1、1声明：本书另一书名微积分播种年底即将在科普出版社出版，下面材料仅供个人参考，勿做商业用途。封面微积分减肥剩两公式可 微 :=| |1=每 段 割 线 与 切 线 的 夹 角可积 :| |各 段 夹 角 的 平 均书名：微积分传道本书简介： 微积分太有用，高中生做题、考大学也要用，但他们只能先背、先用、不明理. 本书志在对高中生或公众传道，使他们通过 几步计算、几页解说，也能明理（知其然也知其所以然） ，以此作为种子向大学过渡.这是对传统几百页微积分的大减肥. 但能严格实现吗? 需要改变工作方法: 分清主次首末，以主角打头阵，以特例开道，以简单至上，求省力讨好、几笔成形的框架。本书写成随笔、说
2、书或演义，让读者深入其中，化身为其中的角色，进行思考和品味.读者对象：高中生、中学和大学的数学和物理教师、对微积分教学改革感兴趣的社会人士以及对学习抱着研究探索态度的大学生和研究生.本书也可作为高中生夏令营、大学生实验班以及中学数学教师培训的教材.作者简介：林群 中国科学院院士 发展中世界科学院院士中国科学院数学与系统科学研究院研究员，主要致力于计算数学研究.曾获全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖、捷克科学院数学科学成就荣誉奖章.热爱科普和教育事业，著有画中漫游微积分 、 微分方程与三角测量 、2微积分快餐等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任.目录致教师引言 托尔斯泰
3、与微积分第一章 导数1.1 求导数直接法1.2 导数的概念第二章 基本公式2.1 求积分直接法2.2 积分的概念2.3 几何背景2.4 基本公式细说2.5 基本公式的使用2.6 黎曼和2.7 可积条件的明朗化2.8 求面积2.9 求积分的硬伤第三章 微分法3.1 一般微分法3.2 反问题第四章 积分法4.1 积分表4.2 积分代换法4.3 分部积分法第五章 泰勒公式5.1 泰勒展开的直接法5.2 罗必达法则5.3 数值积分第六章 微分方程6.1 对数函数6.2 指数函数6.3 微分方程6.4 积分的存在性3附录 1 张景中不等式附录 2 复合函数求导的链式法则附录 3 微分中值定理参考文献正文
4、致教师 共商微积分教学数学分许多专业，彼此无共同可言.微积分却是公共科目，数学教师之间的最大公因子，能够共商大计.本书头 10 页面向高中生. 他们为什么要学微积分呢？中学教师最有体会：做题（如求单调区间、极值、面积）只有用微积分最划算，答案白得，一下全有，不用白丢题！ 所以高中生也要学一点微积分：起码会背、会用导数表和积分表. 进一步，这两张表是怎么得来的？传统课本有论证，太长太难太慢（例如要等到 8 个概念和 8 条定理之后） ，高中生不能承受，学习物理也等不及！这事不能服：就这么两张表(主角)，要等到这么多的概念和定理（配角）之后才出笼，有理没有理？ 我们的信念：看透的道理只能是几行或几
5、页(符合简单至上的原则). 所以，必须找到这两张表的几行道理. 这时，90 年代做微积分普及的“三部曲”框架：斜率测树高斜率测山高微分测积分（符合特例开道的原则，详见 2.3 节）便用上了：4看透了：微积分就是两个公式（见封面） ，证明只是几步代数计算，前后解说只有 10 页（符合几笔成形的原则）！知足常乐，高中生与公众到此止步.这头 10 页属于微积分的普及. 接着顺手推舟，向大学过渡：微积分被推广、细化和深化，这属于提高. 最后快跑进入微分方程，大学与中学的分水岭：出现实数和 ，微积分从此突破中学小天地，迈向更广阔的自然界. 学无止境，演e义到此为止.本书的前身是光明日报 （1997 年
6、6 月 27 日）与人民日报 （1997 年8 月 6 日）5 上的漫画：5图 0-1人民日报：从求树高（平面三角）到求山高（微积分）微积分讲义6（1998 年 3 月）以及普及读物 画中漫游微积分7 （广西师大出版社，1999 年 1 月）中基本公式的两步证明. 先后被用于几所大学及中学的教学 8,10,13,15,17,21,22,23,25,27,32,33：图 0-2 初中课本 15通过斜坡求高渗透微积分的基本思想6图 0-3 高中课本23 封面上曲线求高图现在是重版，主要受高中生驱动，道理更精练(充分且必要)，文笔更人性(包括工作方法)，内容更丰富( 包括微分方程)，适合于由高中向大
7、学过渡，也可称为微积分的减肥、快跑本.引言：托尔斯泰与微积分列夫托尔斯泰（1828-1910）听我的一位学生说，托尔斯泰的巨著战争与和平3的确用到微分积分的概念与方法，请看下文.“人类的聪明才智不理解运动的连续性.人类只有在他从某种运动中任意抽出若干单位来进行考察时才逐渐理解.但是把运动分成愈来愈小的单位，这样处理我们只能接近问题的答案，却永远得不到最后的答案.只有采取无穷小以及求出它们的总和，我们才能得到问题的答案.数学的一个分支，已经有了处理无穷小求和的技术，从而纠正了人类的智力由于只考察运动的个别单位所不能不犯7下的和无法避免的错误.在探讨历史的运动规律时，情况完全一样.由无数人类的肆意
8、行为组成的人类运动，是连续的.人们肆意行动的总和永远不能用一个历史人物（一个人、国王或统帅）的活动来表达，只有采取无穷小的观察单位历史的微分，并且运用积分的方法（就是得到这些无穷小的总和） ，我们才有希望了解历史的规律.”其中出现的术语，例如无穷小、无穷小求和、无穷小的观察单位、历史的微分、积分的方法都说的什么？能不能用几页（一两堂课）将它们说透？反之，如果要说一学期，怎能算是看透？所以只能大刀阔斧，砍掉传统课本大多数天经地义的概念和定理，减肥、快跑. 这样，到了 2.1， 2.2 或 2.4 节，便能看透托尔斯泰所用到的“微分、积分的方法”不过就是两个公式，证明只有几步代数计算.第一章 导数
9、：计算与概念初等数学到高等，只是由直到弯，后者（曲线）用切线来研究，切线则从割线过渡而来，或者割线变动的结局是切线，切线是割线的理想化如何作曲线上切线，是微积分诞生的内因，有必要弄明这个切线的概念. 笛卡尔就说过，切线问题“不但是我所知道的最有用最一般的问题，而且，甚至可以说，是我仅仅想在几何里知道的问题” （见12p.151）.笛卡尔（1596 1650）但我们假设，读者通过作图，已经理解到一条曲线在一点的割线和切线：在点的切线 OT，是作为附近的割线 OS 当 S 沿曲线移到的“极限位置”或结局（若存在）：8图 1-1 切线是割线的极限位置凡事都有一个支点，阿基米德撬起地球需要一个支点.阿
10、基米德(公元前 287 年公元前 212 年)今后，假设读者在高中已经熟悉笛卡尔发明的解析几何：曲线 ，割线斜率 ，切线:()fx00()(:fxhf斜率 导数 09（若 是山高， 是水平距离， 就是从 到 这一段山的平均()fx00()(fxhf0xh坡度， 就是在一点 的坡度）0 0图 1-2 切线在一点 的斜率（一个数）便作为附近的割线斜率（一串数）当底 趋于0x h0 的“极限数值” （或结局） ，称此数为曲线在点 的导数.0x由于割线含有两个变数， 与 ，切线只有一个变数， ，所以0xh0x切线是割线的根本性简化解析几何是图形和公式的结合. 大家都烦公式，甚至说多一个公式少一半读者当
11、然我们也能用一张图来猜测微积分(见图 2-2)，或学习爱因斯坦爱因斯坦（1879 1955）砍掉不必要的公式.下节求导数，就是一个公式或几个特例，读者不必担忧，只有几步代数计算没有更多！1.1 求导数直接法：代数恒等式的框架 微积分之首（第一角色）是导数开门见山，首领立刻上阵. 传统的定义：在定点 ， 的导数x()f0()()limhffx但差商 ，有一个差别：()(fxhf（1-)()(,ffxrhh101）（1-0lim(,)hrx2）其中差别 称无穷小，魔鬼的语言，要掌握它，只有做大量的练习和实践，(,)rxh中学没有时间，公众没有耐心！ 所以，无穷小的语言成了微积分普及的拦路虎但是，如
12、果只是做题或考试，碰到的不都是初等函数吗？那就把（1-1）写出来，看看是什么样（显式）吧！例 1 多项式如 ， （1-1）在 就是2)(xf0x（1-3）00hh例 2 有理多项式如 ， （1-1）在 就是1()fx0x（1-4）0020001()()xhhxhx其中常数项 怎么得来的？把 由前式剔除，但转移到尾巴中.有教师问：尾20x巴复杂难求？相反，很好操作：尾巴即 ，经初等运算即得结果！2001()xhx例 3 根式如 ， （1-1）在 就是()fx（1-5）00 2000012()xhhxxh其中常数项 怎么得来的？把 由前式剔除，但转移到尾巴中. 有教师问：012x尾巴复杂难求？相反，很好操作：尾巴即 ，经初等运算即00012xhx得结果！以上共同点：尾巴函数显含 的因子，虽然分子分母都有，表面复杂，但h
