1、14.2.3 直线与圆的方程的应用（一）教学目标1知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.（二）教学重点、难点重点与难点：直线与圆的方程的应用.教学环节 教学内容 师生互动 设计意图复习引入你能说出两点间的距离公式直线方程
2、的四种形式及圆的方程的两种形式吗？学生思考后作答教师再引入课题现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.启发并引导学生回顾，从而引入新课.应用举例3阅读并思考教科书上的例 4，你将选择什么方法解决例 4 的问题？例 4 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高 OP = 4m，建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑，求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m).解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y 轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是 r，那么圆的方程是x2 + (y b)2 = r2.师：指导学生观察教科书上的图形特征，利
3、用平面坐标系求解.生：自学例 4，并完成练习题 1、2.师：分析例 4 并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间. 指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.2下面确定 b 和 r 的值.因为 P、B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10 ，0)都满足方程 x2 + (y b)2 = r2.于是，得到方程组 220(4),1rb解得b = 10.5，r 2 = 14.52所以，圆的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把点 P2 的横坐标 x = 2代入圆的方程，得(2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取 2210.54.()
4、y(P2的纵坐标 y0 平方根取正值).所以 2214.5()1.514.36 10.5=3.86(m)4你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值.使学生加深对圆的方程的认识.5你能利用“坐标法”解决例 5 吗？例 5 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法.证明：如图，以四边形ABCD 互直垂直的对角线 CA，DB所在直线分别为 x 轴，y 轴，建
5、立直角坐标系.设 A(a，0) ，B(0，b) ，C(c，0) ，D(0，d).过四边形 ABCD 外接圆的圆心 O分别作 AC、BD、AD 的垂线，垂足分别为 M、N、E 分别是线段AC、BD 、AD 的中点.由线段的中巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力.3点坐标公式，得 2OMacxNbdy,2Eax所以 222|()()1cbdOb又 2|BCc所以 1|OE.6完成教科书第 140 页的练习题 2、3、4.练习 2 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为 7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.练习 3 某圆拱桥的水面跨度 20m，拱高 4m.现有一船，宽 10m，水面以上高
6、3m，这条船能否从桥下通过？练习 4 等边ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，且 1|3BC，|CE| = |CA|， AD、BE 相交于点 P.求证 APCP.教师指导学生阅读教材，并解决课本第 140 页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.练习 2 解：建立如图所示的直角坐标系.|OP| = 7.2m，| AB| = 37.4m.即有A(18.7，0) ， B (18.7，0)，C(0，7.2) .设所求圆的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2.于是有 222218.7),(.abr解此方程组，得a = 0，b = 20.
7、7，r = 27.9.所以这这圆拱桥的拱圆的方程是x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0y7.2)练习 3 解：建立如图所示的坐标系.依题意，有使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤.4A(10，0) ，B (10，0)，P(0， 4)，D( 5，0)，E(5，0).设所求圆的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2.于是有 222(10),4abr解此方程组，得a = 0，b = 10.5，r = 14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0y4).把点 D 的横坐标 x = 5 代入上式，得 y
8、 = 3.1.由于船在水面以上高3m，33.1，所以该船可以从桥下穿过.练习 4 解： 以 B 为原点，BC边所在直线为 x 轴，线段 BC 长的 16为单位长，建立如图所示的坐标系.则 (3,)(0,6,)ABC.由已知，得 D(2,0)， (5,3E.直线 AD 的方程为 2)yx.直线 BE 的方程为3(5)yx.解以上两方程联立成的方程组，得 53,7xy.所以，点 P 的坐标是 153(,)7.直线 PC 的斜率 9pck.因为 3()1ADpck，5所以，APCP .练习题 直角ABC 的斜边为定长 m，以斜边的中点 O为圆心作半径为长定长 n 的圆，BC 的延长线交此圆于 P、Q
9、两点，求证|AP| 2 + |AQ|2 + |PQ|2 为定值.7你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？学生独立解决练习题，教师组织学生讨论交流.证明：如图，以 O 为原点，分别以直线 PQ 为 x 轴，建立直角坐标系.于是有 (,0)(,)2mBC，,nP， ,Q设 A(x，y)，由已知，点 A 在圆224m上.AP2 + AQ2 + PQ2= 2()()nnxyxy=223m(定值)反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.归纳总结8小结：（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什
10、么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？师：指导学生完成练习题.生：阅读教科书的例 3，并完成.教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究.对知识进行归纳概括，体会利用“坐标法”解决实际问题的作用.课后作业 布置作业习案 4.2 第 2 课时 学生独立完成 巩固所学知识备选例题例 1 一圆形拱桥，现时的水面宽为 22 米，拱高为 9 米，一艘船高 7.5 米，船顶宽 4米的船，能从桥下通过吗？【解析】建立坐标系如图所示：C(11，0 )，D(11，0) ，M(0，9)可求得过 C、D、M 三点的圆的方程是2221()9xy故 A 点坐标是(2，y
11、1)，则 22101()()49y6得 y18.82，(取 y10)y 17.5，因此船不能从桥下通过.例 2 设半径为 3km 的圆形村落，A、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与 B 相遇，设A、B 两人的速度一定，其比为 3:1，问 A、B 两人在何处相遇.【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北为 y 轴的正方向，建立直角坐标系，设 A、B 两人的速度分别的为 3vkm/h， vkm/h，设 A 出发 ah，在 P 处改变方向，又经过 bh 到达相遇点 Q，则 P(3av，0)Q (0
12、，(a + b)v) ，则|PQ| = 3bv，| OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v在 Rt OPQ 中|PQ| 2 = |OP|2 + |OQ|2 得 5a = 4b0()PQvak 4设直线 PQ 方程为 3yxb由 PQ 与圆 x2 + y2 = 9 相切， 2|43解得 154b故 A、B 两人相遇在正北方离村落中心 154km.例 3 有一种商品，A、B 两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍.已知 A、B 相距 10km，问这个居民应如何选择 A 地或 B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)【解析】以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系 .|AB| = 10，所以 A(5，0)，B(5，0)设 P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从 B 地运往 P 地的单位距离运费为 a，即从B 地运往 P 地的运费为|PB|a，则运住 A 地的运费|PA |3a当运费相等时，就是|PB|a = 3a|PA| ，即 22(5)(5)xy整理得 214xy 所以在表示的圆周上的居民可任意选择在 A 或 B 地购买，在圆内的居民应选择在 A地购买，在圆外的居民应选择在 B 地购买.
