1、,第二篇 数学物理方程,本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法和行波法.特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程,数学物理思想,数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程,数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.,从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系,根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.,不同
2、出发点,正向问题，即为已知源求场,逆向问题，即为已知场求源.,前者是经典数学物理所讨论的主要内容. 后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容,多数为二阶线性偏微分方程,振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程,热传导问题和扩散问题满足热传导方程,静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程,数学物理方程的类型和所描述的物理规律,三类典型的数学物理方程,三类典型的数学物理方程,退化为拉普拉斯方程,分离变量法,偏微分方程,标准的常微分方程,标准解，即为各类特殊函数,三类数学物理方程的一种最常用解法,第九章 数学建模-数学物理定解问题,9.1 数学建模-波动方程类型的建立,具有波动方程
3、的数理方程的建立,定解条件,传输线方程,9.1.1波动方程的建立,1. 弦的微小横振动,考察一根长为,且两端固定、水平拉紧的弦,讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题要确定弦的运动方程，需要明确：,确定弦的运动方程,（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.,（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）,要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移,注意： 物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点,（9.1.1）,(9.1.2),
4、注意到:,故由图9.11得,这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为,因此在微小横振动条件下，可得出,故有,(9.1.5),(9.1.6),即为,（9.1.7）,上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程,其中,讨论：,（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的重力加速度项可以忽略由此得到下列齐次偏微分方程：,（9.1.8）,称式（9.1.8）为弦的自由振动方程,(9.1.9),处单位质量上的横向外力,式（9.1.9）称为弦的受迫振动方程.,2、 均匀杆的纵振动,段的运动方程为,（9.1.10）,可得,（9.1.11）,这就是杆的纵振动方程,讨论,（9.12）,其中
5、,这与弦振动方程（9.8）具有完全相同的形式,3. 传输线方程（电报方程）,（9.1.13）,同理可得：,(9.1.14),式（9.1.13）及（9.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）,(1)无失真线,(9.1.15),其中,(2)无损耗线,（9.1.16）,(9.1.17),具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同,(3)无漏导，无电感线,（9.1.18）,(9.1.19),它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同,9.1.2 波动方程的定解条件,定解条件：初始条件和边界条件,1.初始条件,波动方程的初始条件通常是,（9.1.2
6、2）,，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。,【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有,初始位移如图所示,2.边界条件,常见的线性边界条件分为三类：,第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的数值,第二类边界条件,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值,（9.1.23）,（9.1.24）,第三类边界条件,规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值,（9.1.25）,9.2 数学建模热传导方程类型的建立,9.2.1数学物理方程热传导类型方程的建立,1.热传导方程,推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里
7、叶定律：,热传导的傅里叶定律：,（9.2.1）,图9.8,取直角坐标系Oxyz, 如图9.8,表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度,在dt 时间内通过ABCD面流入的热量为,则根据能量守恒定律得热平衡方程,或写成,(9.2.2),2. 扩散方程,(9.2.3),其中,将一维推广到三维，即得到,(9.2.4),上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式,若外界有扩散源，且扩散源的强度为,这时，扩散方程应为,（9.2.5）,从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述.,9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件,1 初始条件,热传导方程的初始条件一般为,（
8、9.2.6）,2 边界条件,(9.2.7),直接给出函数u 在边界上的数值,所以是第一类边界条件.,2. 第二类,设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为,.,如图9.10所示.,图9.10,所以当,由热平衡方程给出:,(9.2.8),3. 第三类,根据牛顿冷却定律: 单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比, 即,为常数,与推导条件(9.2.11)相似,此时可得边界条件,(9.2.9),其中,9.3 数学建模稳定场方程类型的建立,9.3.1 数学建模稳定场方程类型的建立,1 静电场的电势方程,直角坐标系中泊松方程为,(9.3.1),(9.3.2),称这个方程为拉
9、普拉斯方程.,2. 稳定温度分布,导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化,故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程（9.2.1)，(9.2.2) 即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.,(9.3.3),(9.3.4),9.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件,泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件,而只有边界条件.,边界条件分为三类:,2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件,3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.,第一、二、三类边界条件可以统一地写成,(9.3.5),为常数，它们不同时为零,9.4 数学物理定解理论,9.4.1
10、定解条件和定解问题的提法,边界条件的类型,除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件之外，还有其它边界条件，如自然边界条件，衔接条件, 周期性条件和无边界条件,9.4.2 数学物理定解问题的适定性,(1) 解的存在性,看所归结出来的定解问题是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一个解,(3) 解的稳定性,当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量,定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.,9.4.3 数学物理定解问题的求解方法,1.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法； 5.积分变换法；6.保角变换法； 7.变分法；8.计算机仿真解法；9.数值计算法,9.5 本章典型综合实例,【解】 （1）确定泛定方程：,弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程,(2)确定边界条件,对于弦的固定端，显然有,另一端自由，意味着其张力为零故由式（9.1.39），则,(3)确定初始条件,初始速度,综上讨论，故定解问题为,本章综合习题,计算机仿真编程实践,
