1、8.3 不变因子,8.3 不变因子,引言：在前一节我们给出了任何多项式矩阵都等价于一个标准型，但是标准型是否唯一？本节将从寻找多项式矩阵的不变量入手给出标准型的唯一性回答。下面先介绍行列式因子的定义。,8.3 不变因子,1. 定义：,一、行列式因子,注：,阶行列式因子.,的首项系数为1的最大公因式 称为 的,中必有非零的 级子式， 中全部 级子式,设矩阵 的秩为 ，对于正整数 ，,若 秩 ，则 有 个行列式因子.,8.3 不变因子,行列式因子.,1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级,（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）,证：只需证， 矩阵经过一次初等变换，秩与行,列式因子是不
2、变的,2. 有关结论,设 经过一次初等变换变成 ， 与,分别是 与 的 k 级行列式因子,下证 ，分三种情形：,8.3 不变因子,级子式反号.,公因式，,此时 的每个 级子式或,者等于 的某个 级子式，,或者与 的某个,因此， 是 的 级子式的,从而,级子式的 c 倍.,者等于 的某个 级子式，或者等于 的某个,此时 的每个 级子式或,因此， 是 的 级子式的,公因式，,从而,8.3 不变因子,此时 中包含 两行,级子式相等；,的和不包含 行的那些 级子式与 中对应的,中包含 行但不包含 行的 级,子式，按 行分成 的一个 级子式与另一个,级子式的 倍的和，,即为 的两个 级子式,从而,的组合
3、，,因此 是 的 级子式的公因式，,同理可得，,8.3 不变因子,2）若 矩阵 的标准形为,其中 为首1多项式，且,则 的 级行列式因子为,8.3 不变因子,证： 与 等价，,完全相同，则这个 级子式为零.,在 中，若一个 级子式包含的行、列指标不,与 有相的秩与行列式因子.,级子式,所以只需考虑由 行与 列组成的,即,而这种 级子式的最大公因式为,所以， 的 级行列式因子,8.3 不变因子,证：设 矩阵 的标准形为,3）（定理4） 矩阵的标准形是唯一的.,其中 为首1多项式，且,8.3 不变因子,于是,即由 的行列式因子所唯一确定.,由2）， 的 级行列式因子为,4）秩为 的 矩阵的 个行列
4、式因子满足：,所以 的标准形唯一.,8.3 不变因子,1. 定义：,二、不变因子,矩阵 的标准形,称为 的不变因子.,的主对角线上的非零元素,8.3 不变因子,有相同的标准形，,1)（定理5） 矩阵 、 等价,、 有相同的不变因子.,证：必要性显然. 只证充分性.,2. 有关结论,所以 与 等价.,若 与 有相同的行列式因子，则,与 也有相同的不变因子，,、 有相同的行列因子.,从而 与,8.3 不变因子,则 ， 为一非零常数.,的第n个行列式因子,证；若 可逆，,因子全部为1， 的标准形为单位矩阵 ，即,与 等价.,2）若 的 矩阵 可逆，则 的不变,又 的n个行列式因子满足:,8.3 不变因子,从而不变因子,所以， 的标准形为,矩阵的乘积.,注： 可逆 与 等价.,3)（定理6） 可逆 可表成一些初等,8.3 不变因子,证： 可逆 与 等价,存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆,推论：两个 的 矩阵 、 等价,矩阵 ，使,8.3 不变因子,例、求 矩阵的不变因子,8.3 不变因子,的非零二级子式为:,解：1） 的非零1级子式为:,8.3 不变因子,又,所以， 的不变因子为 ：,8.3 不变因子,2）,又,而,的不变因子为,8.3 不变因子,练习：求 的不变因子,答案:,8.3 不变因子,三、小结,四、作业：P351，1.4),
