1、分式概念形如 （A、B 是整式，B 中含有字母）的式子叫做分式。其中 A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是 的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。方法：数看结果，式看形。分式条件:1.分式有意义条件：分母不为 0。2.分式值为 0 条件：分子为 0 且分母不为 0。3.分式值为正(负)数条件：分子分母同
2、号得正，异号得负。4.分式值为 1 的条件：分子=分母0 。5.分式值为-1 的条件：分子分母互为相反数，且都不为 0。代数式分类整式和分式统称为有理式。带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为：（A,B,C 为整式，且 B、C0 ）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的 公因式 。约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的 公因式约去。2.分式
3、的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式 ，再将公因式约去。公因式的提取方法：系数取 分子 和 分母 系数的最大公约数，字母取分子和分母 共有的字母 ，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则：（1 ）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（2 ） 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表示为：分式的加减法法则：同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把
4、分子相加减。用字母表示为：异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1 ）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2 ）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3 ）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
5、增根）。分式方程解法的归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例 1】有理式（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；（5） ；（6）x1yx23yx1x中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1) 例如，当 x 为 时，分式 有意义32x错解： 时原分式有意义3(2) 不要随意用“或”与“且”。例如 当 x_时，分式 有意义？错解：由分母 ，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制当 时，分式
6、有意义当 时，分式 无意义当 时，分式 值为x1xx1xx12x0二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1)分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本性质时，必须注意：分式的基本性质中的 A、 B、 M 表示的都是整式在分式的基本性质中， M0分子、分母必须“同时”乘以 M(M0)，不要只乘分子（或分母）性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的(
7、2)注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例 3】下列变形正确的是（ ）A ; B C Dabcabcab【例 4】 如果把分式 中的 都扩大 3 倍,那么分式的值一定( ) 52xy,A.扩大 3 倍 B.扩大 9 倍 C. 扩大 6 倍 D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例 5】（1）化简2ab的结果为（ ）A b
8、a B C ab D （2）化简 24xy的结果（）A 2xB xC 2yD yx（3）化简 629x的结果是（）A 3xB 92xC 9xD 33、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序例如，计算 ，应按照同一级运算从左到存依次aa31)(1计算的法则进行错解：原式 2（2）通分时不能丢掉分母例如，计算 ，出现了这样的解题错误：原式=1x分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分
9、母相混淆；1x（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略 （4）最后的运算结果应化为最简分式2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式 3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。2)异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同； 按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简4、
10、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 【例 6】计算：（1） ； （2） ；1242aa 22x（3） （4）已知 3xy，则代数式 142yx的值xx2分式运算中的技巧与方法 1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。一、 整体通分法例 1化简：21a-a-1分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。解：21a-
11、a-1=2-(a+1)= 21a- ()=2(1)a= a二、 逐项通分法例 2计算 1ab- - 2b-34a分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解： 1ab- - 2b-34a= 2()- 2-34= 2ba- 2-34ba=224()()b-34b=34a-34=0三、 先约分，后通分例 3计算：26a+24a分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：26a+24a= (6)2+ 2()a= 6a+ 2= 4a=2四、 整体代入法例 4已知 1x+ y=5 求 25xy的值解法 1： x+ y=5x y0,.所以 25xy=251x=1()52y= =57
12、解法 2：由 1x+ y=5 得， xy=5, x+y=5xy 52xy= ()52xy= 52xy= 7=五、运用公式变形法例 5已知 a2-5a+1=0，计算 a4+ 1解：由已知条件可得 a0,a+ a=5a 4+ 1=(a2+ a)2-2=(a+ 1)2-22-2=(52-2)2-2=527六、设辅助参数法例 6已知 bca= = bc，计算： ()()abca解：设 c= b= c=k，则 b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这 3 个等式相加得 2(a+b+c)= (a+b+c)k若 a+b+c=0，a+b= -c,则 k= -1若 a+b+c0，则 k=2()()abca
13、= kbc=k3当 k=-1 时，原式= -1当 k=2 时，原式= 8七、应用倒数变换法例 7已知 21a=7，求241a的值解：由条件知 a0,2a= 7,即 a+ a= 8421a=a2+ +1=(a+ 1)2-1= 549241a= 95八、取常数值法例 8已知：xyz0,x+y+z=0,计算 yzx+ + xyz解：根据条件可设 x=1,y=1,z=-2.则 yzx+ + xyz=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。九、把未知数当成已知数法例 9已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 22abc解：把 c 当作已知数，用 c 表示 a,b 得,a=3c, b=2c22ab= 14= .十、巧用因式分解法例 10已知 a+b+c=0，计算2abc+2+2cab解: a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b
