1、2017 学年第二学期期中 杭州地区六校联考 高二数学试题 命题审校人：昌化中学 吴景刚 新登中学 于德强 考生须知： 1本卷满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4考试结束后，只需上交答题卷。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1 直线 013 yx 的倾斜角是 （ ） A 0120 B. 0150 C. 030 D. 060 2 若 )3,1,2( xa ， )9,2,1( yb ，如果
2、 a 与 b 为共线向量，则 （ ） A. 23,61 yxB. 21,21 yxC. 23,61 yx D. 1,1 yx 3 已知 Rcba , ,则“ ba ”是“ 22 bcac ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 已知 3,3,12)( 3 xxxxf ,则 )(xf 的最大值为 （ ） A 9 B. 16 C.16 D.9 5 已知 nml , 是三条不同的直线， , 是两个不同的平面，那么下列命题正确的是 （ ） A. 若 lnmnlml 则且 , B. 若 nmnlml 则且 ,/,/ C. 若 /,/,/ 则且 nmn
3、m D. 若 mlml 则, 6. 函数 ()y f x 的导函数 ()y f x 的图 象 如 右 图所示，则函数 ()y f x 的图 象 可能是 （ ） 7直线 2 4 0ax by 被圆 22 4 2 1 0x y x y 截得的弦长为 4，则 22ab 的最小值是 （ ） A 3 B 3 C 2 D 2 8 已知可导函数 fx xR 满足 f x f x ，则当 0a 时， fa和 0aef 大小关系为 （ ） A 0af a e f B 0af a e f C 0af a e f D 0af a e f 9. 设点 P 是双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 与圆
4、2 2 2 2x y a b 在第一象限的交点， 12,FF是双曲线的两个焦点，且 122 | | 3 | |PF PF ，则双曲线的离心率为 （ ） A 13 B 132 C 13 D 132 10 正三棱锥 A BCD 的所有棱长都等于 4，点 M 是底面 BCD （包括边界）上的动点， P 为棱 AD 的中点，若 MP MC ，则点 M 的轨迹长度是 （ ） A 7 B 6 C 5 D 2 二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每题 6分，单空题每题 4 分，共 36分 ) 11 双曲线 22194xy的渐近线方程为 12 直线 1 : 6 6 0l ax y ， 直线 2 : 2 3
5、 5 0l x y ， 若 12/ll， 则 a ；若 12ll ， 则a 13 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ；表面积是 14 已知 抛物线 2 4xy ，则 该抛物线的焦点坐标为 ； 点 P 是该抛物线上任意一点，则点P 到直线 2yx 距离的最小值是 15 已知直三棱柱 111 CBAABC 中， 120ABC ， 11 CCBCAB ，则异面直线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值为 16. 过直线 9: xyl 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为 )0,3(),0,3( 21 FF ,则此椭圆的离心率为 17 设函数 aaxxexf x )12()( ，其
6、中 1a ，若存在唯一的整数 0x 使得 0)( 0 xf ，则 a 的取值范围是 三、解答题 (本大题共 4 小题，共 46 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 ) 18（本小题满分 10 分） 已知函数 32( ) 3f x ax bx x 在 1x 处取得极值 . （ 1）求 ,ab的值； （ 2）若函数 txfy )( 只有一个零点，求实数 t 的取值范围 . 19.（本小题满分 12 分） 多面体 1 1 1ABC ABC ， 1 1 1/ / /AA BB CC， 1 4AA ， 1 2BB ， 4AB ， 1 3CC ， 1AB BB ， 1C 在平面 11ABBA 上的
7、射影 E 是线段 11AB 的中点 . （ 1）求证：平面 ABC 平面 11ABBA ； （ 2）若 1 2CE ，求二面角 11C AB C的余弦值 . 20 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 0(ln)( aaxaxf x 且 )1 . （ 1） 求函数 )(xf 在点 )0(,0( f 处的切线方程； （ 2） 求函数 )(xf 的单调区间； （ 3） 若对任意 Rxx 21, ，有 2|)( s in)( s in| 21 exfxf （ e 是自然对数的底数），求实数 a 的取值范围 . 21 (本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 )0(1:2222 babyaxC 的离心率为
8、 36 ，且经过点 (3,1) （ 1） 求椭圆方程 （ 2） 过点 (6,0)P 的 直线 l 交椭圆于 AB 两点， Q 是 x 轴上的点，若 ABQ 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，求直线 l 的方程。 2017 学年第二学期期中 杭州地 区六校联考 高二 数学 参考答案 最终定稿人：吴景刚 联系电话： 13157104633 一 、 选择题 ： 本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C B D C B C A 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6分，单空题每题 4 分，共 34分 11. 23yx
9、 （写一条也给满分） 12. 4， -9 13. 38 ； 24 ( 2 1) 14. (0,1) ； 2215. 34 16. 5517. 3 ,1)2e （开闭皆可） 三 、 解答题：本大题共 4 小题，共 46 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（ 10 分） (1) 解：由 323)()( 2 bxaxxfxf 得 ， 1 依题意有： 0)1()1( ff 即 0323 0323 ba ba 解得 01ba 4 (2) 函数 txfy )( 只有一个零点 ,即函数 )(xfy 与直线 ty 只有一个交点 5 由 (1) 得 33)(3)( 23 xxfxxxf 令 0)(
10、xf 得 1,1 xx 7 若 0)( xf 得 1x 或 1x 故 ),1()1,()( 和在xf 上是增函数； 若 0)( xf 得 11 x 故 )1,1()( 在xf 上是减函数 . 8 所以 2)1( f 是极大值， 2)1( f 是极小值 . 9 函数 )(xfy 的大致图像如图： 此时， 2t 或 2t 所以， t 的取值范围是：),2()2,( 10 19（ 12 分） (1)证明：过 E 作 EO 1A A 交 AB于 O，连接 CO， 由梯形的中位线知： 11 32BB AAOE ， 1OE CC ,又 1OE CC ， 故四边形 OE 1C C是平行四边形， 2 1C E
11、 面 11ABBA ， 则 CO 面 11ABBA ， 又 CO 在面 ABC内， 面 ABC 面 11ABBA ； 5 （ 2）如图以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 , 1 1 12 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 0 , 0 , 3 , 2 0 , 0 , 2C O C E A B C C ， 6 114 , 2 , 0 , 2 , 3 , 2 , C 2 , 0 , 2A B A C A 设面 11AB 的法向量为 ,m a b c ， 则 110 0m ABm AC ，即 4 2 0 2 3 2 0aba b c . 不妨令 1a ，得 1, 2,2m . 8 设面
12、1CAB 的法向量为 ,n x y z 则 1 0 C0n ABnA ，即 4 2 0 2 2 0xyxz. 不妨令 1x ，得 1, 2, 1n . 10 6c o s , 6mnmn mn. 所求二面角的平面角为锐角，故余弦值 66 . 12 20（ 12 分） (1) )1(lnlnln)( xx aaaaaxf ， 2 0( 0 ) ln ( 1 ) 0k f a a ，所以切线的方程为 y=0 3 （ 2） )1(lnlnln)( xx aaaaaxf ， 当 )1,0(a ，则在 )0,(x 单调递减；在 ),0( x 单调递增； 5 当 ),1( a ，则在 )0,(x 单调递减
13、；在 ),0( x 单调递增 . 7 （ 3） 该不等式可转化为： 1,1, 21 tt ， 2|)()(| 21 etftf ， 8 根据（ 2）可知，在 )0,1 先单调递减，在 1,0 单调递增， 1)0()( m in ftf ， 9 而 ln,1m a x l n)1(),1(m a x )(m a x aaaafftf ， 10 当 )1,0(a ， 2|)()(| 21 etftf 211ln eaa ，解得 )1,1(ea 当 ),1( a ， 2|)()(| 21 etftf 21ln eaa ，解得 ),1( ea ， 综合可得： ),1()1,1( eea . 12 21
14、（ 12 分） (1)由 22 336 baace 点（ 3， 1）代入 11922 ba 2 2,32 ba 椭圆方程为： 1412 22 yx 4 (2) 设 AB 中点坐标为 ( 00,yx ), 6:),(),( 2211 tyxlyxByxA 则由 02412)3(61412 2222 tyyttyxyx 5 由 60 2 t得 3186,36 20020 ttyxt ty 6 AB 中垂线方程为 )318(3622 txtt ty所以 )0,312(2tQ 8 点 )0,312(2tQ到直线 l 的距离为 31622tt 3 6134| 222 t ttAB 10 6326 2 t化简得 得 3t 直线 l 的方程为 063 yx 12
