1、智浪教育 -普惠英才文库 初中数学竞赛知识点归纳 一、数的整除（一） 如果整数 A除以整数 B(B 0)所得的商 A/B 是整数 ,那么叫做 A被 B整除 . 0 能被所有非零的整数整除 . 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除 3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除 (如 771， 54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减 ,其差能被 11 整除 (如 143,1859,1287,908270 等 ) 7,11,13 从
2、右向左每三位为一段 ,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减 ,其差能被 7 或 11 或 13 整除 .(如 1001， 22743， 17567， 21281 等 ) 能被 7 整除的数的特征： 抹去个位数 减去原个位数的 2 倍 其差能被 7 整除。 如 1001 100 2 98（能被 7 整除） 又如 7007 700 14 686， 68 12 56（能被 7 整除） 能被 11 整除的数的特征： 抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除 如 1001 100 1 99（能 11 整除） 又如 10285 1028 5 1023 102 3 99（能 11 整除） 二、倍数 .约
3、数 1 两个整数 A 和 B（ B 0），如果 B 能整除 A（记作 B A），那么 A 叫做 B 的倍数， B 叫做 A 的约数。例如 3 15， 15 是 3 的倍数， 3 是 15 的约数。 2 因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。 0 是任何非 0 整数的倍数，非0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数， 7 是 0 的约数。 3 整数 A（ A 0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现， 0， A， 2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有 5， 10，。 4 整数 A（ A 0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中
4、必包括 1和 A。例如 6 的约数是 1， 2， 3， 6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如 15 与 28 互质）。 7 在有余数的除法中，被除数除数商数余数 若用字母表示可记作： A BQ R，当 A， B， Q， R 都是整数且 B 0 时， A R 能被 B 整除 例如 23 3 7 2 则 23 2 能被 3 整除。 三、质数 .合数 1 正整数的一种分类： 智浪教育 -普惠英才文库 质数的定义：如 果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也
5、称素数）。 合数的定义：一个正整数除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2 根椐质数定义可知 质数只有 1 和本身两个正约数， 质数中只有一个偶数 2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2， 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2， 3 任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 四、零的特性 一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。 1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存 0 元。 2
6、， 零是判定正、负数的界限。 若 a 0 则 a 是正数，反过来也成立，若 a 是正数，则 a 0 记作 a 0 a 是正数 读作 a 0 等价于 a 是正数 bb 时 ,a-b0；当 a0， b0， 那么 a+b0，不可逆 绝对值性质 如果 a0,那么 |a|=a 也不可逆 (若 |a|=a 则 a 0) 7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例 1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的 n 位数呢？ 解：不同的五位数 可从最大 五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到 n 位正整数，则要观察其规律 一位
7、正整数 ,从 1 到 9 共 9 个， 记作 9 1 二位正整数从 10 到 99 共 90 个， 记作 9 10 三位正整数从 100 到 999 共 900 个， 记作 9 102 四位正整数从 1000 到 9999 共 9000 个， 记作 9 103 (指数 3=4-1) n 位正整数共 9 10 n-1 个 例 2 _ A C D E B 在线段 AB 上加了 3 个点 C、 D、 E 后，图中共有几条线段？ 加 n 点呢？ 解：以 A 为一端的线段有： AC、 AD、 AE、 AB 共 4 条 以 C 为一端的线段有： (除 CA 外 ) CD、 CE、 CB 共 3 条 以 D
8、 为一端的线段有： (除 DC、 DA 外 ) DE、 DB 共 2 条 以 E 为一端的线段有： (除 ED、 EC、 EA 外 ) EB 共 1 条 共有线段 1+2+3+4=10 (条 ) 注意： 3 个点时，是从 1 加到 4， 因此 如果是 n 个点，则共有线段 1+2+3+ +n+1= nn2 11 = 2 )2( nn 条 八、抽屉原则 1， 4 个苹果放进 3 个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于 2 个（即等于或多于 2 个）；如果 7 个苹果放进 3 个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于 3 个（即的等于或多于 3 个），这就是抽屉原则的例子。 2
9、， 如果用 nm 表示不小于 nm 的最小整数，例如 37 3， 236 。那么抽屉原则可定义为： m 个元素分成 n 个集合（ m、 n 为正整数 mn） ,则至少有一个集合里元素不少于 nm 个。 3， 根据 nm 的定义，己知 m、 n 可求 nm ； 己知 nm ， 则可求 nm 的范围，例如己知 nm 3，那么 2 nm 3；己知 3x 2，则 1 3x 2，即 3 x 6， x 有最小整数值 4 九、一元一次方程解的讨论 智浪教育 -普惠英才文库 1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程 2x 6 0， x（ x-1
10、） =0, |x|=6, 0x=0, 0x=2 的解 分别 是： x= 3, x=0 或 x=1, x= 6, 所有的数，无解。 2， 关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程 ax=b 后， 讨论它的解：当 a 0 时，有唯一的解 x=ab； 当 a=0 且 b 0 时，无解； 当 a=0 且 b 0 时，有无数多解。（不论 x 取什么值， 0x 0 都成立） 3, 求方程 ax=b(a 0)的整数解、正整数解、正数解 当 a b 时，方程有整数解； 当 a b，且 a、 b 同号时，方程有正整数解； 当 a、 b 同号时，方程的解是正数。 综上 所述，讨论一元一次方程的解，一
11、般应先化为最简方程 ax=b 十、二元一次方程的整数解 1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中， 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即 如果（ a,b） |c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解， （ 9， 3） 3，而 3 不能整除 10；（ 4， 2） 2，而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合 里研究公约数，（ a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。 2
12、， 二元一次方程整数解的求法： 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。 k 叫做参变数。 方法一，整除法 ：求方程 5x+11y=1 的整数解 解： x= 5111 y = yyyy 2515 101 (1) , 设 kky (51 是整数），则 y=1-5k (2) , 把（ 2）代入（ 1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2 原方程所有的整数解是 ky kx 51 211（ k 是整数） 方法二，公式法 ： 设 ax+by=c 有整数解 00yy xx 则通解是 akyy bkxx00 （ x0,y0 可用观察法） 3， 求二
13、元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 用观察法直接写出。 十一、二元一次方程组解的讨论 智浪教育 -普惠英才文库 1 二元一次方程组 222111 cybxa cybxa 的解的情况有以下三种： 当212121 ccbbaa 时，方程组有无数多解。（两个方程等效） 当212121 ccbbaa 时，方程组无解。（两个方程是矛盾的） 当2121 bbaa （即 a1b2 a2b1 0）时，方程组有唯一的解： 1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得） 2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即
14、有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。 十二、用交集解题 1 某种对象的全体组成一个 集合 。组成集合的各个对象叫这个集合的 元素。 例如 6 的正约数集合记作 6 的正约数 1， 2， 3， 6，它有 4 个元素 1， 2， 3， 6；除以 3 余 1的正整数集合是个无限集，记作除以 3 余 1 的正整数 1， 4， 7， 10，它的个元素有无数多个。 2 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的 交集 例如 6 的正约数集合 A 1， 2， 3，
15、 6， 10 的正约数集合 B 1， 2， 5， 10， 6 与10 的公约数集合 C 1， 2，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。 3 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集正整数集。 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组 )2(2 )1(62 xx解的集合就是 不等式（ 1）的解集 x3 和不等式（ 2）的解集 x 2 的交集， x3. 如数轴所示： 0 2 3 4一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求
16、出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 整数集正数集正整数集智浪教育 -普惠英才文库 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，得答案。 十三、 用枚举法解题 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 按一定的顺序，有系统地进行； 分类列举时，要做到既不重复又不 违漏； 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 十四、 经验归纳法 1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 由 ( 1
17、)2 1 ，（ 1 ） 3 1 ，（ 1 ） 4 1 ， 归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。 由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ）， 三位数从 100 到 999 共 900 个（ 9 102）， 四位数有 9 103 9000 个（ 9 103）， 归纳出 n 位数共有 9 10n-1 (个 ) 由 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42 推断出从 1 开始的 n 个連续奇数的和等于 n2 等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化
18、，必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都 是用数学归纳法证明） 十五、 乘法公式 1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。 2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式： (a b)2=a2 2ab+b2, 平方差公式
19、：（ a+b） (a b)=a2 b2 立方和（差）公式： (a b)(a2 ab+b2)=a3 b3 3.公式的推广： 多项式平方公式： (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。 二项式定理： (a b)3=a3 3a2b+3ab2 b3 (a b)4=a4 4a3b+6a2b2 4ab3+b4） （ a b） 5=a5 5a4b+10a3b2 10a2b3 5ab4 b5） 智浪教育 -普惠英才文库 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
20、 （ a+b） (a3 a2b+ab2 b3)=a4 b4 (a+b)(a4 a3b+a2b2 ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5 a4b+a3b2 a2b3+ab4 b5)=a6 b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数 (a+b)(a2n 1 a2n 2b+a2n 3b2 ab2n 2 b2n 1)=a2n b2n (a+b)(a2n a2n 1b+a2n 2b2 ab2n 1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （ a b） (an 1+an 2b+an 3b2+ abn 2+bn 1)=an bn
21、4. 公式的变形及其逆运算 由（ a+b） 2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2 2ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3 3ab(a+b) 由公式的推广可知：当 n 为正整数时 an bn 能被 a b 整除 , a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除 , a2n b2n能被 a+b 及 a b 整除。 十六、整数的一种分类 1 余数的定义：在等式 A mB r 中，如果 A、 B 是整数， m 是正整数， r 为小于 m 的非负整数，那么我们称 r 是 A 除以 m 的余数。 即：在整数集合中
22、被除数除数商余数 (0余数 除数 ) 例如： 13， 0， 1， 9 除以 5 的余数分别是 3， 0， 4， 1 （ 1 5（ 1） 4。 9 5（ 2） 1。） 2 显然，整数除以正整数 m ,它的余数只有 m 种。 例如 整数除以 2，余数只有 0 和 1 两种，除以 3 则余数有 0、 1、 2 三种。 3 整数的一种分类：按整数除以正整数 m 的余数，分为 m 类， 称为按模 m 分类。例如： m=2 时，分为偶数、奇数两类，记作 2k , 2k 1 （ k 为整数） m=3 时，分为三类，记作 3k , 3k+1 , 3k+2 . 或 3k , 3k+1， 3k 1其中 3k 1表
23、示除以 3 余 2。 m=5 时，分为五类， 5k . 5k+1 , 5k+2 , 5k+3 , 5k+4 或 5k , 5k 1 , 5k 2， 其中 5k 2 表示除以 5 余 3。 4 余数的性质：整数按某个模 m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下： （ 3k1+1） +(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数 1 1 2） （ 4k1+1） (4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数 1 3 3） （ 5k 2） 2 25k2 20k+4=5(5k2 4k)+4 （余数 22 4） 以上等式可叙述为： 两个整数除以 3 都余 1，则它们的和除
24、以 3 必余 2。 两个整数除以 4，分别余 1 和 3，则它们的积除以 4 必余 3。 如果整数除以 5，余数是 2 或 3，那么它的平方数除以 5，余数必是 智浪教育 -普惠英才文库 4 或 9。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。 如： 17 除以 5 余 2 176 除以 5 的余 数是 4 （ 26 64） 5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模 m。 十七、奇数 .偶数 1 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被 2 整除的整数是偶数，如 2， 0 2，不能被2 整除的整数是奇数，如 1， 1， 3。 如果 n 是整数，那么 2n 是偶数， 2n 1 或 2n+1 是奇数。如果
25、n 是正整数，那么 2n 是正偶数， 2n-1 是正奇数。 2 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数偶数奇数 或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。 3 奇数偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数 奇数奇数奇数 奇数偶数偶数，偶数偶数偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 十八、式的整除 1 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。 2 根据被除式除式商式余式，设 f(x),p(
26、x),q(x)都是含 x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为： 若 f(x) p(x) q(x)， 则称 f(x)能被 p(x)和 q(x)整除 例如 x2 3x 4（ x 4）（ x +1） , x2 3x 4 能被（ x 4）和（ x +1）整除。 显然当 x=4 或 x= 1 时 x2 3x 4 0， 3 一般地，若整式 f(x)含有 x a 的因式，则 f(a)=0 反过来也成立，若 f(a)=0,则 x a 能整除 f(x)。 4 在二次三项式中 若 x2+px+q=(x+a)(x+b) x2+(a+b)x+ab 则 p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 十九、因式分解 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1 添项拆项 。是 .为了分组后 ,能运用公式（包括配方）或提公因式 例 1 因式分解： x4+x2+1 a3+b3+c3 3abc 分析： x4+1 若添上 2x2 可配成完全平方公式 解： x4+x2+1 x4+2x2+1 x2=(x2+1)2 x2=(x2+1+x)(x2+1 x) 偶数集奇数集
