1、 数 学 F 单元 平面向量 F1 平面向量的概念及其线性运算 4 A2， F12016北京卷 设 a， b 是向量，则 “ |a| |b|” 是 “ |a b| |a b|” 的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 D 解析 若 |a| |b|成立，则以 a， b 为边组成的平行四边形为菱形， a b， a b表示的是该菱形的对角线，而菱形的 对角线不一定相等，所以 |a b| |a b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若 |a b| |a b|成立，则以 a， b 为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以 |
2、a| |b|不一定成立，从而不是必要条件 故选 D. 13 F1、 F32016江苏卷 如图 1 3，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点， BA CA 4， BF CF 1，则 BE CE 的值是 _ 图 1 3 13.78 解析 设 BD a， DF b，则由题意得 BA a 3b， CA a 3b， BF a b， CF a b， BE a 2b， CE a 2b， 所以 BA CA 9b2 a2 4， BF CF b2 a2 1， 解得 b2 58， a2 138 ， 于是 BE CE 4b2 a2 78. 14 F1， K22016上海卷 如
3、图 1 2 所示，在平面直角坐标系 xOy 中， O 为正八边形A1A2 A8 的中心， A1(1， 0) 任 取不同的两点 Ai， Aj，点 P 满足 OP OAi OAj 0，则点 P落在第一象限的概率是 _ 图 1 2 14. 528 解析 共有 C28 28(个 )基本事件，其中使点 P 落在第一象限的基本事件共有 C23 2 5(个 )，故所求概率为 528. F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 F3 平面向量的数量积及应用 13 F1、 F32016江苏卷 如图 1 3，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点， BA CA 4， BF CF
4、 1，则 BE CE 的值是 _ 图 1 3 13.78 解析 设 BD a， DF b，则由题意得 BA a 3b， CA a 3b， BF a b， CF a b， BE a 2b， CE a 2b， 所以 BA CA 9b2 a2 4， BF CF b2 a2 1， 解得 b2 58， a2 138 ， 于是 BE CE 4b2 a2 78. 13 F32016全国卷 设向量 a (m， 1)， b (1， 2)，且 |a b|2 |a|2 |b|2，则 m_ 13 2 解析 由已知条件，得 ab 0，即 m 2 0，即 m 2. 3 F32016全国卷 已知向量 BA （ 12， 32
5、 ） ， BC （ 32 ， 12） ，则 ABC ( ) A 30 B 45 C 60 D 120 3 A 解析 cos ABC BA BC|BA |BC | 12 12 32 32 32 ，又 ABC 0 ， 180 ， ABC 30 . 3 F32016全国卷 已知向量 a (1， m)， b (3， 2)，且 (a b) b，则 m ( ) A 8 B 6 C 6 D 8 3 D 解析 a b (4， m 2)， (a b) b， (a b)b 12 2(m 2) 0，解得 m 8. 8 F32016山东卷 已知非零向量 m， n 满足 4|m| 3|n|， cos m， n 13，若
6、 n (tm n)，则实数 t 的值为 ( ) A 4 B 4 C.94 D 94 8 B 解析 由 4|m| 3|n|，可设 |m| 3， |n| 4.又 n (tm n)， cos m， n 13， n(tm n) 0，即 t 4 3 13 16 0，解得 t 4. 15 F32016浙江卷 已知向量 a， b， |a| 1， |b| 2.若对任意单位向量 e，均有 |ae|be| 6，则 ab 的最大值是 _ 15.12 解析 由 |(a b)e| |ae| |be| 6，得 |a b| 6，即 |a|2 |b|2 2ab 6，所以ab 12，故 ab 的最大值为 12. 12 C4，
7、F32016上海卷 在平面直角坐标系中，已知 A(1， 0)， B(0， 1)， P 是曲线y 1 x2上一个动点，则 BP BA 的取值范围是 _ 12 0， 1 2 解析 由题意得 y 1 x2表示以原点为圆心， 1 为半径的上半圆，设 P(cos ， sin )， 0， ，则 BA (1， 1)， BP (cos ， sin 1)，所以 BP BA cos sin 1 2sin( 4 ) 1，因为 0， ，所以 0 BP BA 1 2. 21 H6， H8， F32016上海卷 双曲线 x2 y2b2 1(b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A，
8、B 两点 (1)若 l 的倾斜角为 2 ， F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设 b 3，若 l 的斜率存在，且 (F1A F1B )AB 0，求 l 的斜率 21 解： (1)设 A(xA， yA)， F2(c， 0)， c 1 b2，由题意， y2A b2(c2 1) b4， 因为 F1AB 是等边三角形，所以 2c 3|yA|， 即 4(1 b2) 3b4，解得 b2 2. 故双曲线的渐近线方程为 y 2x. (2)由已知， F1( 2， 0)， F2(2， 0) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l： y k(x 2)，显然 k 0. 由x2 y23
9、 1，y k（ x 2），得 (k2 3)x2 4k2x 4k2 3 0. 因为 l 与双曲线交于两点，所以 k2 3 0，且 36(1 k2)0. 设 AB 的中点为 M(xM， yM) 由 (F1A F1B )AB 0，即 F1M AB 0，知 F1M AB，故 kF1M k 1. 又 xM x1 x22 2k2k2 3， yM k(xM 2)6kk2 3，所以 kF1M3k2k2 3， 所以 3k2k2 3 k 1，得 k2 35，故 l 的斜率为 155 . F4 单元综合 10 F42016四川卷 在平面内，定点 A， B， C， D 满 足 |DA | |DB | |DC |， D
10、A DB DB DC DC DA 2，动点 P， M 满足 |AP | 1， PM MC ，则 |BM |2 的最大值是 ( ) A.434 B. 494 C.37 6 34 D.37 2 334 10 B 解 析 方法一：由题意，因为 |DA | |DB | |DC |，所以 D 到 A， B， C 三点的距离相等， D 是 ABC 的外心 DA DB DB DC DC DA 2 DA DB DB DC DB (DA DC ) DB CA 0，所以 DB AC. 同理可得， DA BC， DC AB， 从而 D 是 ABC 的垂 心， 所以 ABC 的外心与垂心重合，因此 ABC 是正三角形
11、，且 D 是 ABC 的中心， 所以 DA DB |DA |DB |cos ADB |DA |DB | 12 2|DA | 2， 所以正三角形 ABC 的边长为 2 3. 以 A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(3， 3)， C(3， 3)， D(2， 0) 由 |AP | 1，设 P 点的坐标为 (cos ， sin )，其中 0， 2 ) 由 PM MC ，可知 M 是 PC 的中点， 所以 M 的坐 标为 3 cos 2 ， 3 sin 2 ， 则 |BM |2 cos 322 3 3 sin 2237 12sin 64 37 124 494 ， 当 23 时， |BM |2
12、 取得最大值 494 . 方法二：由 |DA | |DB | |DC |可知 D 为 ABC 的外心，再根据 DA DB DB DC DC DA 2，得 ADB BDC CDA 120 ， 于是 ABC 为正三角形，且边长为 2 3. 设 AC 的中点为 T，则 |BT | 3， 由条件知 BM 12(BP BC ) 12(BA AP BC ) 12(2BT AP ) BT 12AP ， 所以 |BM |2 BT 12AP 2 |BT |2 14|AP |2 BT AP |BT |2 14|AP |2 |BT |AP |cos BT ， AP 9 14 3 1 1 494 ， 当且仅当 BT
13、， AP 0 ，即 BT 与 AP 同向时等号成立 7 F42016天津卷 已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE 2EF，则 AF BC 的值为 ( ) A 58 B. 18 C.14 D.118 7 B 解析 BC AC AB ， AF AD DF 12AB 32DE 12AB 34AC ， BC AF (AC AB )（ 12AB 34AC ） 12 1 1 12 12 34 34 1 1 12 14 34 12 3818. 6 2016南阳期末 在 ABC 中， M 为边 BC 上任意一点， N 为
14、AM 中点， AN AB AC ，则 的值为 ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D 1 6 A 解析 AM 2AN 2 AB 2AC ，由于 B， C， M 三点共线，故 2 2 1，所以 12. 4 2016济宁期末 在 ABC 中 ， G 是 ABC 的重心，边 AB， AC 的长分别为 2， 1， BAC 60 ，则 AG BG ( ) A 89 B 109 C.5 39 D 5 39 4 A 解析 由 AB 2， AC 1， BAC 60 ，得 BC 3， ACB 90 .以 C 为坐标原点， CB ， CA 的方向分别为 x 轴， y 轴的正方向建立直角坐标系，则 A(0，
15、 1)， B( 3，0)，所以重心 G 33 ， 13 ，所以 AG 33 ， 23 ， BG 2 33 ， 13 ，所以 AG BG 33 ，23 2 33 ，13 89. 7 2016福州质检 在 ABC 中， BC 2， A 45 ， B 为锐角，点 O 是 ABC 外接圆的圆心，则 OA BC 的取值范围是 ( ) A. ( 2， 2 2 B. ( 2 2， 2 C 2 2， 2 2 D. ( 2， 2) 7 A 解析 由题意得 AB 2 2sin C， AC 2 2sin B，取 BC 的中点 D，连接 OD，AD，则 OD BC，所以 OA BC (OD AD )BC AD BC 12(AB AC )(AC AB ) 12(AB2 AC 2) 4sin2C 4sin2B 2cos 2B 2cos 2C 2cos 2B 2cos(270 2B) 2cos 2B 2sin 2B 2 2sin(2B 45 ) 又 45 2B 45 225 ，所以 22 sin(2B 45 ) 1，所以 2OA BC 2 2.
