1、微积分是算术作为关于高的故事（以 表示）9.0林群（linq ）http:/ ） 。第0.9二，故事后面的展开，需要代数（符号、方程与运算） 。目录第 1 集 大众微积分第 2 集 中学微积分第 3 集 多项式微积分第 4 集 非多项式=多项式+第 5 集 非多项式微积分（补遗）第 6 集 展开式与函数的算法第 1 集 大众微积分主要内容1.多项式简介 多项式易理解，易计算，易预测2.世界由多种函数构成 任意函数难理解，难计算，难预测3.所有函数可以转换为多项式来计算4.主角“高”亮相：树高与山高1. 我们最早接触的数学恐怕是数字 1,2,3，以及它们的运算 。大家对于+， ，类似于 这样的式
2、子不会陌生。现在让我们看一组式子：21+4-3+3， ， ， 324+563277发现它们有一个共同的特点，就是把 中的 换为 2,4,7 即可。我+456xx们发现类似于 的多项式函数既容易理解也容易计算。但是，世界32+456x是丰富多彩的，生活中充满了各种各样的函数。2. 世界好像起伏不平的山坡，有变化的斜坡、峰与谷、高与低。如何用数字刻画它们？数字世界首先需要函数。根据 Strang 的演讲26：“对于增长运动，有幂函数 ，2,x：3,nx抛物线 （见附录 3）2x如果想要速度增长很快，还有指数函数 ： e利息 繁殖（见附录 3）相反，减少足够快的则是 ：xe项链，晒衣绳或吊桥（见附录
3、 3）2xe当我们看到了振动，物体来来回回，物体上上下下，比如钟摆，圆周运动，心跳，呼吸，地球的公转，很多运动都是这种重复运动：于是三角函数 与 就派上用场了。 ” 张景中 28李大潜27 还讲到了对sinxco数函数 的途径：l兀鹰捕食的路径（见附录 3）3. 但是这样的函数，如 ，不是多项式，又怎么计算呢？不用担心，sin,lxe它们都可以转化为多项式来计算。欲知详情，有知情权或话语权，必须学习高等算术，或微积分。微积分含有微分与积分， 简单的理解，它们是曲线的高，或仔细说，有小高（微分）与全高（积分）：这一理解，感受到微积分是求高，来自一根导火线，或一个故事。4. 树高与山高 一天我散步
4、在一棵古树下，听游客争论如何测树高，有人说只有砍树才行，要砍树么？我学过初中三角，意识到一个经济的方法是利用一个直角三角形,不必砍树（谁说数学不中用）！人民日报(1997.08.06) =小 高斜 率 小 底我突发奇想：当问题变复杂，例如遇到测山高，我们将面临一个曲边山坡，怎么办？还能不能利用直角三角形求高呢？有一张图，将曲边三角形分割为直边三角形：光明日报 (1997.06.27) 张景中（30 图 16-2，称林群模型）（也参考注 7 后的图）后者称为“微分三角形” （黑色） ，它跟山坡相切或靠的尽量近的。它的高简称微分。图中还有一小缝（否则山坡是直的） ，于是，山坡小高=微分+小缝，而山
5、坡全高= 微分的和+小缝的和 （1-1）或微分的和= 全高 小缝的和 （1-2）那么，能不能计算小缝以及它们的和呢？举例：当山坡是在区间0,1的抛物线，由计算得到（或见第二集） ，小缝的和就等于剖分的尺寸。那么，当后者相继取 0.1，0.01,0.001，前者也就相继取到 0.1,0.01,0.001，。因全高=1 ，那么（ 1-2）的右边变成 ，所以左边也变成 ：0.9A0.9A微分的和=求出了（只要不断地加 9）！这时左边（即无限小数的无限多和）按传统的记号，记为积分。谁想得到这个积分即循环小数？如果承认 ，我们便说0.1A积分=全高 小缝的和消失了，曲直合一，称为微积分的基本公式。谁想得
6、到这个公式即 ？0.91A到此我们只用了一张示意图（剖分为“微分三角形” ）以及一个循环小数（） ，无需令人烦恼的符号与计算，可称大众（甚至儿童）微积分。这便是全0.9A书的思想，要渗透血液，进入基因。剩下只是对更多曲线（如 ）精确计算小缝的和，验证它也能取到小数3,.nx0.1, 0.01, 0.001。但这时只用图形与文字解说已经不够了，还需要代数（记号，方程与运算） 。（1-1 ）是求高的公式， （1-2）变为求和的公式，后者将给出多项式曲线下的面积。5. 简史传统微积分课本，积分求面积，微分求切线 前者一团，后者一条，它们是不同的测量单位。它们的统一很费事（需要众多准备知识与人工技巧）
7、 。如今（或早先的书 ）积分作为全高，微分改写63或成小高，两者都是一条（长或短） ，同一的测量单位，自动统一。换言之，如今只需要一个改写程序，它便是贯穿全书的普适生产线。此外，传统课本惯用 方法（不等式） ，它是处理一般函数的存在性方法。相反，我们采用循环小数（等式） ，构造性的方法，来构造多项式（最重要的函数类）微积分。注意 新近，张景中2430提出了一个不等式，他别出心裁，开辟新路，轻巧揭开了微积分的基本理论与丰富的应用。相形之下，本书偏重于数字化（即两个展开式） ，只有一碗水。读者阅读本书时，别忘了2430，还有杨玮琦31Range32项武义33，他们有一桶水。本书路线图 先把 的微积
8、分算好，再搬到 。 2xnx第 2 集 中学微积分剧情 如何计算 的小高与全高？2虽然我们要把公式减到最少，但至少需要下面这个中学公式：(2-1) 1. 小高取山坡为抛物线， ，作为微积分的雏形。如何计算 在子区间2x 2x的小高？需要代数（符号，方程与运算）！x,+h山坡在点 的高等于 ,在另一点 的高等于 ，两者的差xh()h就是山坡在 的小高：对给定 与任一x,+hxh（2-2）22()x或当 ，变为0h（2-2()hxh3）右边分解为两部分，其中常数， ，称为 在点 的导数，记2x2x（2-()22()uvuv4）实际上，若 ，取 - -0.001,，则（2-3）的右边变为0x.1,h
9、0,（这里假设 是整数，否则还要加上非整数部分），所以左边也变成 (21).9A2: 2()(1).9xhx求出了（只要不断地加 9）！这时左边（有无限小的除数）按传统的记号，记为导数 。2()x谁能想到这个导数即循环小数？如果承认 ,我们便说 。0.1A2()x谁能想到这个公式即 ？0.91A习题 当 ，取 0.001,，则（2-3）的右边变为x0.1,h（这里假设 是整数，否则还要加上非整数部分），所以左边也变成(2).9A2。1当 时， （2-3）右边取什么？0x由于小高 = 2xh先把小缝 作为小缝，构造 “微分三角形”:2h剩下 ，便作为微分。这样的 “微分三角形 ”与山坡相切或靠的
10、最近。2xh延伸 既然导数很有用，我们能不能求出更多函数，例如函数 的导数？提2x示：模仿（2-2） ， 在 的小高2x,+h()20x常数 2, 称为 在点 的导数, 记类似有常数 C 的导数 : 。还可求高阶导数： 的二阶导数通过一阶导数0 2x来计算(2-5)2)()22xx三阶导数通过二阶导数来计算 0(222. 小高与微分（2-2） （2-4 ） （2-5）合成微分展开式：在子区间 x,+h（2-22()()2xhxh6）其中 与 又称 的 1 阶与 2 阶微分。于是小高（与小缝）改写成微分。()2xh2)2这是中学等式， （2-2） ，的改写，可推广为大学微分展开式：函数 的)(x
11、f变化, , 是自变量的变化 ， ，的多项式()(ffxh()()()2ffxfhx它说的是一个故事在未来的展开， ,由现状 , 和 决定。f)(xf算命甚或过去（ ）也能复原。0h由（2-6 ）反过来，把 1 阶与 2 阶微分相继替代为小高（2-22()()hxhx 7） （2-8） 2()()结果(2-9)22()2hxhxx即微分改写成小高。结论 小高与微分相互转换。（2-7 ） （2-8） （2-9）把微分改写成小高，这就是贯穿全书的改写程序！3. 全高设全区间 由各个子区间， ，组成。 a,bx,h有了（2-9 ）在每一子区间，它们的和,记 ，即在全区间的全高: (2-10)22()
12、2hxhba此即化整（在 ）为零（在 ），再由零，（2-9），到整（2-10）。a,b,若 ， , 有1021xh当 0.001,则右边变成 ，所以左边也变成 ：.,h0.9A0.9A2x求出了（只要不断地加 9）！这时左边按传统的记号，记为积分, 。120dx谁能想到这个积分即循环小数？如果承认 ,我们便说 。0.1A120dx谁能想到这个公式即 ？0.91A一般，对(2-10),我们也能取 （即 的十等分,百.,hba ba等分，千等分，），能够得到这个数 （假设 是整数，2().A2否则还要加上非整数部分），求出了（只要不断地加 9）！如果承认 ，0.91A我们便说(2-11)22 db
13、axa谁能想到这个公式即 ？0.91A注 1 (唯一性) 我们认为当 充分小，有唯一的一个数，近似于 。 h 2xh实际上，如果我们将 取成两个不同的序列, 和 ： ，npq21nnp,则21nxq.22|()()|nnnnnxpppq由于 可以充分小, 和 也可以充分小, 于是这个数是唯一的。hnpnq令人吃惊的是, (2-11) 是中学等式(2-1) 的一个变形:(2-1) (2-2) (2-3) 微分三角形 (2-10) (2-11) (2-10) (2-11) 合成积分展开式22()2bahxh dxa于是，积分与和之间的缝，被精确计算出来了!因此在中学微积分，我们只需要一个等式与 ，
14、它的变形导出有用的定义0.9A或符号（导数，微分和积分） 。 我们已经实现了梦想，化曲为直或以直代曲！ 注 2 (唯一性) 当上面的分割不一致时，有不同的底， , 那么(2-10)01,mh变为 012mxhxh 2220=()ba(练习).右边, ,无论分割有多大都是唯一的.2ba总结 今后不管处理什么样品，抛物线或别的曲线，都采取同一改写程序，（2-7） （2-8 ） （2-9） ，把微分（或小缝）改写为小高，千篇一律，不需要再改变。这是一条普适的生产线，将在书中处处重现！于是，懂得抛物线的三个等式，（2-7）（2-8）（2-9）（酵母），也就懂了全书技巧与程序（发酵），一本万利。所以，忘
15、掉一切也不可忘了这三个等式，它们是本书唯一需要用心之处第 3 集 多项式微积分所有都是中学等式， （2-2） ，的变形。1 发酵： 的高3x出于好奇，要问当山坡是次曲线， ，时会发生什么？改写程序， （2-7） （2-3x8） （2-9 ） ，会变成什么样？幸亏可以复制对酵母， ，取得的经验，一条普适2x生产线，无需修改。托尔斯泰：幸福的家庭都是相似的首先重复（2-2） （2-3 ）的流程，把 在 的小高也分解成两部分：3x,h(3-1)322()xhh或当 ，变为 0h322()3xh其中常数， ，称为 在点 的导数，记23x3（3-32()x2）（3-1）右边为微分， ，与小缝（或高阶导数
16、） ， 。23xh23xh注意 对导数有不同的解读，特别见张景中，杨玮琦，Livshits, Range, Dovermann, Karcher, Leger 等。改写程序 把微分（与小缝）改写成小高。（3-1）与（ 3-2） （2-4） （2-5 ）合成微分展开式23333)( ()!)=hxhxx（后两项利用了 2 阶导数 与 3 阶导数 ） 。或改2(6(6)写成2()()()()3!hfxhfxhffx（ ）0A即小高改写成微分。反过来，重复改写程序， （2-7） （2-8） （2-9） ，把各阶微分相继替代为小高2()()()3!hfxhffxxf （ ）1A（ ）()()()2ffff 2A（ ）xhx 3结果
