1、整式的运算整式的加减一、整式的有关概念1单项式（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：2x可以看成 x，所以 2是单项式；而 2x表示 2 与 x的商，所以 2x不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.（2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如： 21y的系数是 1； r的系数是 2.注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是 1 或时， “1”通常省略不写，但符号不能省略 . 如： 23,xyabc等； 是数字，不是字母.（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的
2、指数为 1 的情况. 如2xyz的次数为 1326，而不是 5；切勿加上系数上的指数，如 52xy的次数是 3，而不是 8； 32xy的次数是 5，而不是 6.2多项式（1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：必须由单项式组成；体现和的运算法则.（2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如： 231xy共含有有三项，分别是 2,31xy，所以 231xy是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是 ，而不是 1.（3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.注意：要防止把多项式的
3、次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式 24235xyxy中， 2的次数是 4，43xy的次数是 5， 2xy的次数是 3，故此多项式的次数是 5，而不是512.3整式：单项式和多项式统称做整式.4降幂排列与升幂排列（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.注意：降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排
4、列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式2423xyxy按 x的升幂排列为： 4234yxyx；按的降幂排列为： 42323y.二、整式的加减1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如： 23ab与 32是同类项；而 23ab与 25却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.2合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如 35ab显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉 .（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相
5、加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是 0.3去括号与填括号（1）去括号法则：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号.注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如： ;abcabc；当出现多层括号时
6、，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.（2）填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都改变符号.注意：添括号是添上括号和括号前面的“”或“”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：;.abcabc4整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.类型一：用字母表示数量关系1填空题： (1)香蕉每千克售价 3 元，m
7、 千克售价_元。(2)温度由 5 上升 t后是 _。(3)每台电脑售价 x 元，降价 10后每台售价为_元。(4)某人完成一项工程需要 a 天，此人的工作效率为_。思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。举一反三：变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册 元的图书 240 册，若每册图书的邮费为书价的 5，则共需邮费_元。类型二：整式的概念2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。(1) x 1；(2)a2；(3) ；(4)SR 2；(5) ；(6)总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，
8、而整式不能含有这些符号。举一反三：变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。x2y， a b， xy 25， ， 29， 2ax9b5， 600xz， axy， xyz1， 。分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。类型三：同类项3若 与 是同类项，那么 a,b 的值分别是（ ）（A）a=2, b= 1。 （B）a=2, b=1。（C） a=2, b=1。 （ D）a=2, b=1。思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由
9、同类项的定义可得：a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2, b=1，故选 A。举一反三：变式在下面的语句中，正确的有( ) a2b3 与 a3b2 是同类项 x2yz 与 zx2y 是同类项； 1 与是同类项；字母相同的项是同类项。A、1 个 B、2 个 C、 3 个 D、4 个解析：中 a2b3 与 a3b2 所含的字母都是 a，b，但 a 的次数分别是 2,3，b的次数分别是 3,2，所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以 x2yz 与zx 2y 是同类项；不含字母的项( 常数项)都是同类项，正确，根据可知不正确。故选 B。类型四：整式的加减4化简 mn（m+
10、 n）的结果是（ ）（A）0。（B）2m。（C）2n。（D）2m2n。思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。解析： 原式=mnmn= 2n，故选（C）。举一反三：变式 计算： 2xy+3xy=_。分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现 5x2y2 的错误。 答案：5xy 。5（化简代入求值法）已知 x ，y ,求代数式(5x 2y2xy 23xy)(2xy 5x 2y2xy 2) 思路点拨：此题直接把 x、y 的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。解析：原式5x 2y2x
11、y 23xy2xy5x 2y2xy 25xy当 x ， y 时，原式 5 。总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。举一反三：变式 1 当 x0，x ， x-2 时，分别求代数式的 2x2x1 的值。解：当 x0 时，2x 2x120 2011；当 x 时，2x 2x12 ；当 x-2 时，2x 2x12（-2） 2（-2）124+2111。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有
12、同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。变式 2 先化简，再求值。3(2x2y 3xy2)(xy 23x 2y)，其中 x ，y1。解： 3(2x2y3xy 2)(xy 23x 2y)(6x 2y9xy 2)xy 23x 2y6x 2y9xy 2xy 23x 2y9x 2y10xy 2。当 x ，y1 时，原式9 (1) 10 (1) 2。总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为 9x2y10xy 2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。变式 3 求下列各
13、式的值。(1)(2x2x1) ，其中 x(2)2mn( 3m)3(2nmn)，其中 mn2，mn3。解析：(1) (2x 2x1)2x 2x1x 2x 3x 23 4x 24当 x 时，原式4 4945。(2) 2mn( 3m)3(2nmn)2mn6m6n3mn5mn6(mn)当 mn2，mn3 时原式5(3) 6227。类型五：整体思想的应用6已知 x2x3 的值为 7，求 2x22x3 的值。思路点拨：该题解答的技巧在于先求 x2x 的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。解析：由题意得 x2x37，所以 x2x4，所以 2(x2x)8，即2x22x8，所以 2x22x3835。总结
14、升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。举一反三：变式 1 已知 x2x10，求代数式 x32x 27 的值。分析：此题由已知条件无法求出 x 的值，故考虑整体代入。解析：x 2x10，x 21x，x 32x 27x(1x) 2(1x) 7xx 222x7-x 2-x-5（-x 2-x+1）-6 = 6。变式 2 当 x1 时，代数式 px3qx1 的值为
15、2003，则当 x1 时，代数式px3qx1 的值为( )A、2001 B、2002 C、2003 D、2001分析：这是一道求值的选择题，显然 p，q 的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。解析：当 x1 时，px 3qx1pq12003，而当 x1 时，px3qx1pq1，可以把 pq 看做一个整体，由 pq12003 得pq2002，于是pq(pq)2002，所以原式200212001。故选 A。变式 3 已知 A3x 3 2x1，B3x 22x1， C2x 21，则下列代数式中化简结果为 3x37x 22 的是( )A、AB2C B、AB 2C C、AB2C
16、D、A B 2C 分析：将A，B，C 的式子分别代入 A，B，C ，D 四个选项中检验，如：AB2C 3x32x1 (3x22x1)2(2x 21)3x 32x13x 22x14x 223x 37x 22。答案：C变式 4 化简求值。(1)3(abc)8(abc)7(abc) 4(abc)，其中 b2(2)已知 ab2，求 2(ab)ab9 的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将abc，abc 分别视为一个“整体”，这样化简较为简便； (2)若想先求出a，b 的值，再代入求值，显然行不通，应视 ab 为一个“整体”。解析：(1)原式 3(abc)7(a bc)8(a
17、bc) 4(abc)4(abc)4(a bc)4a4b 4c 4a4b4c8b。因为 b2，所以原式8216。(2)原式2(ab) (a b)9(ab)9因为 ab 2，所以原式 2911。类型六：综合应用7已知多项式 3(ax22x1)(9x 26x7)的值与 x 无关，试求5a22(a 23a4)的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为 0 即可.解析：3(ax 22x1)(9x 26x7)3ax 26x3 9x26x7(3a 9)x 2 4。因为原式的值与 x 无关，故 3a90，所以 a3 。又因为 5a2 2(a23a4)5a 22a 26a83a
18、 26a 8，所以当 a3 时，原式3 3263837。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。举一反三：变式 1当 a(x0)为何值时，多项式 3(ax22x1)(9x 26x7)的值恒等为4。解析：3(ax 22x1)(9x 26x7)3ax 26x3 9x26x7(3a 9)x 2 4。因为(3a9)x 244，所以(3a9)x 20。又因为 x0，故有 3a90。即a3，所以当 a3 时，多项式 3(ax22x1)(9x 26x7)的值恒等于 4。变式 2当 a3 时，多项式 3(ax22x1)(9x 2
19、 6x7)的值为多少？解析：3(ax 22x1)(9x 26x7)3ax 26x 39x 26x7(3a9)x 24，当 a3 时，原式(339)x 244。8已知关于 x 的多项式(a 1)x 5x |b2| 2xb 是二次三项式，则a_，b _。分析：由题意可知 a1 0，即 a1，|b 2|2，即 b4 或 0，但当 b0 时，不符合题意，所以 b4。答案：1，4举一反三：变式若关于 的多项式： ，化简后是四次三项式，求 m，n 的值答案：m=5 ， n=-1方法技巧篇一整式的加减技巧一、根据系数特征分组合并同类项的合并实际上是系数的加减，因此，如何根据系数的特征进行分组合并是合并同类项
20、时的一种技巧.例 1 计算： y+ x -（ y+ x -1）+（2- y- x ）232y12y322y分析：先去括号，得，原式= y+ x - y- x +1+2- y- x ，注意3132这个多项式共有三类，第一类是 y，系数分别是 ，-1 和- ，第二类是 x ，系数分22y别是 ，- 和 - ，第三类是常数项，分别是 1 和 2.各类合并时，考虑各类系数的特征，231易得解法如下是最简便的.解：原式= y+ x - y- x +1+2- y- x232y2y322y=（ y- y）+（ x - x ）- y- x +（1+2）1x 1=- y+0- y+32=-2 y+3.x评注：按
21、系数特征合并同类项，一般是将系数为相反数的同类项分为一组，系数能够凑整的同类项分为一组，系数是同分母的同类项分为一组.二、按整体进行合并如果多项式出现若干部分相同，则可以把相同的这部分视为整体进行合并.例 2 计算：9（ x-1）+7（ 1- x）- x-1.112分析：本题中的（1- x）可化为 -（ x-1），- x+1 可化为-（ x-1）-2，因此，1212先把（ x-1）作为整体进行合并.2解：原式=9（ x-1）-7（ x-1）-（ x-1）-212=（9-7-1）（ x-1）-2=（ x-1）-2= x-3.2评注：运用整体思想进行整式加减运算时，常常需要选择合适的“整体”，然后
22、添括号，再进行合并，然后再去括号，再合并同类项.三、逆向合并一般情况下，在合并同类项时大多是将系数相加减，但有时反过来，视系数为“类”进行合并可以收到意想不到的效果.例 3 计算： - ；2323xy6xy分析：注意到同分母的几组式子，将它们分别相加易于计算，于是解：原式=（ ）+（ ）- = （x-y ）- （x-y）-1236xy= （x-y）=0.6评注：本题从系数入手，无意中构造出（x-y）这个整体，然后于运用整体思想得到了巧妙的解决，真是“无心插柳柳成荫”.由上几例可见，合并同类项与有理数运算一样，如果能够先观察一下题目特征而不急于动笔，然后针对题目特征，打破常规解法，灵活运用一些技
23、巧，则可以起到化繁为简，事半功倍的效果.方法技巧篇二整式的加减一、直接代入求值法例 当 、 、 时，分别求代数式的 的值0x21x 12x二、化简代入求值法例 已知 ， ，求代数式 的值51x3y ）22225()35( xyxyxy解法 1：因式分解法 解法 2：降次法例 2 代数式 的值为 9，则 的值为( )6432x6342xA7 B18 C12 D9例 3 已知 ，求 的值51x21x解法 1：平方法 解法 2：配方法*例 4 已知 中，当 时， ，则当 时，y 的值是( )53bxay3x7y3xA-3 B-7 C-17 D7三、说理题解法举例例 1 做游戏，猜数字：让对方任想一个
24、数，让他做如下运算：乘 5，再加上 6，再乘 4，再加上 9，再乘 5，把得数告诉你，然后(你只要从中减去 165，再除以 100)你就可以说出他原来的数用数字验证：比如，某人想的一个数是 7，那么，第一步，75得 35，第二步，35+6 得 41，第三步,414 得 164，第四步，164+9 得 173，第五步，1735 得 865他告诉你：865，于是你就算出(865-165)100=7你自己也可举例，结果总对，你知道其中的奥妙吗？例 2 在数学自习课上，张老师出了一道整式求值题，张老师把所要求值的整式 )367(23baa )31036(23aba写完后，让小刚同学任意说出一组 a，b
25、 的值，再计算结果当小刚说完：“”后，小莉很快说出了答案“3”同学们都感到其名其妙，觉得不可01,2思议，张老师满意地说：“这个答案准确无误”亲爱的同学，为何能小莉快速得出结果？例 3 小明和小亮在同时计算这样一道求值题：“当 时，求整式 的值”小亮正确求a27a4)1(52a)1(a得结果为 7，而小明在计算时，错把 a=-3 看成了 a=3，但计算的结果却也正确，你相信吗？你能说明为什么吗？四、探索规律题的解法1观察题目中的不变量与变量，不变量照写，变量用序号来表示（序号为 n）例 研究下列算式，你会发现什么规律？请你把找出的规律用含正整数 n 的公式表示， ， ， ，2432391241652512将所给的条件进行适当的变形，再找规律例 观察等式： ， ， ， +1，42232402你会发现什么规律？请你把发现的规律用含正整数 n 的公式表示3借助于图形观察找规律例 1 柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下图:第一层有 23 听罐头，第二层有 34 听罐头，第三层有 45 听罐头
