1、辽宁省精品资源共享课电子教案,communication principles,通信原理电子教案,电子教案制作: 沈阳理工大学 信息科学与工程学院 李 环 QQ:1716448649,主要参考教材：1.通信原理（第六版），作者：樊昌信 曹丽娜 国防工业出版社2.通信系统仿真设计与应用，作者：李环 任波 华宇宁 电子工业出版社,第 三 章 随 机 过 程,3.1 随机过程的基本概念3.2 典型随机过程,3.2 典型随机过程,1. 平稳随机过程2. 高斯随机过程3. 窄带随机过程4. 随机过程通过线性系统,指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。若对于任意正整数n和任意实数t1t2t
2、n,，随机过程(t)的n维概率密度函数满足： fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=fn(x1,x2,xn;t1+,t2+,tn+)则称(t)是平稳随机过程。 该定义说明：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。,狭义平稳(严平稳)随机过程定义,一维分布与时间t无关，即有 ： f1(x1, t1)=f1(x1)二维分布只与时间间隔有关： 式中：= t2 -t1, f2(x1,x2;t1,t2)= f2(x1,x2;t1,t1+)= f2(x1,x2;) 平稳随机过程(t)的均值： 为常数,平稳随机过程的方差2(t)
3、=2=常数。平稳随机过程(t)的自相关函数：,平稳过程特性,R(t1,t2)= R(t1,t1+)= E(t1)(t1+) = R() 仅是时间间隔=t2-t1的函数,平稳随机过程(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值为常数；自相关函数只与时间间隔有关，R(t1,t1+)=R(),定义：称均值是常数，自相关函数是的函数的随机过程为宽平稳或广义平稳随机过程。 狭义平稳过程与广义平稳的关系：狭义平稳过程一定是广义平稳过程但广义平稳过程不一定是狭义平稳过程。,广义平稳随机过程定义,通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳
4、随机过程，简称平稳过程。,随机过程的任一实现，好像经历了随机过程的所有可能状态。可以化“统计平均”为“时间平均”。随机过程的数学期望（统计平均值）可以用任一实现的时间平均值来代替。 ,各态历经性,只有平稳随机过程才具有各态历经性，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程。但平稳随机过程不一定是各态历经的。 平稳过程，当 时，认为该过程是各态历经的。,在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件,R()=E(t)(t+),平稳随机过程自相关函数,R()具有下列主要性质：R(0)=E2(t)=P (t)的功率（平均功率或总功率） R() = E(t)(t+ )=E(t)E(t +
5、 ) =E2(t) (t)的直流功率当时(t)与(t+)统计独立，且认为(t)中不含周期分量。 R()=R(-) 的偶函数 |R()|R(0) R()的上界 R(0)-R()=E2(t)E2(t)=2 (t)的交流功率=方差当均值为0时，直流功率为0，有：R(0)=2 ，功率等于方差。,自相关函数R()与功率谱密度P()互为傅立叶变换对,平稳随机过程的功率谱密度,或,因为R(0)表示随机过程的平均功率，等于功率谱密度的积分，即功率谱密度曲线下的面积。,称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,某随机相位正弦波(t)=si
6、n(0t+)，其中0为常数，是在区间(0,2)内均匀分布的随机变量。（1）求(t)的期望、方差、自相关函数（2）讨论(t)是否平稳？（3）求(t)的功率谱密度及平均功率、直流功率、交流功率。（4）讨论(t)是否具有各态历经性？,例3.2-1,(1),可见:(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔有关， 所以(t)为广义平稳随机过程。,(2),平稳随机过程的相关函数与功率谱密度互为傅里叶变换:,平均功率为： P =R(0),功率谱密度为：,或：,(3),平均功率为： R(0)=E2(t)=P =1/2 （即总功率）均值的平方： E2 X(t)=0 （即直流功率）方差为：DX(t)=EX2(
7、t)- E2X(t)= 1/2 （即交流功率）,比较统计平均与时间平均，得a = , R()= ， 因此，随机相位正弦波是各态历经的。,(4)讨论各态历经性:求(t)的时间平均：,3.2 典型随机过程,1. 平稳随机过程2. 高斯随机过程3. 窄带随机过程4. 随机过程通过线性系统,正态分布也称高斯分布，是高斯从测量误差分布的实验中导出的。中心极限定理指出：大量独立随机变量之和的分布趋于正态分布，而与每个随机变量的分布无关。正态分布在各种分布中占有特殊重要的地位，通信系统中的噪声通常是正态分布。均值a，方差为2的正态分布记为N(a, 2)，概率密度函数为：,高斯随机过程,若随机过程(t)的任意
8、n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn),式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即：,高斯随机过程的定义,b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1,|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且,高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的一维和二维数字特征就可以了。 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值为常数，协方差函
9、数只与时间间隔有关，由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有jk有bjk=0，|B|=1, 则：也是统计独立的。,高斯过程重要性质,也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。高斯过程经线性变换后仍为高斯过程。若 、 为高斯分布，则 也为高斯分布。,=f(x1,t1)f(x2,t2)f(xn,tn),fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=,上述特性是高斯过程特有的，一般随机过程无此特性。,高斯过程与一般随机过程性能比较,蓝线下面积为为F(x),红线下面积为Q函数,高
10、斯分布函数的计算-查表法（附录B）,误差函数：,或：,互补误差函数：,或：,Q(x)函数：,Z(t)=X1cosw0tX2sinw0t 是一随机过程。若X1、X2是彼此独立且具有均值为0，方差为2的正态随机变量，求： EZ(t) 、 DZ(t) Z(t)的一维概率密度函数f(z) Z(t)的自相关函数Rz(t1、t2) 此随机过程是否广义平稳？ Z(t)的平均功率,直流功率,交流功率.,例3.2-2,EZ2(t)= E(X1cosw0t X2sinw0t)2 =cos2w0t EX122cosw0tsinw0t EX1X2 sin2w0t EX22 DX1= EX12 E2X1 = 2， E2
11、X1 =0 EX12 = 2 同理： EX22 = 2 X1、 X2是彼此独立EX1X2 = EX1 EX2 =0 EZ2(t)= cos2w0t 2 + sin2w0t2 = 2 DZ(t)= EZ2(t)E2Z(t) = 2, EZ(t)=EX1cosw0tX2sinw0t =cosw0tEX1sinw0tEX2 已知 EX1 = EX2 =0 EZ(t) =0,(5) EZ(t) =0, Z(t)的直流功率= E2Z(t)=0, 交流功率= DZ(t) = 2 平均功率=直流功率+交流功率=2 或: EZ2(t)= 2, Z(t)=X1cosw0tX2sinw0t 是正态随机变量X1、
12、X2的线性变换，所以Z(t)是正态随机过程，只要求出Z(t)的均值和方差，带入正态分布的一维概率密度函数公式即得:,(3) R z(t1、t2) = EZ(t1) Z(t2) = E(X1cosw0t1 - X2sinw0t1)(X1cosw0t2 - X2sinw0t2) = cosw0t1cosw0t2 EX12 - cosw0t1sinw0t2 EX1X2 -sinw0t1cosw0t2 EX1X2 +sinw0t1sinw0t2 EX22 =2cosw0t1cosw0t2 + sinw0t1sinw0t2 = 2cosw0( t1-t2) = 2cosw0 a = EZ(t) = 0为
13、常数， Rz(t1、t2) = Rz()是的函数 此随机过程是广义平稳随机过程。,Z(t)=X1cosw0tX2sinw0t,EX1X2 = EX1 EX2 ,X1与X2不相关,3.2 典型随机过程,1. 平稳随机过程2. 高斯随机过程3. 窄带随机过程4. 随机过程通过线性系统,窄带随机过程的定义,所谓“窄带”系统，是指其频谱被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率又远离零频率。,例如随机过程通过以fc为中心频率的带通滤波器后，即是窄带过程。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，信号和噪声都满足“窄带”的假设。,通带宽度ffc，且fc远离零频率,窄带过程的频谱和波形示意,用示
14、波器观察一个实现的波形，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。,ffc，且fc远离零频率,窄带随机过程:(t)=a(t)cosct+(t)(t)=a(t)cos(t)cosct- a(t) sin(t) sinct 令：c(t)=a(t)cos(t) - 称为(t)的同相分量 s(t)=a(t)sin(t) - 称为(t)的正交分量,c(t)及s(t) 也是随机过程，具有低通性质，均属于低通型过程,(t)=c(t)cosct-s(t)sinct,等价式为：,(t)的统计特性由a(t),(t)或c(t),s(t)的统计特性确定.反之,如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)
15、和c(t),s(t)的统计特性。,窄带随机过程的正交表示,a(t)：随机包络，是低频分量(t)：随机相位，是低频分量,同相和正交分量的统计特性,它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。在同一时刻上得到的c(t)和s(t)是互不相关的或统计独立的。,前提条件：针对一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)；结论：,包络和相位的统计特性,包络a(t)的一维分布是瑞利分布：相位(t)的一维分布是在（0，2）内均匀分布；就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即：,前提条件：针对一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t) 结论：,f(a,)=f(a)f(
16、),白噪声功率谱密度在整个频率范围内均匀分布，是一个理想的宽带随机过程。即双边功率谱密度为n0/2：,R()=,P()=,0,0,f,白噪声,说明白噪声在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。,只在=0时才相关0， R()=0,n0为常数，单位：w/Hz(瓦/赫兹),理想化的白噪声在实际中是不存在的，但是，如果噪声的功率谱的频率范围远远大于通信系统的工作频带，可以视为白噪声。在通信系统中，一般把信道噪声近似为白噪声。,一般情况下，接收机的前端是一个带通滤波器。宽带的白噪声经此滤波器后，就成为了窄带白噪声。,经带通滤波器后的窄带白噪声功率为：P=单边功率谱密度的积分= n0 B,BPF的作用：
17、让有用信号通过，滤除带外噪声,窄带白噪声,Pi(),带通滤波器,P0(),BPF,(1)窄带高斯白噪声，“窄带” 、“高斯” 、“白”的含义？答： “窄带”是指其频谱被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率又远离零频率。 “高斯”是指其概率密度函数服从高斯分布。 “白”是指它的功率谱密度在整个频率范围内均匀分布：(2)高斯白噪声n(t)的数学期望为1，方差也为1，求二维概率密度函数,P()=,答：白噪声只有在=0时才相关，即自相关，而在任意两个时刻t1,t2 (t1, t2)上的随机变量都是互不相关的。又是高斯分布统计独立，f(x1,x2;t1,t2)= f(x1, t1)
18、f(x2,t2),思考题：,正弦波加窄带高斯噪声,接收机前端带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。通信系统中最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波： r(t)=A cos(ct+)+n(t),信号部分,正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为广义瑞利分布，也称莱斯分布。,噪声部分n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct,小信噪比时，合成波的包络接近于瑞利分布，相位接近于均匀分布；大信噪比时，包络接近于高斯分布，相位集中在有用信号相位附近。,正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布,(瑞利分布),(高斯分布),3.2 典型随机过程,1. 平稳随机过程2. 高斯随机过程3. 窄带
19、随机过程4. 随机过程通过线性系统,随机过程通过线性系统的一些性质,仅讨论平稳过程通过线性时不变物理可实现系统的情况，针对确知信号。输入过程i(t) ，输出过程o(t)的统计特性：,1、Eo(t),Eo(t)= Ei(t) H(0) = a H(0),2、Ro(t1, t1+)= Ro(),若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。,3、功率谱密度：,4. 概率分布：,如果输入是高斯过程，则系统的输出也是高斯过程。,线性系统H(w),i(t),o(t),如果白噪声被限制在(-fH,fH)之内，则称为带限白噪声。,例如：功率谱密度为n0/2的白噪声ni(t)通过截止频率为fH的理想低
20、通滤波器后，即成为带限白噪声。,带限白噪声,求带限白噪声的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。,输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的， 在此范围外为零。其自相关函数为,= k /2fH时过零点,对带限白噪声按抽样定理抽样，各抽样值是互不相关的随机变量,Pi(w)=n0，H(w)=1 ( |f|fH=1kHz时；f取其他值时，H(w)值为0)P0(w)= Pi(w)| H(w)| 2 = n0/2 ( |f|fH时；f取其他值时，P0(w)值为0)R()=F-1P0(w)=平均功率：P = R(0) = 10-6 Wmy=,例3.2-3单边功率谱密度n0=10-9W/Hz的零均值高斯白噪声，通过截止频率为1kHz的理想低通滤波器，求输出噪声的自相关函数、平均功率、均值、方差和概率密度函数。,
