1、足球上的数学,北京大学数学科学学院陈维桓,问 题,足球上美丽的构图是如何形成的？在足球上一共有几个正五边形？有几个正六边形？它们是如何放置的？每个正五边形和正六边形的边长是多少？顶角各是多少度？面积是多少？足球有多少种自身的转动使得足球上的图案和它初始位置的图案重合？如何正确地画出足球的图案？,足球上的测地正多边形,足球上正多边形的边是什么曲线？为什么它们是球面上的大圆弧？测地线：一般曲面上与“平面上的直线”相对照的曲线。如果曲面有一个到它自身的等距对应使得曲线C是该等距对应的不动点集，则曲线C是该曲面上的一条测地线。,在足球上如何放置测地正五边形和测地正六边形？,在每个测地正五边形周围放置五
2、个测地正六边形。在每个测地正六边形周围交替地放置测地正五边形和测地正六边形。这样的安置应该与正多面体有关。关系是怎样的？,正多面体的种类,正多面体的Euler公式： 面数-棱数+顶点数=2正四面体：三边形，4，6，4，绕顶点面数3正六面体：四边形，6，12，8，绕顶点面数3正八面体：三边形，8，12，6，绕顶点面数4正十二面体：五边形，12，30，20，绕顶点面3正二十面体：三边形，20，30，12，绕顶点面5,足球图案的构成,以正二十面体的中心为球心作球面包围该多面体。从球心出发将正二十面体的表面投影到球面上得到球正二十面体，每个面是测地三边形。围绕每个顶点有五个测地三边形。从每个顶点出发截
3、取一定长度，使测地三边形截去三个角之后成为测地正六边形。,正二十面体的十二个顶点,十二个顶点落在6条直线上，设其中一条直线的方向向量是v1=(0,0,1)。其余五个方向围绕v1均匀分布，并且和v1成角，设为 v2=(sin,0,cos), v3=(sincos2/5, sinsin2/5, cos) v4=(sincos4/5, sinsin4/5, cos) v5=(sincos6/5, sinsin6/5, cos) v6=(sincos8/5, sinsin8/5, cos),正二十面体的十二个顶点(续),条件=成为 cos= sin cos2/5 +cos解方程得到 cos=5/5,
4、=1.1071487(弧度)这正是球正二十面体的棱长。,球面三角公式,设球面三角形的边长为，对应的顶角是A,B,C。余弦公式： cos=coscos +sin sin cosA cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos 正弦公式： sin /sinA= sin /sinB= sin /sinC,足球上测地正多边形的边长,考虑球面上顶角A=2/5、对边为(弧度)的等腰测地三角形，其腰长为x(弧度)，底角设为B。解方程组 cos =cosx+sinx cos 2/5, 2x+ = =1.1071487.数值计算求解：x=0.3504054(弧度)， 边长 =0.4063379(弧度)。
5、,足球上的数据,球面正五边形个数：12球面正六边形个数：20总棱数：90=(125+206)/2总顶点数：60= (125+206)/3边长： =0.4063379(弧度)正五边形顶角：2B=1.9439694(弧度)正六边形顶角： -B=2.169608 (弧度),足球上的数据(续),测地正五边形面积： 5(-1.9439694)-2=0.2950691(平方单位)测地正六边形面积： 6(-2.169608)-2=0.4512774(平方单位)Gauss-Bonnet公式：在单位球面上测地多边形的面积等于测地多边形的外角之和与2之差。,正二十面体群,正二十面体在空间中保持它占有同一空间位置的
6、转动共有60种，其中：绕6对相对顶点连线作2/5,4/5, 6/5, 8/5旋转，共24种。绕10对相对面中心连线作2/3,4/3旋转，共20种。绕15对相对棱中心连线作旋转，共15种。一动不动的旋转，1种。,足 球 群,让足球转动保持前后位置的足球图案完全重合的旋转和正二十面体群是一致的，它们是：绕6对相对正五边形中心连线作2/5,4/5, 6/5, 8/5旋转，共24种。绕10对相对正六边形中心连线作2/3,4/3旋转，共20种。绕15对相对的正六边形公共棱的中心连线作旋转，共15种。一动不动的旋转，1种。,思 考 题,足球的上述60种旋转构成一个群，也就是接连做任意两个这种旋转，得到的还
7、是属于其中的一种旋转。问题：求任意两个这种旋转接连做的结果(首先将各种旋转适当编号)。,如何画出足球的图案？,足球上共有60个顶点。如果我们能够求得这60个顶点的坐标，则不难用计算机画出足球的平面投影图。问题：如何计算各顶点的坐标？,顶点坐标的计算,假定初始的正二十面体的12个顶点如前面的计算那样放置。将足球上60个顶点从上到下分层编号，上半球面的30个点是： v11,v12,v13,v14,v15, v21,v22,v23,v24,v25, v31,v32,v33,v34,v35,v36,v37,v38,v39,v310, v41,v42,v43,v44,v45,v46,v47,v48,v4
8、8,v410. 利用已知数据和足球的旋转可以从上到下求出各点坐标。,足球上顶点的坐标,v11=(0.343,0,0.939)v12=(0.106,0.326,0.939)v13=(-0.278,0.202,0.939)v14=(-0.278,-0202,0.939)v15=(0.106,-0.326,0.939),足球上顶点的坐标(续1),v21=(0.687,0,0.727)v22=(0.212,0.653, 0.727)v23=(-0.555,0.403, 0.727)v24=(-0.555,-0.403, 0.727)v25=(0.212,-0.653, 0.727),足球上顶点的坐标(
9、续2),v31=(0.793,-0.326,0.515)v41=(0.965,-0.202, 0.172)v42=(0.965,0.202, 0.172)v32=(0.793,0.326, 0.515)v33=(0.555,0.654,0.515)v34=(-0.065,0.855 ,0.515)v35=(-0.450,0.730,0.515)v36=(-0.833,0.202,0.515)v37=(-0.833,-0.202,0.515)v38=(-0.450,-0.730,0.515),足球上顶点的坐标(续3),v39=(-0.065,-0.855,0.515)v310=(0.555,-0.654,0.515)v43=(0.490,0.855, 0.172)v44=(0.106,0.980, 0.172)v45=(-0.662,0.730, 0.172)v46=(-0.900,0.404 , 0.172)v47=(-0.900,-0.404, 0.172)v48=(-0.662,-0.730, 0.172)v49=(0.106,-0.980, 0.172)v410=(0.490,-0.855, 0.172),
