1、18.5 空间向量及其应用、空间角五年高考A 组 统一命题.课标卷题组1. 直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）。A: B: C: D: 答案详解 C 正确率: 73%, 易错项: B 解析:本题主要考查空间向量的应用。建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则有 ， ， ， ，所以 ， ，则， ，所以。故本题正确答案为 C。易错项分析：空间中异面直线夹角的解法，用空间向量法解题相对简单，本题易错点是正确建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。2. （12 分）如图，在四棱锥 中， ，且。（1）证明
2、：平面 平面 ；（2）若 ， ，求二面角 的余弦值。2答案详解（1）因为 ，所以 ， ，又因，所以 ，又因 ，所以 平面 ，又因平面 ，所以平面 平面 。（2）因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形。取 ，分别为 ， 中点，连接 ， ，则 。由（1）知 平面 ，所以 ， ，所以 ， ，又因， ，所以 为等腰直角三角形，所以 。如图，以 为原点建立空间直角坐标系，不妨令 ，则， ， ， ， ，则， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则有 ，设平面 的一个法向量为 ，则有 ，所以，显然二面角 为钝二面角，所以其余弦值为 。3解析:本题主要考查点、平面、直线的位置关系。（1）根据 ， ，先证 平面 ，
3、再证平面平面 即可。（2）根据已知可证 ， ， ，然后建立空间直角坐标系，再设各点坐标，代入公式计算即可。注意所求二面角 为钝二面角，所以其余弦值为 。3. （12 分）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ， ， 是 的中点。（1）证明：直线 平面 ；（2）点 在棱 上，且直线 与底面所成角为 ，求二面角 的余弦值。答案（1）证明：作点 为 的中点，连接 ， 。如图所示，因为 是 的中点，所以 是 的中位线，即 ，且 ，4因为 ， ，所以 ，且 ，所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 。（2）如图所示，取 中点 ，连接 ，
4、，由于 为正三角形 ，所以 ，因为侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，平面平面 ，所以 平面 ，所以可以作以 为原点，以为 轴，以 为 轴，以 为 轴的空间直角坐标系 。不妨设，则 。又因为 为直角三角形，所以 。作 ，垂足为 ，所以 平面。设 ，则 ， 。易知 即为直线 与底面 所成角为 ，所以 ，解得 。因此有， 。所以 ， ， ，则 ， ， 。设平面 的法向量为 ，所以，即 ，可取 ，同样可取平面 的法向量 ，所以 。因为二面角 是锐角，所以二面角 的余弦值为 。5解析本题主要考查空间几何体，直线、平面的位置关系和空间向量的应用。（1）作点 为 的中点，连接 ， ，利用题目条件证四边形 为
5、平行四边形即可得；（2）取 中点 ，连接 ， ，作 ，垂足为 ，先以 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴建立空间直角坐标系，设 ，根据题目所给直线 与底面 所成角为 先算出 ， 的长度，再分别写出各点的空间坐标，算出平面 一个法向量即可求解二面角的余弦值。题目来源：2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）：理数4. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， 为线段 上一点， 为 的中点。6（1）证明： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值。答案详解（1）连接 ，作 ，连接 并延长交 于点 ，因为 底面 ，所以 ，所以 ，所以 平面 ，因为 为 的
6、中点， ，所以 为 中点，所以 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以，即 ，又因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又因为 ， ， ，所以平面平面 ，所以 平面 ；7（2）取 中点 ，连接 。因为 ， ，所以，可得 。以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立直角坐标系 ，如图所示。则 ， ， ， ，因为 为 的中点，则。 ， ， 。设平面 的一个法向量为 ，则，即 ，不妨设 ，则 ，即 ， ，则直线 与平面所成角的正弦值为 。 .12 分解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系，空间直角坐标系。（1）过点 作底面垂线，再由已知条件中四棱锥的高与底面垂直，从而得到一组平行线
7、，再利用过点 所作垂线垂足作侧边平行线来构造另外一组平行线，使得存在两组相交直线相互平行，即可证得相交直线构成的平面平行，进而得出其中一面上的任一直线与另一平面平行，证毕。8（2）以体高在底面的垂足为原点建立空间直角坐标系，利用已知中已经给出的各边数量关系，表示出面 的法向量和 的坐标，从而求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值，再通过法向量方向的判断得出直线与平面的夹角正弦值。5. 本小题满分 分）如图，长方体 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上， 。过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（）求直线 与平面 所成角的正弦值
8、。答案详解（1）如图，交线围成的正方形 如图所示。（2）如图，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系。作 ，垂足为 ，所以 ， ，因为四边形为正方形，所以 ，则 ，所以 。则 ， ， ， 。9所以 ， ， 。设平面 的法向量为 ，则 ，得 ， 。取 ，得 。又 ，设直线 与平面 所成角为 ，则。解析:本题主要考查空间向量的应用。（1）根据勾股定理在 线段上作点 使得 ，则 。（2）建立空间直角坐标系，分别求出和平面 的法向量，即可求出 和平面 的夹角的正弦值。6. （本小题满分 12 分）如图，四边形 为菱形， ， 、是平面 同一侧的两点， 平面 ， 平面 ， 。10（）证明：平面 平面 ；（）求直线 与直线 所成角的余弦值。答案详解（）连结 ，设 ，连结 ， ， 。在菱形 中，不妨设 。由 ，可得 。由 平面 ， ，可知 。又 ，所以 ，且 。在 中，可得 ，故 。在 中，可得 。在直角梯形 中，由 ， ， ，可得 。从而 ，所以 。又 ，可得 平面 。因为 平面 ，所以平面 平面 。 .6 分（）如图，以 为坐标原点，分别以 ， ，垂直平面 向上的方向为 轴， 轴， 轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系 。由（）可得 ， ， ， ，所以
