1、3.3 二维随机变量函数的分布,已知（X，Y）的分布，求其函数Z= g (X,Y)的分布,内容：,要点：,一、离散型二、连续型（和的分布）,要求：,掌握基本方法,下页,一、离 散 型,例1 已知（X, Y ) 的联合分布律,-1, 0, 2, 3, 5, 且,求 Z = X+Y的概率分布.,解： Z = X + Y 的所有可能取值为：,PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1，Y=0=1/10,PZ= 0=PX+Y=0=PX= -1，Y=1=1/20,PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1，Y=3+PX=2，Y=0= 3/20+3/10,pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10,问
2、题：Z = XY 的概率分布？,下页,已知X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=g(X,Y)的密度.,Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线x+y =z 左下方的半平面.,(一) Z = X + Y 的分布,二、连 续 型,下页,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,下页,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,下页,当X和Y独立，设(X,
3、Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,下页,卷积公式 .,解 X 、Y 的概率密度,例2 设X、Y的相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，求 Z=X+Y的分布。,下页,当0z1时，,fZ(z) =,当1z2时，,fZ(z) =,所以,法一,下页,下页,法二,例3 设X和Y是两个互相独立的随机变量，且XN（0，1），Y N（0，1），求Z = X +Y 的概率密度。,解 由于X、Y互相独立，由卷积公式,即 Z=X+YN（0，2）,下页,（2）如果Xi(i=1,2,n)为 n 个互相独
4、立的 随机 变量，且 Xi N( i，i2)，则,一般地（1）若X1 ，X2N ， 且X1、X2相互独立，则有,X1+X2N,注意：,1. 卷积公式的条件及选择；,2. 一般地，如求 XY，X/Y，max(X,Y) 可考虑分布函数法,下页,（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布,设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)求 Z=X / Y的概率分布。,解,故Z=X / Y的概率密度为,特别地，当X、Y相互独立时有,下页,补充例1. 设X,Y相互独立服从同一分布,且PX=i=1/3 (i=1,2,3) 令Z=max(X,Y). 求Z的概率分布,解：先求X,Y的联合分布律。因为
5、X,Y独立， 所以 PX=iY=j=PX=iPY=j,Z =max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3,PZ=1=PX=1,Y=1=1/9,PZ=2=PX=1,Y=2+PX=2,Y=1+PX=2,Y=2=1/3,PZ=3=PX=3,Y=1+PX=3,Y=2+PX=3,Y=3 +PX=1,Y=3+PX=2,Y=3=5/9,下页,补充例 2(课后习题17).,解:,所以,下页,下页,补充例3 (99数学4积的分布）设随机向量（，）在矩形(x,y)| 0x2,0y1上均匀分布，试求边长和的矩形面积的概率分布。,解：设面积的分布函数为FS(s),则 FS(s)PSs若 0s2,则 FS(s)PSsPs
6、 =1-Ps,S2,则 FS(s)PSs=1 所以,下页,补充4(课后习题19) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有,FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),下页,类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,即有,=1-P(Xz,Yz),F
7、N(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),FM(z)= FX(z)FY(z),具体见下例,例 设随机向量（，）在矩形(x,y)| 0x1,0y2上均匀分布，试求Z= min（，)概率密度 。,设Z= min（，)的分布函数为F(z),则 FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),解：容易判定和相互独立，且,下页,作业： 80页 18,结束,补充题：设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.,解一：用分布函数法,例.设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,当z2时，Fz(z)=1；,下页,当0z1时，,解1：用分布函数法,例.设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.,现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,当10的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.,下页,当0z1时，,fZ(z) =,当1z2时，,fZ(z) =,所以,下页,当z2时，,fZ(z) =,解2：,下页,例：设X、Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.,解3:,练习,解:,下页,下页,
