1、专题 10 数列求和及其应用2017 年高考数学（理）备考学易黄金易错点1已知数列 an的通项公式为 an ，其前 n 项和为 Sn，若存在 MZ，满足对任意的n 22nn n 1nN *，都有 Sn0， a35， a59，Error! a11， d2， an2 n1.(2)由 an n2，b12 b222 bn2n得 2 n1 n2，b12 b222 bn2n 2( n1)1( n1) 2 (n2)，b12 b222 bn 12n 1两式相减得 2 n1，bn2n bn2 n(2n1)( n2)，又 a11， b14，b12 bnError!记 Tn b2 b3 bn，则 Tn2 252 3
2、72 n(2n1)，2Tn2 352 472 n1 (2n1)，两式相减得 Tn42 n1 (12 n)，则 Tn2 n1 (2n1)4， Sn2 n1 (2n1)4已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn a(Sn an1)( a 为常数，且 a0)，且 4a3是 a1与 2a2的等差中项(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.2n 1an解 (1)当 n1 时， S1 a(S1 a11)，所以 a1 a，当 n2 时， Sn a(Sn an1)，Sn1 a(Sn1 an1 1)，由，得 an aan1 ，即 a，anan 1故 an是首项 a1 a
3、，公比为 a 的等比数列，所以 an aan1 an.故 a2 a2， a3 a3.由 4a3是 a1与 2a2的等差中项，可得 8a3 a12 a2，即 8a3 a2 a2，因为 a0，整理得 8a22 a10，即(2 a1)(4 a1)0，解得 a 或 a (舍去)，12 14故 an( )n .12 12n5 Sn为等差数列 an的前 n 项和，且 a11， S728.记 bnlg an，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 bn的前 1000 项和解 (1)设 an的公差为 d，据已知有 721 d28，解得
4、d1.所以 an的通项公式为 an n.b1lg 10， b11lg 111， b101lg 1012.(2)因为 bnError!所以数列 bn的前 1000 项和为 1902900311893.6已知数列 an的前 n 项和 Sn3 n28 n， bn是等差数列，且 an bn bn1 .(1)求数列 bn的通项公式；(2)令 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. an 1 n 1 bn 2 n解 (1)由题意知，当 n2 时， an Sn Sn1 6 n5，当 n1 时， a1 S111，所以 an6 n5.设数列 bn的公差为 d.由Error!即Error!可解得 b14， d
5、3，所以 bn3 n1.(2)由(1)知， cn 3( n1)2 n1 . 6n 6 n 1 3n 3 n又 Tn c1 c2 cn，得 Tn322 232 3( n1)2 n1 ，2Tn322 332 4( n1)2 n2 两式作差，得 Tn322 22 32 42 n1 ( n1)2 n2 3 44 1 2n1 2 n 1 2n 23 n2n2 ，所以 Tn3 n2n2 .易错起源 1、分组转化求和例 1、等比数列 an中， a1， a2， a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1， a2， a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6
6、 4 14第三行 9 8 18(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足： bn an(1) nlnan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.解 (1)当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26， a318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12， a26， a318，所以公比 q3.故 an23 n1 (nN *)(2)因为 bn an(1) nlnan23 n1 (1) nln(23n1 )23 n1 (1) nln 2( n1)ln 323 n1 (1) n(ln2ln3)(1) nnln3，所以 Sn2(133 n1 )111(1) n(ln2ln
7、3)123(1) nnln3.当 n 为偶数时，Sn2 ln31 3n1 3 n23 n ln31；n2当 n 为奇数时，Sn2 (ln2ln3) ln3来源:Zxxk.Com1 3n1 3 (n 12 n)3 n ln3ln21.n 12综上所述， SnError!【变式探究】设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a11， a22，且 an2 3 Sn Sn1 3， nN *.(1)证明： an2 3 an；(2)求 Sn.(1)证明 由条件，对任意 nN *，有 an2 3 Sn Sn1 3，因而对任意 nN *， n2，有 an1 3 Sn1 Sn3.两式相减，得 an2 an1 3
8、 an an1 ，即 an2 3 an， n2.又 a11， a22，所以 a33 S1 S233 a1( a1 a2)33 a1，故对一切 nN *， an2 3 an.(2)解 由(1)知， an0，所以 3.于是数列 a2n1 是首项 a11，公比为 3 等比数列；数列 a2n是an 2an首项 a22，公比为 3 的等比数列因此 a2n1 3 n1 ， a2n23 n1 .于是 S2n a1 a2 a2n( a1 a3 a2n1 )( a2 a4 a2n)(133 n1 )2(133 n1 )3(133 n1 ) .3 3n 12从而 S2n1 S2n a2n 23 n13 3n 12
9、 (53n2 1)32综上所述，32(51),nnS是 奇 数 ， 是 偶 数 .【名师点睛】在处理一般数列求和时， 一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式【锦囊妙计，战胜自我】有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并易错起源 2、错位相减法求和例 2、已知数列 an的前 n 项和为
10、Sn，且有 a12,3 Sn5 an an1 3 Sn1 (n2)(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn(2 n1) an，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)3 Sn3 Sn1 5 an an1 (n2)，2 an an1 ， ，anan 1 12又 a12， an是首项为 2，公比为 的等比数列，12 an2( )n1 ( )n2 2 2 n.12 12【变式探究】已知正项数列 an的前 n 项和 Sn满足：4 Sn( an1)( an3)( nN *)(1)求 an；(2)若 bn2 nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)4 Sn( an1)( an3) a
11、2 an3，2n当 n2 时，4 Sn1 a 2 an1 3，2n 1两式相减得，4 an a a 2 an2 an1 ，2n 2n 1化简得，( an an1 )(an an1 2)0， an是正项数列， an an1 0， an an1 20，对任意 n2， nN *都有 an an1 2，又由 4S1 a 2 a13 得， a 2 a130，21 21解得 a13 或 a11(舍去)， an是首项为 3，公差为 2 的等差数列， an32( n1)2 n1.(2)由已知及(1)知，bn(2 n1)2 n，Tn32 152 272 3(2 n1)2 n1 (2 n1)2 n，2Tn32 2
12、52 372 4(2 n1)2 n(2 n1)2 n1 ，得， Tn32 12(2 22 32 42 n)(2 n1)2 n1 62 (2 n1)2 n14 1 2n 11 22(2 n1)2 n1 .【名师点睛】来源:学*科*网(1)错位相减法适用于求数列 anbn的前 n 项和，其中 an为等差数列， bn为等比数列；(2)所谓“错位” ，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数(3)为保证结果正确，可对得到的和取 n1,2 进行验证【锦囊妙计，战胜自我】错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要 用于求数列 anbn
13、的前n 项和，其中 an， bn分别是等差数列和等比数列易错起源 3、裂项相消法求和例 3 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a223 a72，且 ， ， S3成等比数列， nN *.1a2 S2 3(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn ，数列 bn的前 n 项和为 Tn，若对于任意的 nN *，都有 8Tn62，故使 Sn5 成立的正整数 n 有最小值 63.132 2n 2132【名师点睛】(1)裂项相消法的基本思想就是把通项 an分拆成 an bn k bn(k1， kN *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 an的通项公式
14、，使之符合裂项相消的条件(2)常用的裂项公式 ( )；1n n k 1k1n 1n k ( )；1 2n 1 2n 1 12 12n 1 12n 1 ( )1n n k 1k n k n【锦囊妙计，战胜自我】裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或 (其中 an为等差数列)等形式的数列求和1anan 1 1anan 21已知数列 1 ，3 ，5 ，7 ，则其前 n 项和 Sn为( )12 14 18 116A n21 B n2212n 12nC n21 D n2212n 1 12n 1答案 A解析 因为 an2 n1 ，12n所以 Sn n21
15、 .n 1 2n 12 1 12n 121 12 12n2已知在数列 an中， a160， an1 an3，则| a1| a2| a3| a30|等于( )A445 B765C1080 D3105答案 B解析 an1 an3， an1 an3. an是以60 为首项，3 为公差的等差数列 an603( n1)3 n63.令 an0，得 n21.前 20 项都 为负值| a1| a2| a3| a30|( a1 a2 a20) a21 a302 S20 S30. Sn n n，a1 an2 123 3n2| a1| a2| a3| a30|765.3已知 Sn为数列 an的前 n 项和，若 an(4cos n) n(2cos n)，则 S20等于( )
