1、Rainfall QC Kriging Method,田 璦 菁中央大學土木工程研究所報告者 陳薏蘋,Kriging method起源,克利金法起源於地質學家研究南非礦冶工程，用以討論地下水分布問 題。主要以區域化變數理論探討自 然資源在空間上分佈之相關性，並 應用於勘查及推估自然資源上。,Kriging Method基礎概念,Kriging其基本假設為期望值與變異數只和隨機變數的距離有關，而與其所在空間無關。應用區域化變數所具有之特點，分別發展出不同點或區塊等推估系統方程式。,區域化變數理論,定義:自然現象在空間與時間中之隨機 變異的分佈，表現出空間及時間 結構，稱之為區域化。統計學上 常用
2、一種空間隨機函數(Random Function) Z(x)，表示為任何有關 之參數，稱之為區域化變數 (Regionalized Variable)。,基本假設 1. 定常性假設(Statiionary Hypothesis) (a) 在不同位置之隨機變數的期望值為一定值 EZ(x) = = const :平均值 (b) 不同位置的隨機變數之變異數為一定值 VarZ(x) = 2 = const,(c) 空間中任意兩個位置之隨機變數Z(x)與 Z(x+h)之共變異函數(Covarance)只與其兩 點之相對距離有關，與其個別所位置無關 CovZ(x), Z(x+h) = EZ(x)-Z(x+
3、h)- = Cov(h),2. 內在假設 (Intrinsic Hypothesis),定常性假設變異函數必須存在，且變異函 數應為有限值，但實際上許多物理現象並不滿足其假設。故提出內在假設，即不同 位置的隨機變數之差為一隨機變數，且期 望值與變異數只和隨機變數間之距離有關 ，與位置無關。當符合以下條件即滿足內 在假設。,(a) 空間中任意兩個位置之隨機變數，其差值期望為兩個點間的函數 EZ(x+h)-Z(x)=m(h)(b) 空間中任意兩個位置之隨機變數Z(x)與Z(x+h)的變異函數，和所在位置無關， 等於兩倍的半變異元函數 VarZ(x+h)-Z(x)=2(h) (h):半變異元函數(S
4、emi-Variogram),半變異元分析,半變異元的區域化變數可依特定方向但不同位置的隨機函數之差來表之，其定義為 (h) = EZ(x)-Z(x+h) 2 由觀測值所以計算得知的半變異元，稱為試驗半變異元*(h) ，可用算數平均值之方法來計算 Z(xi):位於x點的觀測值 Z(xi+):位於x+h之觀測值 h:平均距離 N(h):配對數,半變異圖,由半變異圖可知: (a) 臨界變異值 (b) 影響範圍 (c) 碎塊效應,半變異圖模式,半變異圖模式須滿足半變異的結構及維度條件，為決定(h)需選用已滿足正定條件的模式。(h)決定後，即可提供Kriging變差函數進行最佳推估。,拉格蘭茲乘數 (
5、Lagrange Multipliers),Langrange Multipliers主要應用於多變數計算，用以簡化方程式。欲求一個函數的極限，很難用一個封閉的方程組求之，因此必須應用一些限制條件來使函數的差異降至最低。由於變數眾多，使方程組變的複雜，故為了解決這些問題而發展出Langrange Multipliers，其可以不用考慮太多的限制條件，對於額外的變數可以忽略，只考慮有興趣的部份。,f(P) = g(P) F(P, )=f(P) - g(P),Kriging推估法,特性: 針對區域化變數所具有之特性， 發，如定常性假設及單一或多個 變數等性質，分別發展出不同點 或區域的推估系統方程
6、式，具有 最佳線性不偏推估的特性。,最佳線性不偏推估,線性(Linear): 估計值為觀測值之線性組合 (1-1) zi :隨機變數 z(x)在xi點上之觀測值，即z(xi) :為z(x0)之推估值，即z*(x0) :為對應zi之權重,不偏估(Unbiased): 估計值之期望值等於隨機變數 之期望值 E = EZ0 (1-2) E - Z0= 0最佳化(Optimal): 估計值與觀測值差之變異數為 最小值 minVar ( - Z0)= E( - Z0)2 (1-3),由(1-1)式可知 為求最佳化之推估結果，將(1-1)代入(1-3)，並 且為同時滿足最佳化和不偏估等兩個特性，故 用拉格
7、蘭茲法引入拉格蘭茲參數 Varz*(x0) z(x0)=Varz*(x0) Varz(x0) Var z*(x0)= Varz(x0)= ,上式可改寫為 L= Varz*(x0) z(x0)-2 = Ez*(x0) z(x0)2-2 =將上式對0i及偏微分，並令微分式等於0，即可求得克利金系統方程式及克利金變異數,克利金系統方程式 令 可得克利金系統方程式,其中 矩陣 表非觀測值之間相關特性 表示觀測點與推估點間之相關特性 為權重係數，可直接由相對距離所 控制之克利金系統方程式決定，而 不需要觀測點之觀測資料,克利金變異數 克利金系統方程可求得最佳估計權重0i ，將 最佳估計權重代回(1-1)及克利金矩陣形式，即 可分別求得最佳不偏推估值及對應之克利金變 異數。,Summary,克利金推估方法雖然是現今水文分析領域中，常使用的一種空間統計內插方法，但在水文分析中，經常遇到需要估算遺失資料或尚未設置測站觀測資料的情況，由於降雨內插估計包含太多不確定性，所以目前尚未有一種空間內插方法，可以顧及到所有降雨空間之統計特性。,
