1、1设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D133 23 22答案 C解析 如图，2直线 3x4y 40 与抛物线 x24y 和圆 x2(y1) 2 1 从左到右的交点依次为 A、B、C、D，则的值为_|AB|CD|答案 116解析 由Error!得 x23x 4 0，x A1，x D4，y A ，y D4.14直线 3x4y40 恰过抛物线的焦点 F(0,1)，|AF| yA1 ，|DF|yD15，54 .|AB|CD| |AF| 1|DF| 1 11
2、63已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1(2,0) ，点 B(2， )在椭2圆 C 上，直线 ykx(k 0)与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)在 x 轴上是否存在点 P，使得无论非零实数 k 怎样变化，总有MPN 为直角？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2因为椭圆的左焦点为 F1(2,0)，所以 a2b 24.因为点 B(2， )在椭圆 C 上，2所以 1.4a2 2b2由解得，a2 ，b2.2所
3、以椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)方法一 因为椭圆 C 的左顶点为 A，则点 A 的坐标为(2 ，0)2因为直线 ykx( k0)与椭圆 1 交于两点 E，F，设点 E(x0，y 0)(不妨设 x00)，则点x28 y24F(x 0，y 0)假设在 x 轴上存在点 P(t,0)，使得MPN 为直角，则 0.MP NP 即 t2 0， 22k1 1 2k2 22k1 1 2k2即 t240，解得 t2 或 t2.故存在点 P(2,0)或 P(2,0)，无论非零实数 k 怎样变化，总有MPN 为直角方法二 因为椭圆 C 的左顶点为 A，则点 A 的坐标为( 2 ，0) 2因为直线 yk
4、x( k0)与椭圆 1 交于两点 E，F，设点 E(x0，y 0)，则点 F(x 0，y 0)x28 y24所以直线 AE 的方程为 y (x2 )y0x0 22 2因为直线 AE 与 y 轴交于点 M，令 x0 得 y ，22y0x0 22即点 M .(0，22y0x0 22)同理可得点 N .(0，22y0x0 22)假设在 x 轴上存在点 P(t,0)，使得MPN 为直角，则 0.MP NP 故存在点 P(2,0)或 P(2,0)，无论非零实数 k 怎样变化，总有MPN 为直角4设圆 x2y 22x 150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于
5、C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA| EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围解 (1)因为|AD|AC| ，EB AC，故EBDACDADC，所以| EB|ED|，故|EA| |EB| |EA|ED| AD|.又圆 A 的标准方程为(x1) 2y 216，从而|AD|4，所以 |EA|EB| 4.由题设得 A( 1,0)，B(1,0)，|AB |2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：
6、1(y0) x24 y23(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M (x1，y 1)，N (x2，y 2)由Error! 得(4 k23)x 28k 2x4k 2120.则 x1x 2 ，x 1x2 ，8k24k2 3 4k2 124k2 3所以|MN | |x1x 2| .1 k212k2 14k2 3当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN| 3，|PQ|8，四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 12,8 )35.已知椭圆 C1： 1(a0)与抛物线 C2：y 22ax 相交于 A，B 两点，且两曲线的焦点
7、F 重合x2a2 y23(1)求 C1，C 2 的方程；(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M，Q 两点，与抛物线分别交于 P，N 两点，是否存在斜率为k(k 0)的直线 l，使得 2？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由|PN|MQ|解 (1)因为 C1，C 2 的焦点重合，所以 ，a2 3a2所以 a24.又 a0，所以 a2.于是椭圆 C1 的方程为 1，来源:Zxxk.Comx24 y23抛物线 C2 的方程为 y24x.(2)假 设存在直线 l 使得 2，|PN|MQ|则可设直线 l 的方程为 yk(x1) ，P (x1，y 1)，Q( x2，y 2)，M(x 3
8、，y 3)，N(x 4，y 4)由Error! 可得 k2x2(2k 24)xk 20，则 x1x 4 ，x 1x41，2k2 4k2所以|PN | .1 k2 x1 x42 4x1x441 k2k2由Error! 可得(34k 2)x28k 2x4k 2120，则 x2x 3 ，x 2x3 ，8k23 4k2 4k2 123 4k2易错起源 1、范围、最值问题例 1、如图，椭圆 1(ab0) 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，x2a2 y2b2且 PQPF 1.(1)若|PF 1|2 ，|PF 2|2 ，求椭圆的标准方程；2 2(2)若|PQ| |PF
9、1|，且 ，试确定椭圆离心率 e 的取值范围34 43解 (1)由椭圆的定义，2a|PF 1| PF2|(2 )(2 )4，故 a2.2 2设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1PF 2，因此 2c|F 1F2| |PF1|2 |PF2|2 2 ，2 22 2 22 3即 c ，从而 b 1.3 a2 c2故所求椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)如图，由 PF1PQ ，| PQ| |PF1|，得|QF1| |PF1|.|PF1|2 |PQ|2 1 2由椭圆的定义，|PF 1| PF2|2a，|QF 1|QF 2|2a，进而|PF 1| PQ|QF 1|4a，于是(1 )|PF1|4a，1
10、2解得|PF 1| ，4a1 1 2故|PF 2| 2a|PF 1| .2a 1 2 11 1 2由勾股定理得|PF1|2 |PF2|2|F 1F2|2(2c) 24c 2，进而 e 2 ，即 e .12 59 22 53【变式探究】如图，已知椭圆： y 21，点 A，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为 k 的直线 l 与线x24段 AB 相交于点 D，且与椭圆相交于 E，F 两点来源:(1)若 6 ，求 k 的值；ED DF (2)求四边形 AEBF 面积的最大值解 (1)依题设得椭圆的顶点 A(2,0)，B(0,1) ，则直线 AB 的方程为 x2y 20.设直线 EF 的方程为 ykx(
11、k0)来源:Zxxk.Com由点 D 在线段 AB 上，知 x02kx 020，得 x0 ，所以 ，21 2k 21 2k 1071 4k2化简，得 24k225k 60，解得 k 或 k .23 38(2)根据点到直线的距离公式，知点 A，B 到线段 EF 的距离分别为 h1 ，h 2 ，2k1 k2 11 k2又|EF| ，41 k21 4k2所以四边形 AEBF 的面积为S |EF|(h1h 2)12 21 2k1 4k2【名师点睛】解决范围问题的常用方法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元
12、的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域【锦囊妙计，战胜自我】来源:ZXXK圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值) ，或者利用式子的几何意义求解易错起源 2、定点、定值问题例 2、椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 .x2a2 y2b2 12 10(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点( A，B 不是左，右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解 (1)由 e ，得 a2
13、c，ca 12a 2b 2c 2，b 23c 2，则椭圆方程变为 1.x24c2 y23c2又由题意知 ，解得 c21，2 c2 12 10故 a24，b 23，即得椭圆的标准方程为 1.x24 y23(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error!得(34k 2)x2 8mkx4( m23)0.则Error! 又 y1y2(kx 1m)( kx2m )k 2x1x2mk(x 1x 2)m 2 .3m2 4k23 4k2椭圆的右顶点为 A2(2,0)，AA 2BA 2，(x 1 2)(x22)y 1y20，y 1y2x 1x22(x 1x 2)4 0， 40，3m2 4k2
14、3 4k2 4m2 33 4k2 16mk3 4k27m 216mk 4k20，解得 m12k，m 2 ，2k7由，得 34k 2m 20，当 m12k 时，l 的方程为 yk (x2) ，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当 m2 时，l 的方程为 yk ，直线过定点 ，且满足，2k7 (x 27) (27，0)直线 l 过定点，定点坐标为 .(27，0)【变式探究】已知抛物线：y 22px(p0)的焦点 F 在双曲线： 1 的右准线 上，抛物线与直线x23 y26l：yk (x2)(k 0)交于 A，B 两点，AF ，BF 的延长线与抛物线交于 C，D 两点(1)求抛物线的方程；(2)若AF
15、B 的面积等于 3， 求 k 的值；(3)记直线 CD 的斜率为 kCD，证明： 为定值，并求出该定值kCDk解 (1)双曲线： 1 的右准线方程为：x1，x23 y26所以 F(1,0)，则抛物线的方程为：y 24x.(2)设 A( ，y 1)，B( ，y 2)，y214 y24由Error! 得 ky24y 8k 0， 1632k 20，y 1y 2 ， y1y28.4kSAFB 1|y1y 2|12 12y1 y22 4y1y22 3，解得 k2.1k2 2(3)设 C( ，y 3)，则 ( 1，y 1)， ( 1，y 3)，y234 FA y214 FC y234【名师点睛】(1)动线
16、过定点问题的两大类型及解法动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程 (斜率存在)为 ykx t，由题设条件将 t 用 k 表示为tmk，得 yk (xm)，故动直线过定点 (m,0) 动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点(2)求解定值问题的两大途径 由 特 例 得 出 一 个 值 此 值 一 般 就 是 定 值 证 明 定 值 ：将 问 题 转 化 为 证 明 待 证 式 与 参 数 某 些 变 量 无 关先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值【锦囊妙计，战胜自我】1由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy 0k( xx 0)，则直线必过定点( x0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m) 2解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值易错起源 3、探索性问题
