1、1.10.5 数阵图1.10.5.1 基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。2.根据“和相等” ，列出关系式，找出关键数重复使用的数。3.确定重复用数后，对照
2、“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。1.10.5.2 辐射型数阵例 1 将 15 五个数字，分别填入下图的五个中，使横、竖线上的三个数字和都是10。解：已给出的五个数字和是：1234515题中要求横、竖每条线上数字和都是 10，两条线合起来便是 20 了。20155，怎样才能增加 5 呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有 5 连加两次才能使五个数字的和增加 5，关键找到了，中心数必须填 5。确定中心数后，按余下的 1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是 10 便可。例 2 将 17 七个数字，分别填入图中的各
3、个内，使每条线上的三个数和相等。解：图中共有 3 条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为 3 的倍数。设中心数为 a，则 a 被重复使用了 2 次。即，12345672a282a，282a 应能被 3 整除。（282a）3 2832a3其中 2839余 1，所以 2a3 应余 2。由此，便可推得 a 只能是 1、4、7 三数。当 a1 时，282a 30 30310，其他两数的和是 1019，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为 9 分成三组填入两端即可。同理可求得 a4、a7 两端应填入的数。例 3 将从 1 开始的连续自然数填入各中，使每条线上的数字和相等。解：图中共有三条线
4、，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为 3 的倍数。设中心数为 a，a 被重复使用了两次，即：123102a552a，552a 应能被 3整除。 （552a ）3 553 2a3其中，55318 余 1，所以 2a3 应余 2。由此，可推知 a 只能在 1、4、7 中挑选。在a1 时，55 2a57，573 19，即中心数若填 1，各条线上的数字和应为 19。但是除掉中心数 1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：97218，86418，75315 所以，a 不能填 1。经试验，a7 时，余下的数组合为 12（19712） ，也不能满足条件。因此，确定 a 只能填 4。例 4 将
5、 19 九个数字，填入下图各中，使纵、横两条线上的数字和相等。解：19 九个数字和是：12395945，把 45 平分成两份：45222余 1。这就是说，若使每行数字和为 23，则需把 1 重复加一次，即中心数填 1；若使数字和为 24，中心数应填 3。总之，因 452 余数是 1，只能使 1、3、5、7、9 各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题可有多种解法。但中心数必须是 9以内的奇数。例 5 将 111 十一个数字，填入下图各中，使每条线段上的数字和相等。解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是 5 的倍数，每条线上的数字和才能相等。111 十一个数字和为 66，
6、66513 余 1，必须再增加 4，可使各线上数字和为 14。共五条线，中心数重复使用 4 次，填 1 恰符合条件。此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数 1，所得的和必须是 5 的倍数。据此，中心数填 6、11 均可得解。1.10.5.3 封闭型数阵例 1 把 2、3、4、5、6、7 六个数字，分别填入中，使三角形各边上的数字和都是12。解：要使三角形每边上的数字和都是 12，则三条边的数字和便是 12336，而23456727，36 与 27 相差 9。三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是 9，才能符合条件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了
7、！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。例 2 把 19 九个数字，分别填入下图中，使每边上四个数的和都是 21。解：要使三角形每条边上的数字和是 21，则三条边的数字和便是：21363。而 19 九个数字的和只有 45。45 比 63 少 18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，重复使用两次，才能使总和增加 18。所以应确定顶点的三个数。下面是填法中的一种。确定了顶角的数后，其他各数便容易了。例 3 下图是四个互相联系的三角形。把 19 九个数字，填入中，使每个三角形中数字的和都是 15。解：每个三角形数字和都是 15，四个三角形的数字和便是：15460，而 19 九个数字和只有 45。4
8、5 比 60 少 15。怎样才能使它增加 15 呢？靠数字重复使用才能解决。中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和为 15，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 及 2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1。把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的一种。例 4 把 210 九个数字，分别填入下图中，使每条直线上的三个数和为 15。解：210 九个数字的和为：234106954若排成每个三角形每边的数字和都是 15，图中含有每边
9、都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是 15690。54 比 90 少 36。在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36218。这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。三个数和为 18 的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。上面是填法中的一种。例 5 把 110 十个数字，分别填入下图中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。因此，要使各三角形顶角的数字和相等。去掉中心数后，
10、数字总和应是 3 的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。如：以 10 为中心数，可填为如上图样。例 6 将 112 分别填入下图中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。解：图中共有四个三角形，共有六个边。112 的数字和是 78。每条边上的数字和应为：78613。这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加 1，十二个数的总和便增加 6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。7、把 九个数分别填入下图中，使每条直线上的三个127543123、数的和都相等。解：九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符合幻方的要求了，因此，可以按幻
11、方的制作方法求解。这十二个分数，按从小到大的顺序排列是： 43217534612、把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出，这样重新组成的数阵，便是求得的解了。例 8 将 18 八个数字，分别填入下图中，使每个小三角形顶点上三数之和为 12。解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是 12，数字总和便是12448，可是 18 八个数字总和只有 36。36 比 48 少 12。只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成 12。把 18 八个数四个一组，和为 12 的有：63215421上述两组中，经验证，只有 632
12、1 可以作公用顶点的数字。例 9 在下图五个内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。解：能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的，其中三个数的和可以多到有 7 个不同值，因此，五个数互不相同。如果这五个数是1，2，3，4，5，则其中三个数的和有如下组合方式：1236 2349 345121247 1348 2351024511这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知 1，2，3，4，5 五个自然数不能满足条件。例
13、10 在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入 1，2，3，4 四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同。解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：（1234）3 3030 不是 4 的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，14 四个数之和最小值是 1124，最大值是 44311，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。例 11 将 18 八个数字，分别填入下图中，使每个面的四个数和相等。解：数字图是个正立方体，共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。18 八个数的数字总和是：123836因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：363108每个面的数字和便是：108618这样，便可填为下图或其他形式。
