立体几何典型题型(理科).doc

1、立体几何经典例题剖析考点一 空间向量及其运算1. 已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件 ，,ABC1255OPABOC试判断：点 与 是否一定共面？P,解析：要判断点 与 是否一定共面，即是要判断是否存在有序 实数对 使 或对,AB ,xyAPxByC空间任一点 ，有 。OxyC答案：由题意： ，52PO ，()()()ABP ，即 ，2C2C所以，点 与 共面P,点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后 对照形式将已知条件进行转化运算2. 如图，已知矩形 和矩形 所在平面互相垂直，点 ， 分别在对角线 ， 上，且ABDEFMNB

2、DAE， 求证： 平面 13BM13N/MNCD解析：要证明 平面 ，只要证明向量 可以用平面 内的两/CE个不共线的向量 和 线性表示E答案:证明：如图，因为 在 上，且 ，所以B13B同理 ，又1133BDAAND，所以CM又 与 不共线，根据共面()()BE213B213CDE向量定理，可知 ， ， 共面由于 不在平面 内，所以 平面 NC /MNCE点评：空间任意的两向量都是共面的与空间的任两条直线 不一定共面要区别开.考点二 证明空间线面平行与垂直3. 如图, 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC3，BC4，AA 14，点 D 是 AB 的中点， （I ）求证：AC BC 1；

3、 （II）求证：AC 1/平面 CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB =5， ACBC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC， AC BC1；（II）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点，E是 BC1 的中点， DE/AC 1， DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1，ABCA1B1C1Exyz转化

4、转化 AC 1/平面 CDB1；解法二：直三棱柱 ABCA 1B1C1底面三边长 AC3，BC4，AB5，AC、BC、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线 CA、CB 、C 1C 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0,0，0），A（ 3,0，0），C 1（0,0，4）， B（0,4，0），B 1（0,4，4），D（ ，2,0）2（1） （3,0，0）， （0，4,0）， 0，ACBC 1.1A1B（2）设 CB1与 C1B 的交战为 E，则 E（0,2，2）. （ ，0,2）， （3,0，4），E3AC，DEAC 1.ADE点评：2平行问题的转化：面面平

5、行 线面平行 线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理4. （2007 武汉 3 月）如图所示，四棱锥 PABCD 中，AB AD，CDAD，PA 底面 ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点。(1)求证：BM平面 PAD；(2)在侧面 PAD 内找一点 N，使 MN 平面 PBD；(3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直 线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间 想象能力和推理论证能力.答案：（1） 是 的中点，取 PD 的中点 ，则MPCE，又ED21AB21四边形 为平行四边形 ，B平 面平 面 （4 分）P平

6、面（2）以 为原点，以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，则AAxyz， ， ， ， ，)0,1,C0,2D,1,M,0E在平面 内设 ， ， ， 由zyNzy2,1PB0,21DBPBMN12由 0By是 的中点，此时 （8 分）2,0NAEBMNP平 面（3）设直线 与平面 所成的角为PCD， ，设 为2,PC21,MNMNPC,36cos 32cossin故直线 与平面 所成角的正弦为 （12 分）PCBD2解法二：（1） 是 的中点，取 PD 的中点 ，则ME，又E21AC21四边形 为平行四边形B ， PD平 面平 面 （4 分）平 面（2）由（1）知 为平

7、行四边形AE，又CP底 面AB同理 ，B平 面 平 面 PAD平 面E为矩形 ， ，又MCDED平 面PB平 面作 故E平 面平 面 F平 面M交 于 ，在矩形 内， ，MFAENAB12， 为 的中点32当点 为 的中点时， （8 分）DP平 面（3）由（2）知 为点 到平面 的距离， 为直线 与平面 所成的角，设为 ，FPCBD32sinPF直线 与平面 所成的角的正弦值为CBD32点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（ 3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂

8、直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来考点三 求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是 0 90，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是 0 90，其解法是作垂线、找射影；二面角 0 180，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5. （四川省成都市 2007 届高中毕业班第三次诊断性检测）如图，四棱锥 中，侧面 是边长为 2 的正三角形，且与底PABCDP面垂直，

9、底面 是 的菱形， 为 的中点.0MPB()求 与底面 所成角的大小；()求证： 平面 ；()求二面角 的余弦值. M解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案：(I) 取 DC 的中点 O，由 PDC 是正三角形，有 PO DC又平面 PDC底面 ABCD，PO平面 ABCD 于 O连结 OA，则 OA 是 PA 在底面上的射影 PAO 就是 PA 与底面所成角ADC=60 ，由已知 PCD 和 ACD 是全等

10、的正三角形，从而求得 OA=OP= 3PAO=45PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45 6 分(II)由底面 ABCD 为菱形且ADC=60，DC=2 ，DO=1，有 OADC 建立空间直角坐标系如图，则 , (3,0)(,3),(01)APD(3,20)(,1)BC由 M 为 PB 中点， (,1)2M 3(,2),(3,0),DPA(0,2)DC ，()2PA03203CPADM ，PADC PA平面 DMC 4 分(III) 令平面 BMC 的法向量 ，(,),(,10)2MCB (,)nxyz则 ，从而 x+z=0； , ，从而 0nC 0nCB30由、，取 x=1，则 可取

11、3,1yz(1,)由(II)知平面 CDM 的法向量可取 ，(3,0)PA 所求二面角的余弦值为 6 分231cos, 5|6nPA 105法二：（）方法同上 （）取 的中点 ，连接 ，由（）知，在菱形 中，由于 ，NMABCDAC则 ，又 ，则 ，即 ，AOCDCDPO平 面 又在 中，中位线 ， ，则 ，PB/12AB1/2/MN则四边形 为 ，所以 ，在 中， ，则 ，故 而 ，则 A平 面（）由（）知 ，则 为二面角 的平面角，MCP平 面 DCB在 中，易得 ， ，RtPB6,A22610BA210cos5ABP故，所求二面角的余弦值为10coscos()5N 5点评：本题主要考查异

12、面直线所成的角、 线面角及二面角的一般求法，综合性 较强 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线 定理求作二面角的平面角，是常用的方法.6. （2007 河北省唐山市三模）如图，在长方体 中，1ABCD点 在线段 上.1,2,EAB1DABCDE1A1B1C（）求异面直线 与 所成的角；1DEA（）若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离.C45B1DEC解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比 较好的方法.答案：

13、解法一：（）连结 。由已知， 是正方形，有 。1AD1A1A 平面 ， 是 在平面 内的射影。ABE1D根据三垂线定理， 得，则异面直线 与 所成的角为 。1 90作 ，垂足为 ，连结 ，则DFCEF11CF所以 为二面角 的平面角， .11D45于是 ,2易得 ，所以 ，又 ，所以 。RttBCEF2CE1BC3E设点 到平面 的距离为 .1Dh 即 ，1,BCEBCEV1 13232D ，即 ， .11Fhh64故点 到平面 的距离为 。B1DE64解法二：分别以 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系.1,ABxyz（）由 ，得1(,0)(,0)设 ，又 ，则 。,Ea,D1,)Ea 1

14、AA则异面直线 与 所成的角为 。190（） 为面 的法向量，设 为面 的法向量，则(0,)mDEC(,)xyzn1CED,xyzn22| 2|cos, cos45mn . 22由 ，得 ，则 ，即(0,)C1(0,)D1DCn10 20yz由、，可取 (3,12)n又 ，所以点 到平面 的距离(1,)CBB1DEC。|642dn点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这

15、样坐标才比较容易写出来.考点四 探索性问题7. （2007 年 4 月济南市）如图所示：边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂直且 DE= ，ED/AF 且DAF=90。2（1）求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦；（2）线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、 A、 C 三点的平面和直线 DB 垂直，若存在，求 EP 与 PF 的比值；若不存在，说明理由。解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计 算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。答案：（1）因为 AC、AD、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则

16、 B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则 )0,2(),1(),(BFE设平面 BEF 的法向量 xzyxn则，则可取 ，0,2yz),(向量 所成角的余弦为)1,(DB和。0)2(12即 BD 和面 BEF 所成的角的余弦 。11,3,5（2）假设线段 EF 上存在点 P 使过 P、A 、C 三点的平面和直线 DB 垂直，不妨设 EP 与 PF 的比值为 m，则 P点坐标为 ),12,12(m则向量 ，向量AP),12,12(m所以 。,0)2(02所 以点评：本题考查了线线关系， 线面关系及其相关计算，本 题 采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知

17、识解题提出了较高要求。8. (2007 安徽文) 如图，在三棱锥 中， ， ， 是 的中点，且VABCABC 底 面 DAB， ACBa02VDC（I）求证：平面 平面 ；A（II）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 BVA6解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解 .答案:解法 1：（） ， 是等腰三角形，又 是 的中点，Ca C DAB，又 底面 于是 平面 CDB V BVC又 平面 ， 平面 平面 A D（） 过点 在平面 内作 于 ，则由（）知 平面 HV连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的角HBA依题意 ，所以6在 中， ；CDRt 2sina在 中， ，BH

18、i62sin， 0 4故当 时，直线 与平面 所成的角为 BCVA6解法 2：（）以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， xyz，2(0)(0)()0tan2aCAaDV，于是， ， ， 2tnVD，C(0)AB，从而 ，即 21(0) 0aABCa， CDA 同理 ，221(0)tan0aABVDa，即 又 ， 平面 CAB VCD又 平面 平面 平面 VAB（）设平面 的一个法向量为 ，()xyz，n则由 0D，n得 2tan0axyz，可取 ，又 ，(1cot)，n()BCa于是 ，2si sin6cota即 ， 2sin0 4 =故交 时，直线 与平面

19、 所成的角为 4=BCVA6解法 3：（）以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，DDB， xy则 ， ，222(0)000AaaCa， 20tanV，于是 ， ， tnV，()ABa，从而 ，即 (02)ABDCa， 0， DC同理 ，即 2()tan0V， ABV又 ， 平面 CAB VC又 平面 ， 平面 平面 AB D（）设平面 的一个法向量为 ，V()xyz，n则由 ，得0D，n20tan0axz，ADBCVxyzADBCVxy可取 ，又 ，(tan01)，20BCa，于是 ，2tnsi si61a即 故角 时，in024， =4即直线 与平面 所

20、成角为 BCVA6点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解考点五 折叠、展开问题9（2006 年辽宁高考）已知正方形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 、 分别是 、 的中点,将 沿 折起,如图所ABCDEFABCDAED示,记二面角 的大小为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ADEC(0)(I) 证明 平面 ;/BF(II)若 为正三角形,试判断点 在平面AA内的射影 是否在直线 上,证明你的结论,CEGEF并求角 的余弦值 头htp:/w.xjkygcom

21、126t:/.j 分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解: (I)证明 :EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点 ,EB/FD,且 EB=FD,四边形 EBFD 为平行四边形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BF/ED., 平面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,EFADBFAED平 面 而 平 面 /BFAE(II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结GC,GD 头htp:/w.xjkygcom12

22、6t:/.j ACD 为正三角形, AC=AD.CG=GD.G 在 CD 的垂直平分线上, 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 ,所以 为二面角 A-DE-C 的平面角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 .HDEAGAH设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 AEF 中,AF= ,EF=2AE=2a,即 AEF 为直角三角形, 3a.AEFAEB CFDG在 Rt ADE 中, .32AGaAHDE25AHa, 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5Hcos4点评：在平面图

23、形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相 对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要 发生变化，翻折 问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量.考点六 球体与多面体的组合问题10设棱锥 M-ABCD 的底面是正方形，且 MAMD，MAAB，如果 AMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解： ABAD，ABMA，AB平面 MAD，由此，面 MAD面 AC.记 E 是 AD 的中点，从而 MEAD.ME平面 AC，MEEF.设球 O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球.不妨设 O平面 MEF，于是 O 是 MEF 的内心.设球 O 的半径为 r，则 r MFES2设 ADEFa,S AMD 1.ME .MF ,a22)(ar -1。2)(2当且仅当 a ，即 a 时，等号成立.当 ADME 时，满足条件的球最大半径为 -1.22点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接 问题时一般过球心及多面体中的特殊点或 线作截面，把空 间问题化归为平面问题 ，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。