1、1帮助学生第一部分 在教室中目的教师最重要的任 务 之 一是帮助学生。 这 个 任务并不很简单 ， 它 需要时 间 、 实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可 能 多 的独立工作经验 。 但 是如果让他独自 面 对 问题而得不 到任何帮助或者 帮 助 得不够 。 那么他 很 可 能 没有进步 。 但若 教 师 对 他帮助过多， 那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合 理的工作。如果学生不太能 够 独 立工作 ， 那末教师 也 至少应当使他感 觉 自 己是在独立 工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过 ， 对学 生 的帮 助 最好是顺
2、乎自 然 。 教 师对学生应当设 身 处 地 ， 应当了 解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的 问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。2问题、建议、思维活动 在打算对学生进 行 有 效 、 不显眼 而 又自 然 的帮助时 ，教 师不 免 一而再 ， 再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中， 我们总是问 ： 未 知 数 是 什么 ?我们可以变 换 提 法 ， 以各种不同 的 方 式 提问同一个 问题 ： 求什么 ?你 想 找 到什么 ?你假定求 的 是 什么 ?这类问题的 目 的 是把学生的注 意力集中到未知数上。有时，我们用
3、一条建议：看着未知数，来更为自然地达 到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来，在 与 学 生讨论的问题中 ， 收 集一些典型的有 用 问 题和建 议 ， 并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且 看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解 题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大 小排列的。3普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么 ?已知数是什么 ?条件是什么 ?这些问题都是
4、普遍适用的，对于所有各类问题，我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解 题。事实上 ， 还 存在一 个 限制 ， 不 过 这与论 题 无关 。 表 中 某些问 题 与建议 ， 只 能用于 “求解题 ”而不能用于 “求证题 ”。如果我们的问题属于后者，则必须 采用别的提问方法，见第三部分 “求解题，求证题 ”这一段。4常识我们这张表中的 问 题 与建议是具有普 遍 性 的 ， 但是除去其 普 遍 性以外 ， 它 们也是自然的
5、、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看 着未知数 !试想出 一 个 具有相同未知数 或 类 似未知数的熟悉 的 问 题 ， 这条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告 。 你是不 是 肚 子 饿了 ?如果你希望 搞 点 吃的 ， 你就会想 起 你 所 熟悉的搞到 食物的一些办法 。 你 是 不是有一个几何 作 图 题 ?如果你想作一 个 三 角形 ， 你也会 想起你所熟悉的 一 些 作三角形的办法 。 你 是 否有一个任意的 问 题 ?你若希望找出 某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你
6、这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向 你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有 问 题 与建议都是自然 的 、简单的 、 显 而 易见 的 ， 而且只不 过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法 对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路 行动的人往往不 注 意 用明确的语言来 表 达 其行动 ， 而且他 可 能 根 本不会这样做； 我们这张表却尝试去表达这些。5教师与学生，模仿与实践 当教师向学生提 出 表 中的问题或建议 时 ，他可能有两个目 的 ：第一 ， 帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能
7、力。经验证明 ， 适 当使 用 我们表中的问题 与 建 议 ， 常能对 学 生有 所 裨益 。 此表 有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然， 学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并 非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是 密 切 相关的 。 如果学 生 在 解决手边的问题 中 获 得成功 ， 他 就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而 且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注 意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过
8、反复地 提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功， 他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。学生可能对我们 表 中 的一些问题领会 得 很 好 ， 以致他最终能 够 在恰当的时 刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生 就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师 可以做些什么事呢 ?解题，譬如，就好 象 游泳一样，是一种 实 际技能。当你学习 游 泳时，你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践 (实地练习游泳 )来学 会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为
9、，并 且最后通过实践来学会解题。希望提高学生解 题 能 力的教师 ， 必须 培 养 学生的兴趣 ， 然 后 给 他们提 供 大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些， 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导， 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。6四个阶段主要部分，主要问题在求解过程中 ， 我 们 很可能再三地改 变 我 们的观
10、点 ， 或者 改 变 考虑问 题 的 途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问 题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我 们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。为了把我们表中 的 问 题与建议进行适 当 分 组，我们把工作 分 为 四个阶 段 。 首先 ， 我们 必 须了 解 问题 ； 我们 必 须清 楚 地看到要求的是 什 么 ?其次 ， 我们 必 须 了解各个项之间有怎样的联系 ?未知数和数据之间有什么关系 ?为了得到解题的 思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的 解答，对它进行检查和讨论。上述每一
11、阶段都 有 其 重要性 。 可能会 有 这 样的情况 ： 一个 学 生 想出了 一 个 异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念 头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通 过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并 没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作 出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过 程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已 完成的解答，则可能失去某些最好的效果。7、弄清问题回答一个你尚未 弄 清 的问题是愚蠢的 。
12、 去 做一件你不愿干 的 事 是可悲 的 。 在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级 里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解 出它 。 如果 学 生对 问 题没弄清或不感 兴 趣 ， 这并不是 他 的过错 ， 问题应当精选， 所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙 述方式上也应当自然而有趣。首先 ， 必须 了 解问 题 的文字叙述。教师 在 某种程度上可以 检 查 这一点 ， 他 可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还 应当能够指出问 题 的 主要部分 ， 即未知 数 ， 已
13、知数据 ， 条件 。 所 以 老师提问时， 不要错过这样的问题：未知数是什么 ?已知数据是什么 ?条件是什么 ?学生应该仔细地、 重 复地并且从各个 方 面 来考虑问题的主 要 部 分 。 如 果 问题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果 对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他 就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望 有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还 有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢 ?(在本书第二部分 中 ， 把 “弄清问 题 ”分 成 两个阶段 ： “
14、熟悉 问 题 ”和 “深人理解问题 ”)。8、例子让我们说明上节 中 的 某几点内容。 我 们 选下列简单问题： 已 知长方 体 的长、宽、高，求其对角线长度。为了对此问题作 有 益 的讨论 ， 学生必须 熟 悉毕达哥拉斯定 理 及 其在平面几 何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依 赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使 问 题 具体化而使之有 趣 。如教室就是个长 方 体 ， 其尺 寸 可 以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教 师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联 系而使他画在黑板上的图变得更
15、加形象。以下是老师与学生间的对话： “未知数是什么 ?” “长方体对角线的长度。 ” “已知数是什么 ?” “长方体的长、宽、高。 ”“引入适当的符号，用哪个字母表示未知数 ?” “x”“长、宽、高应选哪些字母 ?” “a， b， c” “联系 a， b， c 与 x 的条件是什么 ?”“x 是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为 a， b， c” “这是个合 理 的 问题吗 ?我意思是 说 ， 条件是否充分 ， 足 以 确 定未知数吗 ?” “是的，是充分的。如果我们知道 a， b， c，我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。 ”9拟定计划当我们知道，或 至 少 大
16、体上知道，为 了 求 解未知数，必须 完 成 哪些计 算 、 要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划，其过 程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题 计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹 豫不决之后，突然闪出了一个 “好念头 ”。老师为学生所能做的最大的好事是 通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题 与建议正是要诱发这样一种好念头。为了弄清学生的 心 理 活动 ， 老师应当 回 想 他自己的经验 ， 回 顾 他自己 在 解题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知 道 ， 如 果
17、我们对该论题知 识 贫 乏 ， 是不容 易 产生 好 念头的 。 如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗 ?困难就在于：通常 有 相当多的问题与 我 们 现在手上的问题 有 关 ， 即 ， 与它 有某种共同之处 。 我 们 怎样挑出其中一
18、个 或 几个确实有用的 问 题 呢 ?我们建议把 力量放在主要的 共 同 之处上 ： 看着未 知 数 !试想起一个具有 相 同 或相似未知数的 熟悉的问题来。如果我们成功地 回 想 起一个与当前问 题 密 切相关的早已解 决 的 问题 ， 那 是 很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这里 有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗 ?上述问题 ， 如能 很 好 地理解和认真地 加 以 考虑 ， 常常有助 于 激 发起一 连 串 正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我 们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得
19、不变 化 、 变 换 、 修改该问 题 。 你能否重 述 这个 问 题 ?我们表中的某 些 问 题提示了改变 问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具 体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。尝试去应用各种 已 知 的问题或定理 ， 考 虑 各种修改 ， 对各 种 辅 助问题 进 行 试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一 个很好的问题可 以 把 我们带回原处 ： 你 是 否 利用了所有的已 知 数 据 ?你是否利用 了整个条件
20、 ?10例子我们回到第 8 节中的例子。“你是否知道一个与此有关的问题 ?” “看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题 ?” “好，未知数是什么 ?”“平行六面体的对角线。 ” “你是否知道任何具有相同未知数的问题 ?” “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题 ” “你是否知道任何具有相似未知数的问题 ?”“你看 ， 对 角 线是 个 线段 ， 就是 直 线的 一 段 。 你从来 没 有解 决 过一个未知 数是直线长度的问题 ?”“当然，我们曾 经 解 决过这样的问题 ， 例 如找出直角三角 形 的 一个边。 ” “好啊 ! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用
21、它吗？ ”“你真走运 ， 你 想 起 了一个与你当前 问 题 有关的问题 ， 而 且 这 个问题 你 以前已经解决了。你愿意利用它吗 ?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素 ?”图 1“看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗 ?”我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路 (即引入一个在图1 中用阴影画出的直角三角形 )。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求 的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使 学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。“你是否想在图 1 中有个三角形 ?” “在图中，你想有哪种三角形 ?”“你现在还不能 求 出
22、 这对角线 ； 但你 说 过 你能求出三角形 的 一 个边 。 那 么现在你该怎么办呢 ?” “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗 ?”经过或多或少的 帮 助 后 ， 学生终于成 功 地 引进了决定性的 辅 助 元素 ， 即 图 中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理 解已有足够的深度。“我想 ， 画 出 那个 三 角形是个好主 意 ， 你 现在有了个三角 形 ，但是你是否有未知数 ?” “未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它 ” “如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗 ?”“一个边已给定，是 c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边
23、是另一个直角三角形的斜边。 ” “很好 !现在我看出你有个计划了。”11实现计划想出一个计划 ， 产 生 一 个求解的念头是 不 容 易的 。 要成功需要 有 许 多条 件 ， 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容 易得多，我们所需要的主要是耐心。计划仅给出一个 一 般 性的大纲 ， 我们必 须 充实细节并耐心 地 检 查每一个细节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。如果学生真的拟 定 出 一个计划 ， 则教 师 就 比较清闲了 。 现 在 的 主要危 险 是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个
24、计划的学 生 ， 很 容易发生这种现 象 ； 但 若是学生自己搞 出 来 的计划 (即便 经过某种帮助 )并 且 学 生满意地看出了 最 终 的思路 ， 则他就 不 那 么 容易忘记 。 教 师必须坚持让学生检查每一步骤。根据 “直观 ”或 “形式 ”上的论证，我 们 可以使自己相信 每 一 步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场 合 ， 直接观察与形式 证 明 二者间的区别是 足 够 明显的 ； 更进一 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧 !)主要之点是 ： 学
25、生 应 当真正地相信每 一 步 骤的正确性 。 在 某 些 情况老 师 可 以强调 “看出来 ”与 “证明 ”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗 ?同时你也能证明这一步骤是正确的吗 ?212例子我们继续第 10 节 末 尾 留下的工作 。 学 生 最 后已经得到了解 题 的 思路 。 他 看 出未知数 x 是直角三角形的斜边，而给定的高度 c 是边长之一，另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择 y 表示另一边， 即 面 上的对角线，其 两 边 为 a 和 b。学生现 在 可 能看得更清楚： 解题的思路就是应该引进一个辅助未
26、知数 y0 最后，陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后，他得到x =y2+c2y2=a2+b2于是消去辅助未知数 y，从而有2 2 2x2=a +b +cx= a 2 b 2 c 2如果学生正确地 进 行 上述细节运算 ， 老 师 没有理由去打断 他 ，除非必 要 时提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：“你能清楚地看出具有三边 x， y， c 的三角形是直角三角形吗 ?”对于这个问题，学 生 可能老老实实回答 ： “是 ”。但是如果老师不满足于学生的直观猜测，他应该继续提问：“但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗 ?” 除非整个班级对 于 立 体几何已经有了 良 好 的起点 ， 否则教师
27、 不 应当提出这个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。13回顾即使是相当好的 学 生 ， 当他得到问题 的 解 答 ， 并且很干净 利 落 地写下 论 证 后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结 果 的 路子 ， 学生们可 以 巩 固 他们的知识和发 展 他 们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个 解答，而
28、且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。现在学生已经完 成 了 他的计划 。 他已 经 写 出了答案 ， 检查 了 每 一步 。 这 样 ， 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的， 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗 ? 你能检验这个论证吗 ?为了确信某个东 西 的 存在或其质量的 好 坏 ， 我们总喜欢去看 看 它 ， 摸摸 它 。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果 确 信 无疑。因此要问 ： 你
29、 能用不同方法来 导 出 这结果吗 ?当然， 我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子 看出它吗 ?教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联 系，和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候，我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自 己 完 成得不错 ， 那末 他 们 将 发现对解答加以 回 顾 确实饶有趣味。 这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次 利用所使用的办法，或者应用所得到
30、的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗 ?14例子在第 12 节， 学 生 最后得到了解答 ： 如 果长方体自同一 角 引 出的三个边为 a，b， c，那末对角线为a 2 b 2 c 2你能检验这个结果吗 ?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答 “是 ”；但如回答 “不是 ”， 这将表明结果中存在严重的缺点。“你是否使用了 所
31、 有 的数据 ?是否所有 数 据 a， b， c 都在你的 对 角 线公 式 中出现 ?”“长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对 a， b， c 来说是对称的 。 你 所 得的公式对 a， b， c 对 称吗 ?当 a， b， c 互 换 时 公式是否保持 不变 ?”“我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸 a， b， c，求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸 a、 b，求矩形的对角线， 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似 ?”“如果高 c 减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中，令 c=0，是否得到矩形对角线的正确公式 ?”“如果高 c 增加，则对角线也增加。你的公式是否表明这点 ?” “如果平行六面体的三个量度 a， b， c 按同一比例增加，则对角线也按同一比例增加。在你的公式中，如将 a， b， c 分别代以 12a， 12b， 12c，则对角线也将乘以 12，是否这样 ?”
