1、 1一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式： 22BABAxy2、中点坐标：线段 的中点 的坐标为：BCy，直线 （ ）与 （ ）的位置关系：1bxky02bxky0（1）两直线平行 且 （2）两直线相交11 21k（3）两直线重合 且 （4）两直线垂直2121 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x的一元二次方程 有两个整数根， 且 为整数，求 的值。0122 mxx5mm4、二次函数与 轴的交点为
2、整数点问题。 （方法同上）例：若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点，且 为正整数，试确定312xmxy此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 的方程 （ 为实数） ，求证：无论 为何值，方程总x23(1)230xmm有一个固定的根。解：当 时， ；0m当 时， ， ， 、 ；032x21x32112x综上所述：无论 为何值，方程总有一个固定的根是 1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 （ 是常数） ，求证：不论 为何值，该抛物线总经过一个22mxy m固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 的方程 ；xxy12
3、，解得： ； 抛物线总经过一个固定的点（1，1） 。012xy （题目要求等价于：关于 的方程 不论 为何值，方程恒成立）mxmxy22小结：关于 的方程 有无数解xba0 ba7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线 、 ，点 在 上，分别在 、 上确定两点 、 ，使得1l2A2l1l2MN之和最小。MNA（2）如图，直线 、 相交，两个固定点 、 ，分别在 、 上确定两点 、 ，使得1l2AB1l2MN之和最小。ANMB（3）如图， 是直线 同旁的两个定点，线段 ，在直线 上确定两点 、 （ 在BA、 l alEF的左侧 ） ，使得四边形 的周长最小。FEF8、在平
4、面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S PAB =1/2 PMx=1/2 ANy9、函数的交点问题：二次函数（ ）与一次函数（ ）cbxay 2 hkxy（1）解方程组 可求出两个图象交点的坐标。hkxyca 2（2）解方程组 ，即 ，通过 可判断两个图象的交b 202 hcxkba点的个数有两个交点 0仅有一个交点 3没有交点 010、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形” 、 “梯形” 、 “相似三角形” 、 “直角三角形” 、
5、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形跟平行有关的图形 平移 、2121kl 21xy平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAy直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAx等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】一 基础构图：y= （以下几种分类的函数解析式就是这个）32x和最小，差最大 1 在对称轴上找一点 P，使得 PB+PC 的和最小，求出 P 点坐标2 在对称轴上找一点 P，使得
6、 PB-PC 的差最大，求出 P 点坐标求面积最大 连接 AC,在第四象限找一点 P，使得 面积最大，求出 P 坐标AC 讨论直角三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 为直角三角形，AC求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 讨论等腰三角 连接 AC,在对称轴上找一点P，使得 为等腰三角形，O xyABCDO xyABCDO xyABCD4求出 P 坐标 讨论平行四边形 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 B，A ，F， E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标二 综合题型例 1 (中考变式）如图，抛物线 cb
7、xy2与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交 Y 轴于 C(1)求该抛物线的解析式与ABC 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使MBC 是以BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3)若 E 为抛物线 B、C 两点间图象上的一个动点(不与 A、B 重合)，过 E 作 EF 与 X 轴垂直 ，交BC 于 F，设 E 点横坐标为 x.EF 的长度为 L，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出 X 的取值范围？当 E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时 E 点的坐标？(4)在（5）的情况下直线 BC 与抛
8、物线的对称轴交于点 H。当 E 点运动到什么位置时,以点E、F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点 E 运动到什么位置时，使三角形 BCE 的面积最大？O xyABCD5例 2 考点： 关于面积最值 如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 的坐标分别为( 1， 0)、(0， )，点 B 在 x 轴上已知某3二次函数的图象经过 A、B、C 三点，且它的对称轴为直线 x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点 P 与 B、C 不重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m
9、 的代数式表示线段 PF 的长；（3）求PBC 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标例 3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线 y x 2bx c 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B ，点 A 的坐标为（2，0） ，1点 C 的坐标为（0，1） （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一1，0 ）和点B（1，2），在坐标轴上确定
10、点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（ ）(A）2个 （B）4个 （C） 6个（D）7个DBCO AyxEBCO A备用图yxyxBA FPx1CO6 已知：如图一次函数 y x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y x 2 212bxc 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由例 5 考点：讨
11、论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y ax 2xc（a0）与 x 轴交于点 A（ 2，0） ，点 B（6，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式；（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点Q是否存在以 A、M、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由OAByCxD E2BAyOCx7综合练习：1、 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于
12、点 A、点 B，与 y 轴的正半轴24yaxac交于点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB OC，抛物线的顶点为 D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足APB ACB，求点 P 的坐标；(3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于AQB 的平分线的对称点为 ，若 ，求点 Q 的A2BQ坐 标和此时 的面积。2、 在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，与xOy2+yaxcy3 0，C轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为 。x0 3，（1） 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；（2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 O
13、M 把四边形 ACDB 分成面积为 1 ：2 的两部分，求出此时点 的坐标；（3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 P 在何处时 的面积最大？最大面积CB是多少？并求出此时点 P 的坐标。3、 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，顶点为 ，xOyxmy2AB且对称轴与 轴交于点 。xC（1）求点 的坐标（用含 的代数式表示） ；Bm（2） 为 中点，直线 交 轴于 ，若 （0，2） ，求抛物线的解析式；DADyE（3）在（2）的条件下，点 在直线 上，且使得 的周长最小， 在抛物线上， 在MOBAMCPQ直线 上，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐
14、标。BCQP、4、 已知关于 的方程 。x2(1)(4)30mx8（1） 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；m（2） 若正整数 满足 ，设二次函数 的图象与 轴交于m822(1)(4)3yxmx两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一AB、个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象恰好有三个公共点k时，求出 的值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可） 。k5 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A（4，0）和 B（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动
15、点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ当CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点F，点 D 的坐标为（ 2，0） 问是否有直线 l，使 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说 明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数 y x 2( m1) x m2 的图象与 x 轴相交于 A（ x1，0） ， B（ x2，0）两点，且x1 x2（1）若 x1x20，且 m 为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若 x11，
16、 x21，求 m 的取值范围；（3）是否存在实数 m，使得过 A、 B 两点的圆与 y 轴相切于点 C（0，2） ，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点 D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于 M、 N 两点，且 ，求该直线12 MDDN 13的表达式题型二、抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数 y= x 2+mx+m-5，9（1）求证：不论 m 取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（2）求当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例 1 已知抛物线 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m5，
17、则22(1)0yxxm整数 m 的值为_例 2已知二次函数 y x 2 2mx4m 8（1）当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；（2）以抛物线 y x 2 2mx4m 8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正 （M ，N 两点A在拋物线上） ，请问： AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线 y x 2 2mx4m 8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线 （其中 b0，c0）与 y 轴的交点为 A，点 A
18、 关于抛物线对称轴的2yxbc对称点为 B(m,n)，且 AB=2.(1)求 m,b 的值(2)如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO= 。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：20请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数 的图象与 x 轴交于不同的两点 A（ ，0） 、B（ ，0）2y4xm1x2x（ ） ，其顶点是点 C，对称轴与 x 轴的交于点 Dx2（1）求实数 m 的取值范围；（2）如果（ +1） （ +1）=8，求二次函数的解析式；12（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿 y 轴上下平移，如果平移后的函数
19、图象与 x 轴交于点 、1A，顶点为点 C1，且 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式1B1ABC综合提升1已知二次函数的图象与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C（0，4），且| AB|2 ，图象3的对称轴为 x1（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线 y x m 的下方，求 m 的取值范围AO xy102已知二次函数 y x 2 mx m2（1）若该二次函数图象与 x 轴的两个交点 A、 B 分别在原点的两侧，并且 AB ，求 m 的值；5（2）设该二次函数图象与 y 轴的交点为 C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点 M、 N，且S MNC 27，
20、求 m 的值3. 已知关于 x 的一元二次方程 x 22( k1) x k 20 有两个整数根， k5 且 k 为整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二次函数 y x 22( k1) x k 2的图象沿 x轴向左平移 4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线 y x b 与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求 b 的取值范围4已知二次函数的图象经过点 A（1，0）和点 B（2，1），且与 y 轴交点的纵坐标为 m（1）若 m 为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与 x 轴还有异于点 A 的另一个交点，求 m 的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线 y x1 所得线段的长为 2 ，求 m 的值2四、中考二次函数定值问题1. （2012 江西南昌 8 分）如图，已知二次函数 L1：y=x 24x+3 与 x 轴交于 AB 两点（点 A 在点B 左边） ，与 y 轴交于点 C（1）写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数 L2：y=kx 24kx+3k（k0） 写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质；若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF的长度；如果会，请说明理由
