1、感言 一件遗憾的事儿：几乎所有的大学生不知道非欧几何，甚至数学类专业的本科生（包括部分大学数学教师）也是如此。 今天我们试图来弥补这个遗憾，来了解影响和改变世界的非欧几何。,第十章 痛苦的分娩几何学的革命,一、关于第五公设的思考,二、非欧几何的诞生,2.黎曼对非欧几何的贡献,三、非欧几何产生的意义,1.高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的突破性工作,3.几何学的划分,4.非欧几何的模型,5.非欧几何的相容性,6.平行公理的独立性问题,公元前300年产生了欧氏几何，至今每个学生在初中都要学习它，它的影响遍及世界各国。两千多年来，人们一直认为欧几里得几何空间是反映现实世界唯一正确的几何空间。直到18世纪，
2、欧氏几何仍一统天下。到了19世纪20年代，非欧几何的诞生使人们从这一思想中解放了出来。在数学史上，很少有一个分支能像非欧几何那样对人类的认识产生如此深刻的影响。人们常把非欧几何引起的思想变革比作哥白尼的革命。德国伟大数学家希尔伯特说：“19世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。” 非欧几何产生的最早根源在于人们对欧几里得第五公设的研究。,关于第五公设的思考,1,五条公设,公设1. 一点到另外一点作直线是可能的；,五条公设,公设2. 有限直线不断沿直线延长是可能的；,五条公设,公设3. 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的；,五条公设,公设4. 所有直角彼此相等；,B,A,C
3、,D,五条公设,公设5. 如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和 小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。,a,b,a + b 180,1,2,第五条公设等价于平行公理：过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行。,几何原本问世后，第五公设引起了数学家们的极大关注。人们认为作为其基石的五个公理以及五个公设中的前4个公设简单明了，符合亚里士多德关于公理自明性的要求，而唯独第五公设即所谓的平行公理却显得陈述复杂且不够自明，很像一条定理。似乎连欧几里得本人对这一公设也不太满意。这是因为，几何原本第一卷中共48个命题，其中前28个命题的证明，欧几里得都回避了第五公设，只有在第29个命题的证
4、明中才不得不应用了一次，并且这也是整个几何原本唯一的一次应用第五公设。,所以自欧几里得以来，人们总怀疑这一公设本身就是一个定理，只不过欧几里得本人无法证明它才把它当作公设罢了。对于这部千古不朽的巨著这真是白壁之瑕。因此，许多人想尽力洗刷掉这唯一的“污点”。 对于这个问题有三种解决途径： 1.试图通过给出平行线定义以避开这个困难； 2.试图用比平行公理缺点更少的其它公理代替它； 3.用其它9个公理或公设去证明它！,在进行第二项工作的研究中，人们发现了许多与第五公设等价的命题，证明其一便相当于证明了第五公设。比如： 平行公理：过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行； 三角形内角和定理：三角形内角和
5、等于180度。,第三项问题得到的研究最多，人们为此努力了两千多年，花费了无数数学家的心血，但终究没有成功。 虽然此后无数的数学家都曾试图利用其它公设和公理来证明第五公设，但不是论证上有错误就是证明过程中利用了第五公设的等价命题。,历史上第一个给出第五公设证明的是公元2世纪的古希腊数学家托勒密。但他的证明依赖了一个假定：过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已知直线平行。这实际上是和第五公设等价的一个命题。所以托勒密没有由其它公设证明第五公设。后来，由于苏格兰数学家普莱菲尔首先有意识地用它来代替第五公设，故该命题称为“普莱菲尔公设”。这个公设代替第五公设广泛地出现在18世纪的欧氏几何的教科书中，所
6、以使人们误解第五公设的原文就是平行公设。,除此之外，中世纪阿拉伯数学家纳西尔丁试图通过证明等价命题：三角形内角和为两直角。1741年克莱罗试图证明等价命题“如果四边形的三个角是直角，则第四个角也是直角。”1833年勒让德试图证明等价命题“过不共线的三点可作一圆。”但都没有成功。 这些试图直接证明第五公设的做法均告失败。这样，人们就开始逐渐地把注意力转移到间接证法上来。即假设平行公理不成立，力图导出一个矛盾，这样就等于用反证法由其它公设和已知事实证明了平行公理。人们在这个假定下试图找出矛盾，但总未真正找出矛盾。直到19世纪，数学家们才逐渐认识到：第五公设确实独立于其它公设。如果将第五公设替换成相
7、反的某种假设，可以建立与欧氏几何不同的几何体系。,非欧几何的诞生,2,19世纪，德国数学家高斯（Gauss, C. F., 1777-1855）、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（ye . .，1793-1856）和德国数学家黎曼（G. B. Riemann,1826-1866）等人，在用反证法研究第三项问题时，试图推出矛盾，但却没有。即，假设第五公设不成立，结果并不会出现矛盾！ 于是他们顿悟：推翻第五公设！从而导致了非欧几何的产生。,高斯被誉为“非欧几何的先驱”;罗巴切夫斯基被冠以“几何学上的哥白尼”;黎曼是一个极富天分的多产数学家，在他短暂的一生中，他在许多领域写出了许多有名论文，对数学的发展做出
8、了重要贡献，影响了19世纪后半期数学发展，黎曼几何仅是他的成就之一。,1、高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的突破性工作 高斯早在15岁时，就开始思考第五公设。36岁时，他具有了非欧几何的基本思想，确信存在着不同于欧氏几何的另一种几何学。尽管高斯对几何学的本质问题有着深刻的理解，但他一直没有发表过这一思想。原因有两方面： 胆怯。 高斯认为，这种新思想冲击了欧氏几何2000多年的权威，与人们的常识相悖，必然要遭到世人的攻击和嘲笑。高斯深知传统思想的顽固，所以在世人偏见造成的压力下退却了。所以让人感到遗憾的是，这位被誉为“数学王子”的高斯，在有生之年没有能给非欧几何的发展以根本的推动。 过于谨慎。 这是高
9、斯从事数学研究的工作态度。他只有在证明的严密性和文字叙述的简明性方面都达到无懈可击时才肯发表。,德国数学家高斯（Gauss, C. F., 1777-1855）是最早认识到可以否定第五公设的人。,1792年开始思考第五公设问题。1794年，发现非欧几何的一个事实。1799年起，着手建立这一新几何。1824年，高斯又在给朋友的信中写到：,三角形内角和小于180度，这一假设引出一种特殊的、和我们的几何完全不相同的几何。这种几何自身是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。,这一假设相当于把平行公理改换为：,过直线外一点可以做多条直线与之平行,罗巴切夫斯基，出生在俄国喀山一个贫穷的公务员家庭
10、。15岁进入喀山大学学习，由于在数学上取得优异成绩受到教授们的赞赏。所以教授们坚决主张在罗巴切夫斯基大学毕业后授予他硕士学位并留校工作。24岁，罗巴切夫斯基成为该校副教授，30岁晋升为教授，后任喀山大学校长。 1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人罗巴切夫期基。,与高斯的保守和胆怯相比，罗巴切夫斯基则是一个为确立和发展非欧几何始终不渝的战士。,罗巴切夫斯基从1815年开始研究平行公理问题，起初也和大多数人一样，相信平行公理是可以证明的。1823年他开始试图用反证法来证明。他从平行公理的否命题出发，同时保留了欧氏几何的其它
11、公理，按照严格的逻辑推理进行推导，然而矛盾却没有出现，反而得到了一系列重要的结果。罗巴切夫斯基果断地放弃了关于欧氏几何是描述物质空间唯一绝对的几何学的传统观念，大胆提出：由平行公理的否命题出发而得到的结果代表着一种新的几何学，尽管这种几何学中的许多结论是令人惊异和不可思议的，但它本身却是无矛盾的，它可以和欧氏几何一样成立。,学术报告时间：1826年2月23日，地点：喀山大学数学物理系人物：罗巴切夫斯基题目：关于几何原理的扼要叙述及平行线定理的一个严 格证明,1826年2月23日这一天，被后人确定为非欧几何的诞生日，从而宣告欧氏几何一统天下的局面不复存在。这篇论文不仅标志着非欧几何的诞生，引起了
12、几何学的革命，而且也标志着近代数学时期的开始。,在这篇论文中，罗巴切夫斯基首先引用了与第五公设相反的断言：过不在直线上的一点可至少引两条直线与已知直线平行。同时，保留了欧氏几何中除第五公设之外的其它公设，构造了一个逻辑体系。他发现这个体系没有逻辑矛盾，但又与欧氏几何不同，他认为这是一种新的几何学。这是2000多年来思维过程形成的惯性下出现的一次重大突破。,过直线外一点可以作两条直线与之不相交,罗巴切夫斯基的几何,由这一几何体系，可以得到两个结论： 1.第五公设与其它公设在逻辑上是不相关的，即它不能由其它公设推出； 2.除去使这一公设成立的欧氏几何外，还有使这一公设不成立的几何学。 在罗氏几何中
13、，出现了许多在欧氏几何看来纯属异端邪说的结论。如 1.过直线外一点可引无数条平行线平行于已知直线； 2.三角形的内角和小于两直角； 3.不同大小的三角形永远不能相似。,1829年，在喀山通报上，罗巴切夫斯基以几何学原理为题正式发表了他的研究成果，这是世界上第一部公开出版的非欧几何的文献。这一新思想是20世纪相对论产生的前奏和准备。后来的历史证明非欧几何导致的思想解放对现代数学和科学有重要的意义。因为如果没有这一进步，人类就不可能突破感观的局限而深入到自然更深刻的本质中去。 和所有的先知先觉者一样，罗得到的是冷遇和嘲讽。他的新学说没有得到承认。1834年，有人在祖国之子杂志上写文章讥讽说：“为什
14、么不把黑的想象成白的，把圆的想象成方的，把三角形内角和想象成小于两直角，把同一个定积分值想象成既等于 又等于 呢？非常可能，尽管理智是不可能理解这些的。”“为什么不把标题几何学原理写成对几何学的讽刺或几何学漫画呢？”德国著名诗人歌德甚至写了一首诗来嘲笑非欧几何：“有几何兮，名为非欧，自己嘲笑，莫名其妙。”但罗却一直执着地研究非欧几何。,1837年罗写成虚几何学，1840年写出平行线理论的几何研究。直至他去世前，虽然身患重病，双目失明，但仍口述完成泛几何学。遗憾的是，在罗发现非欧几何之后的30年中没能看到对这种几何学的确认。直到他去世12年之后，意大利数学家贝尔特拉米发表了非欧几何解释的尝试，给
15、出了非欧几何在欧氏空间上的模型，这才从理论上消除了人们对非欧几何无矛盾性的怀疑。非欧几何获得学术界的一致承认和赞美。罗被誉为“几何学中的哥白尼”。,几何名称：虚几何学想象几何学泛几何学罗巴切夫斯基几何。,在与罗几乎同时，1823年，匈牙利的J.波尔约也独立发现了非欧几何。他的父亲W.波尔约也曾经研究过第五公设，但没有成果，认为研究这一问题纯粹是浪费时间。所以当他的儿子决心研究这个问题时，老波尔约就忠告他：这是一个可以吞掉几个牛顿式人物而毫无前途的问题，但小波尔约却偏向虎山行，并于21岁时有了新发现。当年，小波尔约的论文关于一个与欧几里得平行公设无关的空间的绝对真实性的学说作为其父亲一部著作向好
16、学青年介绍纯粹数学原理的尝试的附录出版。老波尔约并把该书寄给了好朋友高斯，请他评价儿子的研究成果。,鲍耶的父亲，高斯的同学,高斯回信说，如果从一开始我就说我不能称赞波尔约的工作，那你一定感到奇怪。但我确实不能说别的话，因为称赞他就等于称赞我自己。你儿子所采用的方法和他所得到的结果几乎和我30年前就已开始的研究相符合，我自己永远不想发表，现在你的儿子能把它发表出来，我很高兴。高斯的回信让波尔约很失望，他不相信高斯在他之前就有了同样的发现。他认为高斯剽窃了他的成果，后来他又看到罗在1835年的著作时，也认为罗抄了他1823年出版的附录。这些想法使得年轻的波尔约对数学界失望至极，据说他因此放弃了数学
17、研究而转向了神学。,所以非欧几何的建立，要归功于高斯、罗巴切夫斯基和波尔约。高斯虽然比罗早10年发现非欧几何，但没敢公开发表。所以就发表时间之早、内容之丰富、论证之完整以及对非欧几何忠贞不渝的捍卫来说，高斯和波尔约都无法和罗相比。但令人遗憾的是，三位创始人在世时都没能看到非欧几何得到公众的认可，更没能看到非欧几何对数学产生的深刻影响。30年之后，19世纪中期德国的数学家黎曼又在非欧几何现有的基础上作出了突破。,2、黎曼对非欧几何的贡献 黎曼，高斯晚年的学生。1854年黎曼被聘为哥廷根大学的讲师，在就职演讲中作了关于几何基础的假设的讲演，提出了黎曼几何学。,欧氏几何中，过直线外一点，有且只有一条
18、直线与已知直线平行； 罗氏几何中，过直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行； 黎曼几何中，过直线外一点，没有与已知直线平行的平行线可引。即同一平面上任意两条直线一定相交。 德国的克莱因称罗氏几何为双曲几何，称黎曼几何为椭圆几何。在黎曼几何中，三角形的内角和大于两直角。,1826-1866,在一般的黎曼几何中，黎曼提出了用曲率概念来刻画欧氏几何及各种非欧几何的差异。在黎曼空间中，一般情况下每一点的曲率是不同的，只有在特殊情况下才有恒常的曲率。恒常曲率的空间又分为3种： 1.零曲率空间，即欧氏空间；2.负曲率空间，即罗氏空间；3.正曲率空间，即狭义的黎曼空间。这样，欧氏几何与罗氏几何就成为更一般
19、的黎曼几何的特例。,黎曼的工作蕴含了极为丰富和深刻的思想。可惜他的演讲除了年迈的高斯之外没有人能听懂。后人对黎曼的评价是：黎曼把数学向前推进了几代人的时间。 受相对论的影响，黎曼几何又有了新的发展，成为现代微分几何的基础。,黎曼的球面几何,过直线外一点所作任何直线都与该直线相交,球面上的几何 要真正了解我们的生活空间，仅靠平面几何的知识是不够的。因为我们生活在地球上，地球表面十分接近一个球面，球面几何是黎曼几何的一个数学模型。 1.地球上的赤道和两条不同的经线（大圆）组成的三角形的内角和大于1800 。 2.地面上两点之间最短的路程是大圆的劣弧。 所以要走最短的路程从北京到纽约，按平面几何知识
20、两点之间直线距离最短，但要走直线实际上是不可能的。因为北京和纽约分别在地球的东西半球上，要走直线只能打一个地洞，穿过地球的内部。,3.球面上任意两个大圆都相交。所以如果我们把球面上的大圆看成是直线，那么在球面几何中，任两条直线必相交，所以没有平行的概念。 4.若三对对应内角相等，则球面三角形的面积相等，所以这两三角形必全等。所以球面上没有相似三角形的概念，两个相似的三角形必全等。 5.相对于半径，很小的一片球面可看作一个平面，即在小范围内平面几何知识成立。当球面半径无限增大，球面几何中的正余弦定理能推出平面几何中的相应公式。,3、几何学的划分 由关联公理、合同公理、顺序公理和连续公理构成的几何
21、称为绝对几何，加入了欧氏平行公理后的几何称为欧氏几何；加入了罗氏平行公理后的几何称为罗氏几何；加入了黎曼平行公理后的几何便称为黎曼几何。后两种皆称为非欧几何。 绝对几何 欧氏几何 罗氏几何 黎曼几何,4、非欧几何的模型 用单位圆的内部|z|1表示整个非欧平面，圆内的点称为非欧点，圆周|z|=1上的点都是无穷远点。当圆内的弦与圆周交于点A和B时，A、B是这一弦的两无穷远点。所以弦就具有一般直线的性质，即它从两端伸向无穷远处，所以可以把AB称为非欧直线。过AB外一点P可作无穷多条直线与AB平行，如CD、EF。,P,A,B,C,D,F,E,5、非欧几何的相容性 自从人们在欧氏几何中找到了非欧几何的模
22、型，有关非欧几何的命题都可以通过欧氏几何来证明。所以只要欧氏几何相容，那么非欧几何就相容。同样，人们在非欧几何中找到了欧氏几何的模型，所以只要非欧几何相容，欧氏几何就相容。这就是相对相容性。欧氏几何的相容性问题最后可转化为算术公理系统的相容性，所以只要算术公理系统相容，几何的相容性问题就解决了。这一问题被希尔伯特列为著名的23个问题中的第二个问题，足以看出它是特别困难的问题。,6、平行公理的独立性问题 用1，2，3，4分别代表关联公理、合同公理、顺序公理和连续公理。由1，2，3，4构成的几何为绝对几何，再加上欧氏平行公理5构成欧氏几何公理系统S:1，2，3，4，5。记罗氏平行公理为5*。由1，
23、2，3，4，5*构成非欧几何公理系统S*： 1，2，3，4，5* 。下证5在S中独立， 5* 在S*中独立。 证明： （反证法） S与S*都相容。假设5在S中不独立，即由1，2，3，4能推出5。 因为S*中也有1，2，3，4，所以在S*中也可由1， 2，3，4推出5。 但S*中已有5* ，这表明S*不相容。 这一矛盾表明，5在S中不独立是不可能的。 同理可证， 5*在S*中独立。,非欧几何产生的重大意义,3,非欧几何的出现，使数学有了更大的自由。在非欧几何建立之前，尽管数学已经得到了很大的发展，但主要是一种“积累性”的发展，并没有出现两种互不相容的理论同时出现，这很容易使人把数学看作一种绝对真
24、理。从数学发展史来看，这种情况由于非欧几何的建立而得到根本性的变化。,非欧几何的产生具有以下5方面的重大意义： 1.解决了长期悬而未决的平行公理的独立性问题，同时极大推动了关于公理体系的独立性、相容性和完备性问题的研究，促成了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成和发展，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象的空间，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。,1899年，希尔伯特提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性:从系统的公理出发不能推出矛盾;独立性:系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论;完备性:系统中所有的定理都可由该系
25、统的公理推出。,希尔伯特(德, 1862-1943),在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几种非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。,在其它科学中，比如经济学、社会学等，人们也希望用公理化方法建立自己的科学体系。 经济学中的谢卜勒 (Shapley) 公平三原则： 原则1：同工同酬原则。 原则2：不劳不得原则。 原则3：多劳多得原则。,2.非欧几何的产生证明了对公理方法本身的研究和讨论是极有意义的，证明了公理方法本身能推动数学的发展。 自非欧几何学产生以来，整个数学领域掀起了公理化运动，各个数学分支纷纷建
26、立起自己的公理体系，被认为最不容易建立在公理体系之上的概率论在20世纪30年代也建立了公理系统。,3.非欧几何的创立为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具。 非欧几何思想使人类思维从直接经验的狭小范围中解放出来，激起了人们关于现实空间可能具有非欧几何性质的大胆想法。1915年爱因斯坦在创建广义相对论的过程中，因为缺乏必要的数学工具长期未能取得根本性的突破。当他的好友德国的数学家格伯斯曼帮他掌握了黎曼几何和张量分析后，爱因斯坦才创立了广义相对论，完成了物理学中的一场革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位。 按照相对论的观点，宇宙中的几何学不是欧氏几何，而是接近于非欧几何，所以采用非欧
27、几何来作为宇宙的几何模型。以非欧几何为数学框架创立相对论这一事实也正实现了罗巴切夫斯基的预言：任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天会在现实世界中找到它的应用。,4.使数学哲学的研究进入了崭新的历史时期。 数学家们开始认识到数学并非是绝对的真理，数学的本质在于其自由性。感性直观并不能作为数学的依据，只有合乎逻辑的正确思维结果才是正确的，即使它与感性直观相矛盾。同时也动摇了公理是自明的这一传统见解。 5.非欧几何与相对论的汇合再一次说明了数学具有广泛的应用性。 深奥抽象的数学理论最后几乎总无例外的在科学中得到应用。在非欧几何创立之后的几十年中，都看不到它与物质世界的任何联系。大多数数学家认为
28、非欧几何只是逻辑上的珍奇瑰宝，谁也未曾想到，爱因斯坦利用非欧几何的理论说明了他关于引力的基本思想建立了相对论。爱因斯坦的广义相对论将牛顿的引力理论视为曲率很小的时空所产生的极限情形。由此可知，非欧几何不仅与物质世界有关联，而且比欧氏几何更深刻地揭示了物质空间。,回顾历史，人们在几何公理系统2000多年的探讨中，可以说经历了一个颇为壮观的戏剧性变化，大致可分为以下6个阶段： 1.建立欧氏公理系统并加以逐步完善； 在欧氏公理系统建立后不久，阿基米德就看出它缺少严格表述有关长度、面积和体积的测量理论，于是补充了度量公理。1899年，希尔伯特的几何基础是继欧几里得几何原本最完备的公理系统。 2.长期探
29、讨平行公理的独立性问题； 3.在独立性问题探讨的过程中，产生了新的几何（非欧几何）； 4.对非欧几何强烈地怀疑其相容性；,结束语,5.由于在欧氏几何中找到了非欧几何的模型，以及在非欧几何中找到了欧氏几何的模型，发现了欧氏几何与非欧几何的相容性是相对的； 6.在相对相容性成立的条件下，证明欧氏几何与非欧几何中相应的平行公理都独立。,M.克莱因在古今数学思想中说：“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一座令人肃然起敬的颠峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。” 高斯（17771855），是18、19世纪之交最伟大的数学家、物理学家和天文学家，
30、近代数学的奠基人之一。在历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，被誉为“数学王子”。他的形象已经成为数学告别过去，走向现代数学的象征。,高斯,高斯出生于德国的不伦瑞克。祖父是农民，父母也没有受过正规的教育。父亲除了从事园艺的工作外，还当过各种各样的杂工，如护堤员、建筑工等。他的第一个妻子和他生活了10多年后因病去世，没有孩子，后来又娶了高斯的母亲。高斯的母亲在34岁时才结婚，35岁生下了高斯。她是一名石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟。高斯的这个舅舅，心灵手巧，是当地有名的织绸高手。他是高斯的启蒙老师，对幼年的高斯影响很大。一有机会，就教育他，并传授给他一些知识。而高斯的父亲却认为只有靠力气才
31、能挣钱，学问对穷人没有用，所以他想让高斯和他一起做园丁或泥瓦匠。,高斯的舅舅经常劝姐夫让高斯向学者的方向发展。高斯的母亲对他的成长也起了重要作用，她有效地保护和支持了高斯的自由发展。在高斯童年的时候，他对一切现象和事物好奇，决心弄个水落石出。为此，高斯的父亲经常训斥高斯，但母亲站在高斯的一边，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得和他一样无知。 高斯3岁时就显示出了数学才能。据说有一天，父亲在计算工人们一周的薪水，他在旁边观看。父亲喃喃地计数，最后还长叹一声表示总算把钱数算完了。当父亲准备记下钱数时，身边传来了高斯微小的声音：爸爸算错了，钱数应该是。父亲惊讶地说不出话，就又算了一次。果然是小高斯算对了
32、。奇怪的是，平常没有人教过高斯计算，高斯通过自己的观察竟学会了计算。,高斯7岁上学。10岁时，有一次，算术老师让全班同学计算123.100？高斯没有象其他同学一样急着相加，而是仔细地观察思考。他发现：1100101，299101，5051101。所以老师刚写完这个问题不久，高斯就在小石板上写出了答案5050，而其他学生直算到头昏脑涨，仍然没有算出来。10岁的高斯表现出了超群的数学思维能力。高斯的计算能力和他那独到的数学方法和非同一般的创造力，使得老师刮目相看。,高斯的这位算术老师本来对学生的态度不好，他常常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。现在发现了神童，他很高兴。但很快他就感到惭愧，因为他觉
33、得自己懂得数学不多，不能对高斯有什么帮助。他就去城里自己花钱买了一本最好的数学书送给了高斯，并感叹说：“他已经超过了我，我已经没有什么可以教给他了。”高斯便与老师的助手一位富有数学天才的好学青年巴特尔斯一起研究学习数学，后来巴特尔斯也成为数学家，主持俄国喀山大学的数学讲座。 11岁时，高斯发现了二项式定理的一般情形，他还注意到无穷的问题。,有一天，在回家的路上，高斯一边走一边全神贯注的看书，不知不觉走进了布伦兹维克公爵的花园。公爵夫人看到这个小孩那么喜欢读书，就和他聊天。她发现原来高斯完全明白他读的深奥的书中的内容。公爵夫人就把这件事告诉了公爵，公爵也曾听说在他管辖的领地有一个非常聪明的小孩。
34、于是他派人把高斯叫到了庄园。公爵很喜欢这个害羞的孩子，也赏识他的才能。于是决定给这个朴实、聪明但家境贫寒的学生提供经济援助，让高斯有机会接受高等教育。公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究和科学研究社会化的转变时期。,在公爵的帮助下，15岁的高斯进入了当地一所著名的学院。在那里他学习古代和现代语言，同时也开始学习高等数学。他专心阅读了牛顿、欧拉、拉格朗日等欧洲著名数学家的著作。他对牛顿特别钦佩，并很快掌握了牛顿的微积分。 1795年10月，公爵又为18
35、岁的高斯支付各种费用，让他去哥廷根大学学习。哥廷根大学是德国也是全世界的数学中心，学术风气浓厚，有大量的数学藏书，许多外国学生来到这里学习语言、神学、法律和医学。这时高斯不知道要读数学系还是语言系，尽管这一年他发明了最小二乘法。因为从实用的观点来看，当时学数学不容易找工作。然而，他在数学上的一个发现，使他决定要把自己的一生都献给数学。这个发现就是著名的尺规作图问题。,上初中时我们就知道，几何尺规作图所使用的工具是有严格限制的。只准用圆规和直尺，并且直尺不能有刻度，也不能用量角器和其它工具。实际上，这种限制来自古希腊并且沿用至今。为什么要加上这样的限制呢？比如要找一个线段的中点，先用有刻度的尺子
36、去量，看这个线段的长度是多少，再量线段长度的一半就找出中点了。为什么一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？,古希腊人认为，所有的几何图形都是由直线段和圆弧构成的。圆是最完美的图形。他们确信仅靠直尺和圆规就可作出图形来。古希腊人讲究理性思维，讲究精确和严谨。他们认为依据从少数假定出发经由逻辑把握的东西最可靠。比如求已知线段AB的中点问题，作图的步骤为：1、以A为圆心，以一适当长度为半径画弧。2、以B为圆心，以同样长度为半径画弧。3、两弧相交于两点，作两点的连线，此连线与已知直线的交点即为所求中点。然后，再根据已知的几何命题来证明这个点是中点。人们认为，这不仅是可靠的找到了中点，而且体现了一种完美的
37、思路和做法。,数学家们对正多边形的尺规作图很感兴趣。正三角形、正四边形、正六边形很好作，正五边形难作一点，但人们也找到了正五边形的尺规作图方法。那么，正七边形的尺规作图如何作？很久没找到作正七边形的方法说明正七边形不容易作，同时一直没有找到这种作法也使人怀疑：究竟能否用尺规作出正七边形来？在数学上不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法，就断言它不能用尺规作出。 人们迅速解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了。究竟能不能作出得不到答案。这个问题就这样一直悬而未决了2000多年。,17世纪的法国业余数学家费马，他研究了形如 的数。费马猜测 都是素数。
38、对于 时，易算出相应的,经过验证，这五个数的确是素数，那 是否也是素数呢？仅这一个问题，差不多100年之后才有了一个结论：伟大的欧拉发现它竟不是素数。所以费马的猜想是错的。,这个例子也说明了判断一个较大的数是否为素数决不是一件简单的事。不然，为何要等一百年且需要欧拉这样的人来解决？,更奇怪的是，不仅 不是素数， 也不是。 等还不是。甚至，对 也能判断出它不是素数。所以至今，人们只知道 这五个数是素数。除此之外，没有发现其它素数，所以人们就产生了一个与费马猜想大相径庭的猜想：形如 的素数只有有限个。但对此并未能证明。,形如 的素数被称为费马素数。由于素数分解的困难，不仅对形如 的素数是否只有有限
39、个的一般结论很难作出，而且具体分解某个 也不是一件简单的事。,更令人惊奇的事发生在距欧拉发现 不是素数之后的60多年，高斯发现：当正多边形的边数是费马素数时，可以尺规作图。他还得出了更一般的结论：正n多边形可尺规作图,回头来看，正7边形能否尺规作图呢？不能，因为7是素数，但不是费马素数。正17边形可以尺规作图，高斯在18岁时作出了正17边形。他本人对此颇为欣赏。当他带着正17边形可尺规作图的证明去找哥廷根大学的数学教授卡斯特勒时，卡不相信。但高斯很自信，请求卡看看他的证明，但卡只想从高斯的证明中找出错误，但高斯仍坚定了从事数学的信心。本来还在语言学和数学之间犹豫的他，就毅然选择了数学，并且希望
40、去世后，在他的墓碑上刻一个正17边形，以纪念他一生中第一个重要的发现。果然在他去世后，哥廷根大学为他建立一个以正17棱柱为底座的纪念像。,根据高斯的发现，一位哥廷根大学的教授又作出了正257边形。就这样，一个悬而未决2000多年的古老的几何问题得到了圆满的解决。而这一问题的解决过程竟与一个没有猜对的猜想有关。 高斯的理论使我们知道，正3、5边形为什么能够尺规作图。因为3、5都是费马素数。对于正7、11、13边形，我们可以有把握地说它们不能尺规作图。因为7、11、13都不是费马素数。对于正257、65537边形，虽然我们不知道如何具体作，但理论上它们是可以尺规作图的。那为什么正4、6边形可以尺规
41、作图呢？因为,在高斯发现关于正多边形结果的那天起，他就开始写他那本著名的数学日记，这本日记中记载了他的许多数学发现和想法。直到高斯死后43年，人们才发现了这本日记。日记中的所有想法除两条外，人们都已弄清楚了，包括非欧几何和非交换代数的思想、椭圆函数的双周期性等。仅其中的一条，如果高斯发表了，就会赢得数学上的荣誉，但高斯从没有发表过它。因为高斯是一位至善论者，像牛顿那样，他绝不随便发表他的著作。因为他想让它们变得更优美、更完善。他认为，一个大教堂在没有去掉脚手架之前不能算是一个大教堂。所以他发表的论文都要达到严谨、完整、简明、优美和令人信服。他坚守着自己的格言： 宁肯少些，但要好些。,1799年
42、，高斯呈上了他的博士论文，论文中证明了代数上的一个重要定理，即代数基本定理：n次代数方程在复数域内都有n个根。这一定理在20世纪前的代数领域具有核心作用，因而被称为代数基本定理。他的存在性证明开创了数学研究的新途径。实际上，在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯是第一个给出严密无误的证明的数学家。高斯认为这个定理很重要，在他的一生中给出了4个不同的证明。 高斯没有钱印刷长篇的博士论文，幸好公爵又一次援助了他，给他钱印刷。虽然他的博士论文顺利通过了，被授予了博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有吸引住学生，所以只好回老家。正当他为自己的前途生计担忧而病倒
43、时，公爵又送给他一幢公寓，负担了高斯所有的生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。,1807年，高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。洪堡等人的努力，不仅使高斯一家人有了舒适的生活环境，使高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立及德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的良好开端。,1806年，公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时，不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝了很长时间，对法国人有一种深深的敌意。资助人去世了，高斯必须找一份合适的工作来维持一家人的生计。德国著名学者洪堡为高斯争取到了哥廷根大学数学和天文学教授及哥廷根天文台台长的职位。,高斯在许多数学领
44、域都有重大的贡献。有人说：“在数学世界里，高斯处处流芳。” 1.他是非欧几何的发现者之一。 关于非欧几何的思想，在高斯的日记中早有记载。1816年，他在一封信中透露了他关于欧氏几何的一些想法。他说，假如欧氏几何不是唯一的几何学，就还有另外一种在逻辑上同样严格的几何学，但这一成果高斯从未发表过。,3.在复变函数中，他先后引入了复数、复平面等概念，给出了复数的几何解释，所以后人将复平面称为高斯平面。他消除了数学家对虚数是否存在的疑虑，提出用i表示虚数单位，并利用平面向量与复数间的一一对应关系，奠定了向量分析的方向。,2.在数论方面 1801年，24岁的高斯出版了名著算术研究，开辟了数论研究的新时代
45、。这使高斯立即跻身于一流数学家之列。原书共有8章，由于钱不够只印了7章。在这本书中，第一次介绍了同余的概念、代数数及型的理论。这本书不仅标志着现代数论的开始，而且还确定了现代数论的研究方向。 数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。高斯认为：数学是科学之王，数论是数学之王。,4.1812年高斯发表关于超几何级数的研究，这在数学物理中是十分重要的一类特殊函数。 5.微分几何的开创者。 现代微分几何大师陈省身证明过高维的高斯邦内公式。50岁那年，高斯亲自参加野外实地测量，建立了关于曲面研究的系统理论，发表了论文关于曲面的一般研究，开创了微分几何的先河。后来黎曼又进一步发展了高斯的曲面理论。
46、现在我们学的微分几何中有大部分的成果源于高斯的发现。 6.椭圆函数论和统计数学 他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。,高斯的工作态度 高斯工作时专心一致。 他很爱他的妻子，曾花了2年的时间写信追求他，但不幸的是他们结婚4年后妻子就病死了，留下了3个孩子。据说在妻子病重时，高斯正在研究数学。仆人匆匆忙忙跑过来告诉他，夫人病得愈来愈严重了。高斯好像听到了，可是他却继续工作。过了不久，仆人又跑过来说，夫人病得很重，要求高斯立即去看看。高斯回答说：“我就来。”可是仍坐在那里沉思。仆人第三次跑过来通知高斯，“夫人快死了，如果您不马上过去，就见不到她最
47、后一面了。”高斯抬起头，回答说“叫她等一下，我马上过去。”,这种心无旁骛的工作精神，常人少见。妻子的去世给他很大打击，幸好，他又娶了妻子的好朋友，后妻对3个孩子很爱护，也明白高斯工作的重要性。,高斯对自己的工作精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。许多数学家劝他不要太认真，把想法写下来发表对数学的促进是很有帮助的。但他要让他的工作无暇的出现在众人面前。所以他对待科学的态度始终是谨慎的。他在求解数学问题时，都有充分的理论依据，最后才得出结论。他一生只发表了155篇论文，大量的著作没有发表。但奇怪的是，高斯的论文中从不详细写明思路，人们很难理解他的数学思想。对他的评价是：这个人象狐狸似的，把沙土上留下的足迹用尾巴全部扫掉。 美国著名数学家贝尔在所著的数学工作者一书中曾经这样评价高斯：“在高斯死后，人们才知道他早就预见了19世纪的一些数学。如果他能把他所知道的一些东西泄漏出来，很可能现在的数学早比目前还要先进半个世纪或更多时间。阿贝尔和雅可比可以从高斯停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西，而那些非欧几何的创造者，可以把他们的天才用到其它的方面去。”,
