1、 第 1 页 共 7 页 教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 高一 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 三角函数和差公式和倍角公式 授课日期及时段 教学目的 1、学习并掌握三角函数的和差公式的推导过程； 2、理解并掌握倍角公式的推导过程及其应用； 3、能灵活利用和差公式进行分析求解问题。 教学内容 一、上次作业检查与讲解； 二、学习 要求及方法的培养： 三、知识点分析、讲解与训练： 一、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 ： s i n s i n c o s c o s s i n s i n 2 2 s i n c o s令 2222222c
2、o s c o s c o s sin sin c o s 2 c o s sin2 c o s 1 1 2 sinta n ta n 1 + c o s2ta n c o s1 ta n ta n 21 c o s2sin22 ta nta n 21 ta n令 二、 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。 基本的技巧有 : （ 1）巧变角 （已知角与 特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与
3、其和差角的变换 . 如 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ，2 2 ， 2 2 2 等）， (2)三角函数名互化 (切割化弦 )， (3)公式变形使用 （ tan tan ta n 1 ta n ta n 。 (4)三角函数次数的降升 (降幂公式： 2 1 cos 2cos 2 ， 2 1 cos 2sin 2 与升幂公式：21 cos 2 2 cos， 21 cos 2 2 sin)。 知识回顾 第 2 页 共 7 页 (5)式子结构的转化 (对角、函数名、式子结构化同 )。 (6)常值变换主要指“ 1”的变换 （ 221 sin cosxx 22s e c t
4、 a n t a n c o tx x x x tan sin42 等 ）， (7)正余弦“ 三兄妹 sin co s sin co sx x x x 、 ”的内存联系“知一求二”， 三、 辅助角公式 ： 22s i n c o s s i na x b x a b x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 tan ba 确定 )在求最值、化简时起着重要作用。 例一、 （ 1） 下列各式中，值为 12 的是 （ ） A、 15 15sin cos B、 2212 12cos sin C、222 51 22 5tan .tan .D、 1 302cos ； （ 2） 命题 P
5、： 0tan( A B )，命题 Q： 0tan A tan B，则 P 是 Q 的 （ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件； （ 3） 已知 35s in ( ) c o s c o s ( ) s in ，那么 2cos 的值为 ； （ 4） 1310 80sin sin 的值是 ； (5)已知 0tan110 a ，求 0tan50 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 313a a，乙求得的结果是 212aa ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 。 例二、 （ 1） 化简 tan (cos sin ) sin tancot csc ；
6、（ 2） 求证：21 ta n1 si n 21 2 si n 1 ta n22； 例三、 (1)若 32( , ) ，化简 1 1 1 1 22 2 2 2 cos 为 _ ； （ 2） 函数 25 5 3f ( x ) s in x c o s x c o s x5 32 ( x R)的单调递增区间为 _ 典例精讲 第 3 页 共 7 页 例四、（ 1） 若方程 sin 3 cosx x c有实数解，则 c 的取值范围是 _； （ 2） 当函数 23y cos x sin x取得最大值时， tanx 的值是 ； （ 3） 如果 sin 2 c o s( )f x x x 是奇函数，则 ta
7、n = ； （ 4） 求值： 20s in6420c o s 120s in 3 222； 例五、（ 1） 已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 ) ,f x A x a x R 的最大值是 1，其图像经过点 1( , )32M 。 （ 1）求 ()fx的解析式； （ 2）已知 , (0, )2 ，且 3 1 2( ) , ( ) ,5 1 3ff求 ()f 的值。 （ 2） 2014江西卷 已知函数 f(x) sin(x ) acos(x 2)，其中 a R， 2 ， 2 。 (1)当 a 2， 4 时，求 f(x)在区间 0， 上的最大值与最小值； (2)若 f 2 0，
8、f( ) 1，求 a， 的值 。 例六、 （ 2012 年高考（安徽理） 设函数 22( ) c o s( 2 ) sin24f x x x (I)求函数 ()fx的最小正周期 ； (II)设函数 ()gx对任意 xR ,有 ( ) ( )2g x g x ,且当 0, 2x 时 , 1( ) ( )2g x f x ,求函数 ()gx 在 ,0 上的解析式 。 第 4 页 共 7 页 1、 （ 08 北京） 若角 的终边经过点 (1 2)P ， ，则 cos = ； tan2 = 。 2、 化简 1 sin 4 cos 41 sin 4 cos 4= ( ) A. cot2 B. tan2
9、C. cot D. tan 3、 tan 和 tan(4 - )是方程 x2+px+q=0 的两根，则 p、 q 之间的关系是 ( ) A. p+q+1=0 B. p-q-1=0 C.p+q-1=0 D. p-q+1=0 4、 2014新课标全国卷 如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x的始边为射线OA， 终边为射线OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 y f(x)在 0， 上的图像大致为 ( ) A B C D 5、 2014全国卷 直线 l1 和 l2 是圆 x2 y2 2 的两
10、条切线若 l1 与 l2 的交点为 (1， 3)，则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 _。 巩固练习 第 5 页 共 7 页 6、（ 1） 化简42212 c o s 2 c o s22 ta n ( ) sin ( )44xxxx（ 2） 已知是第一象限的角，且 cos =)42c o s ()4s in(,135求 的值 。 7、 已知)c o s ()22s in (s in3 cos =1， (0， )，求的值 。 8、 已知 40 , sin25 。 （）求 22sin sin 2cos cos 2的值； （）求 5tan( )4 的值。 9、 （ 2012 年高考（北京理） 已
11、知函数 ( s in c o s ) s in 2() s inx x xfx x 。 (1)求 ()fx的定义域及最小正周期 ； (2)求 ()fx的 单调递增区间 。 10、 （ 2012 年高考（福建理） 某同学在一次研究性学习中发现 ,以下五个式子的值都等于同一个常数 。 (1) 2s i n 1 3 c o s 1 7 s i n 1 3 c o s 1 7 (2) 2s i n 1 5 c o s 1 5 s i n 1 5 c o s 1 5 (3) 2s i n 1 8 c o s 1 2 s i n 1 8 c o s 1 2 第 6 页 共 7 页 (4) 2s i n (
12、 1 8 ) c o s 4 8 s i n ( 1 8 ) c o s 4 8 (5) 2s i n ( 2 5 ) c o s 5 5 s i n ( 2 5 ) c o s 5 5 试从上述五个式子中选择一个 ,求出这个常数 根据 () 的计算结果 ,将该 同学的发现推广三角恒等式 ,并证明你的结论 . 11、（ 2012年高考（广东理） (三角函数 )已知函数 2 co s6f x x (其中 0 x R )的最小正周期为 10 。 () 求 的值 ； () 设 、 0,2 , 56535f , 5 1656 17f ,求 cos 的值 。 12、 2014广东卷 已知函数 f(x)
13、Asin x 4 ， x R，且 f 512 32。 (1)求 A 的值； (2)若 f() f( ) 32， 0， 2 ，求 f 34 。 第 7 页 共 7 页 13、 2014辽宁卷 已知函数 f(x) (cos x x)( 2x) 83(sin x 1)， g(x) 3(x )cos x 4(1 sin x)ln 3 2x 。 证明： (1)存在唯一 x0 0， 2 ，使 f(x0) 0； (2)存在唯一 x1 2 ， ，使 g(x1) 0，且对 (1)中的 x0，有 x0 x10， f 2 2 163 0， 当 t x0， 2 时， u(t)0，所以 u(t)在 (0， x0上无零点 在 x0， 2 上 u(t)为减函数，由 u(x0)0， u 2 4ln 20，故 g(x) (1 sin x)h(x)与 h(x)有相同的零点，所以存在唯一的 x1 2 ， ，使 g(x1) 0. 因为 x1 t1， t1x0，所以 x0 x1 .
