 上设为
7、 P , P M=x-5 (5x8) 连接 DE2 2 即 -5) + ( ) =( +y) +5222DExy(232 (5x8)xy935评析:本题通过“阅读理解模型探究拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示 3 2PNM FEDC BAPFEDC BA 1FE ODC BA了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊” （图 1 为直角情形）入手，到“一般” （图 2 为非直角情形） ；再从“一般” （问题（2）上升到新背景中的“特殊” （问题（2） ，使学生经历了“特殊一般特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, ”的启示
8、，学生在解破ABPCD“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法” ）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力. 例 2. 已知菱形 的边长为 1， ，等边 两边分别交边 、ABCD06ACAEFDC于点 、 .CBEF（1）特殊发现：如图 1，若点 、 分别是边 、 的中点，求证：菱形 对角线EFBB、 的交点 即为等边 的外心；ADO（2）若点 、 始终在分别在边 、 上移动
9、，记等边 的外心为点 .P猜想验证：如图 2，猜想 的外心 落在哪一直线上，并加以证明；AP拓展运用：如图 3，当 面积最小时，过点 任作一直线分别交边 于点 ，DAN交边 的延长线于点 ，试判断 是否为定值，若是，请求出该定值；若不M1DN是，请说明理由解：（1）证明：如图 1，分别连接 、EOF四边形 是菱形BC , 平分 ，ABC ADO90OD3621又 、 分别为 、 中点EFCB 、 、21O 图 1 FED C BA 点 即为 的外心OAFEAEF（2）猜想：外心 一定落在直线 上PDB证明：如图 2，分别连接 、 ，过点 分别作 于 ， 于 .PICDIPJA则 OJI90OC
10、60 JDIEJO360 1236点 是等边 的外心，PAEF ，O120P IJJAI 点 在 的平分线上，即点 落在直线 上PADCDB分析：证点 落在 的平分线上，也就证明点 到直线 、 的距离相等，如PAC此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆，从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接 、 、 四边形 是菱形,P OD60 ,OBCD120CA点 是等边 的外心，PEF , 6OBE180 、 、 、 四点共圆，AP CAD PD 落在 的平分线上.即点 落在直线 上.另解法二：:分别连接 、 、E点 是等边 的外心EF ，OPA120PA 3
11、 OEDC8 、 、 、 四点共圆.AP 30图 2 JIPFEDC BA图 3PFEDC BA图 4PFEDC BA图 5PMG FEDC BAN 落在 的平分线上.即点 落在直线 上.PADCPDB 为定值 21MN当 时， 面积最小，EEF此时点 、 分别为 、 中点B连接 、 交于点 ，由（1）B可得点 即为 的外心PA解法一：如图，设 交 于点CG设 ，则,(0,)DxNy1Ny ，且 ， 是 的中点 CDPBBPMDxBG G1A 即Mxy1xy2221N分析：观察图形，得到结论 ，把 1 用 或 代替，把要计算的线段或相CGAC关线段集中到两个相似的三角形 ， 中，并把长度用字母
12、表示，化简含字母的ND代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。解法二：如图，连接 点 、 分别为 、 的中点PE ， 21DAPEA NMDN设 ，则 ,xy21yExy21 y21DNMyx， 则解法三：过点 作直线 交 于点 ，GHCAH HCD MN DA)1(1 2D 图 6 PN MG FED C BAH 图 7 PN MG FED C BA解法四：过点 作直线 交 于点 ，过点 作 交 于 .CKMNBDKAHMNBD ， KMNAH ， DPA ， ， P11 1由 得：CKAHK DP221NM解法五：如图，过点 作 于 ， 于 ，则ICIPJDA34PIJ DM
13、NPDNSS oJI 60sin2121 234343 DNMD21分析：因为 ，而 正与 的面积有关，其中1DMN， 也可以看成是将 分为 和 后，计算面积过程中涉及的底边。P这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图 4，以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系Ax设直线 的解析式为MNykxb可求得点 的坐标为 P3(,)434 kb4直线 的解析式为MNkkxy43KH图 8PNMG FEDC BA图 9JINMPFEDC BA图 10yxPMOFEDC BAN求得直线 的解析式为DN3yx令 ， 34kxkx43k3
14、260coskxDN令 ， 0kxkkxkM43 2)3(213431 kkkDNM评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心） 、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明） ，将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验
15、等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点 P 落在直线 DB 上，证点 P 落在ADC 的平分线上，也就证明点 P 到直线 AD、AC 的距离相等（结论转换） ，如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第2小题第以探究性问题让
16、学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。四、强化训练1. 如图，在矩形 ABCD中， 9， 3A，点 P是边 BC上的动点（点 P不与点 B、点 重合） ，过点 P作直线 Q ，交 CD边于 Q点，再把 沿着动直线PQ对折，点 的对应点是 R点，设 的长度为 x， R 与矩形 AD重叠部分的面积为 y（1）求 CQP的度数；（2）当 x取何值时，点 R落在矩形 ABCD的 边上？（3）求 与 之间的函数关系式；2.如图 1，在 中， ， ， 是 边上一点， 是在ABCRt096BCADABE边上的一个动点（与点 、 不重合） ， ， 与射线 相交于点 。ACEFF（1）如图 1，如果点 是边 的中点，求证： ；DD Q CBPRA第 1 题图BAD C（备用图 1）BAD C（备用图 2）备 用 图图 2图 1 DCBAFEDCBAFEDCBA（2）如图 2，如果 ，求 的值；mDBAFE（3）如果 ，设 ， ，求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范1xyxx围；3.四边形 是矩形， ， ，点 是射线 上的一个动点（点 不ABCD23ADMDCM与点 重合） ， 是点 关于 的对称点，射线 交射线 于 ，设 ，NMBEm
