1、第四章 随机变量的数字特征,随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述，知道随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征。然后随机变量的概率分布往往不容易求得的。 随机变量的这些统计特征通常用数字表示的。这些用来描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征。其中最重要的是数学期望（均值）和方差二种。 4.1 数学期望与方差 一.数学期望,随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值. (一)离散型随机变量的数学期望定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,.)若级数 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望
2、,=,例1 甲在机床上生产某产品,若一等品能赚5元,二等品赚3元,次品亏2元.甲生产时一等品、二等品及次品的概率为0.6,0.3,0.1.问生产每件产品平均能创造多少财富?分析: x -2 3 5 p 0.1 0.3 0.6,数学期望为3.7元.表示生产一件产品能创造3.7元,(二)连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量 有概率密度,若,绝对收敛,则 称为 的 数学期望,随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.,=,(1),例2 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量 的数学期望,可见均匀分布的数学期望为区间的中值.,2.随机变量函
3、数的数学期望定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)(1)若X是离散型随机变量,它的分布律为PX=xk=pk. K=1,2,.若,(2)若X是连续型随机变量,它的概率密度为f(x).,定理1表示:求E(Y)时,不必知道Y的分布,而只要知道X的分布,定理2 设Z是随机变量X和Y的函数,Z=g(X,Y)(g是连续函数),那么Z也是一个随机变量,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则,这里假设上式右边的积分绝对收敛. 若(X,Y)为离散型随机变量,其分布律为PX= , Y= = ,i,j=1,2,. 则,例3 已知X在-a,a上服从均匀分布,试求Y=X3-kX和Y2=(X3-k
4、X)2的数学期望 解:由(8)式,得到,3. 数学期望的性质,(1) E(C)=C. (2) E( +C)=E +C,证明：对离散型随机变量,对连续型随机变量,（3）,证明：若C=0，则 是一个常数0，由性质1可知它成立。,（4）,（5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学 期望的和。 证明：设 是离散型随机变量,这个性质可以推广到有限多个,推理：,（6）两个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学 期 望的乘积。,证明：因为 相互独立，,连续型随机变量,分析:,因为 不独立,只能用(3-6)式进行计算.,9 10 11p 0.3 0.5 0.2,6 7p 0.4 0.6,例7
5、 仪器由二部分组成，其总长为二部分长度的和。,求,下面介绍几个常用的公式,定义 如果随机变量 的数学期望 存在,称 为随机 变量 的离差,显然 不论正偏差大或是负偏差大,同样是离散程度大,用 来 衡量 和 的偏差,定义3-4 随机变量离差平方的数学期望,称为随机变量的方差, 记 或 而 称为 的标准差,(一) 方差的定义,若 是离散型随机变量,且,若 是连续型随机变量,有概率密度,随机变量的方差是一个正数, 当 的可能值在它的期望值 附近,方差小,反之则大.方差表示随机变量的离散程度.,例8 甲乙两个射手，射击点和目标的距离分别为 ，且分布律,80 85 90 95 100 85 87.5 9
6、0 92.5 95p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2,求,甲,乙双方的数学期望相同,表示他们的准确度相同.由于乙的方差小,表示乙射手比甲射手好,(二) 方差的性质1、常数的方差等于0证明：,2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。证明：,3、常数和随机变量乘积的方差等于这个常数的平方和随机变量方差的乘积。证明：,4. 两个独立的随机变量之和的方差等于两个随机变量方差的 和 证明：,若,独立,进一步可得到：n个相互独立的随机变量算术平均数的方差等于 其方差算术平均数的1/n倍。,5、任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望和它
7、期望的平方之差，即,证明：,这个公式用来简化方差计算。且说明随机变量平方的数学期望 大于期望的平方。,例9 计算在区间a，b上服从均匀分布的随机变量 的方差,对于二维随机变量(X,Y),方差D(X,Y)=D(X),D(Y) (20) 当(X,Y)为离散型随机变量时,有,当(X,Y)为连续型随机变量时,有,4.2 几个重要分布的数学期望及方差,（一）两点分布,x 1 0,pk p 1-p,（二）二项分布（具有独立和是与否二种结果的条件。 当n=1时，它为两点分布。）,利用二点分布 也可推出二项分布的期 望及方差。,（3）泊松分布 (),泊松分布的数学期望和方差都等于参数.,（4）指数分布,其他,
8、（4-6）,f(x)=,（6）,分布,其他,（4-7）,令,（7） 正态分布,（7） 正态分布,两点分布 p p（1-p）二项分布 np npq 超几何分布 nN1/N普哇松分布指数分布 分布正态分布,几种重要分布的数学期望和方差：,4.3 其他数字特征介绍另外一些数字特征,包括矩,协方差与相关系数.矩的概念(1). k阶原点矩定义1 设X为随机变量,如果k=E(Xk),k=1,2,. (1)存在时,称k为X的k阶原点矩,简称k阶矩. 由定义1可知,X的k阶原点矩就是Xk的数学期望,所以求原点矩的问题,就是求随机变量的函数Y=Xk的数学期望.特别地,X的数学期望就是一阶原点矩.,(2) k阶中
9、心矩定义2 设X为随机变量,如果E(X)存在,那么,当 = ,k=1,2. (2)存在时,称 为X的k阶中心矩. 显然,X的方差D(X)就是X的二阶中心矩.(3) 混合矩定义3 设(X,Y)是二维随机变量,如果 = ,k,L=1,2,. (3)存在,则称 为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合(原点)矩.,(4) 混合中心矩定义4 设(X,Y)为二维随机变量,如果kl=EX-E(X)kY-E(Y)Lk,L=1,2,. (4)存在,则称kL为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合中心矩.协方差与相关系数,定义5 设(X,Y)为二维随机变量,称1+1阶混合中心矩EX-E(X)Y-E(Y)为X与Y的协
10、方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)而 称为X与Y的相关系数 由协方差的定义可得Cov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y)=EXY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y),协方差具有以下的性质.(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). a,b是常数(3)Cov( + ,Y)=Cov( ,Y)+Cov( , Y).,定理1 (1)若X与Y相互独立,则xy=0; (2)| xy|1; (3)| xy|=1的充分必要条件是:存在常数a,b使PY=aX+b=1.即X与Y以概率为
11、1线性相关.,证明:(1) X与Y相互独立,我们有E(XY)=E(X)E(Y), 因为Cov(X,Y)=EX-E(X)Y- E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 所以Cov(X,Y)=0, 有xy的公式表示它为0.,(2)先证一个重要的不等式-柯西-许瓦兹不等式:若E(W2)及E(V2)存在,则E(WV)2E(W2)E(V2). (8)令g(t)=E(tW-V)2=t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2)显然大于0的数学期望 必定大于0.因此对一切实数t,都有(tW-V)20,所以g(t)0.这表示图形在X轴上方.从而二次方程g(t)=0或者没有实根,或者只有重根.,其判别式 =4E(WV
12、)2-4E(W2)E(V2)0 得到E(WV)2E(W2)E(V2). (8)式得到证明. 设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么,由(9)式知, | xy|=1 等价于 E(WV)2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= EtW-V)2 =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 EX-E(X)=E(x)-E(X) =0, EY-E(Y)=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tEX-E(X)-EY-E(Y)=0所以 D(tW-V)=EtW-V-E(tW-V)2=E(tW-V)2=0 (11)由于数学期望为0,方差也为0,即(11)
13、式成立的充分必要条件是 PtW-V=0=1,即(11)式成立的充分必要条件是 PtW-V=0=1这等价于 PY=aX+b=1 其中a=t,b=E(Y)-tE(X)W=X-E(X),V=Y-E(Y),tW-V=tX-tE(X)-Y+E(Y)=0 定理证毕. 定理1告诉我们,当X,Y相互独立时,|xy|达到最小值0,当xy=0时称X和Y不相关,当X和Y线性相关时,| xy|达到最大值1, 这说明xy在一定程度上表达了X和Y之间的线性相关程度,称为相关系数.,例2 设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为,求X与Y的相关系数. 解:我们已经计算出(X,Y)的边缘概率密度,所以E(X)=1,D(X)
14、=12,E(Y)=2,D(Y)=22,而,令,切比雪夫不等式 设随机变量X 具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2 。则任给正 数, 有,不等式(14)和(15)称为切比雪夫不等式,它反映了均值与方差的意义,|X-E(X)|即X取值不在E(X)附近的概率不超过.当D(X)较小时, D(x)/2就较小,X取值集中在E(X)附近故E(X)是X取值的集中点.D(X)反映X在E(X)附近取值的个数是多还是少.,证明： X 是离散型随机变量,证明完毕,切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下,估计事件|X-|的概率的方法. 例如取=3,得所谓“3规则”: P|X-|30.8889,即事件|X-|3的概率大约为0.9.特别是若X是正态随机变量,可算得到 P-3X+3=(3)-(-3)=2(3)-1=0.9974,
