1、第 一 节 直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率 、直 线 的 方 程备考方向要明了考 什 么 怎 么 考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如 2012 年浙江 T3 等3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以
2、选择题为主(2)主要是涉及直线方程和斜率.归纳知识整合1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线 l 与 x 轴相交；一个基准：取 x 轴作为基准；两个方向：x 轴正方向与直线 l 向上方向当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为 0.倾斜角的取值范围为0，)(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角 不是 90，则斜率 ktan_.计算公式：若由 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k .y2 y1x2 x1探究 1.直线的倾角 越大，斜率 k 就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确由 ktan 知，当 时， 越大，斜率越大且 为(
3、 2) (0，2)正；当 时， 越大，斜率也越大且为负但综合起来说是错误的(2，)2两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系探究 2.两条直线 l1，l 2 垂直的充要条件是斜率之积为1，这句话正确吗？提示：不正确，当一条直线与 x 轴平行，另一条与 y 轴平行时，两直 线垂直，但一条直线斜率不存在3直线方程的几种形式名称 条件 方程 适用范围点斜式 斜率 k 与点 (x0，y 0)yy 0k(xx 0)不含直线 xx 0斜截式 斜率 k 与截距 b ykxb 不含垂直于 x 轴的直线两点式两点(x1，y 1)，(x2，y 2)y y1y2 y1x x1x2 x1 不含直线 xx 1(x1x 2)
4、和直线 yy 1(y1 y2)截距式 截距 a 与 b 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ByC 0(A2B 20)平面直角坐标系内的直线都适用探究 3.过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：当 x1x 2，或 y1y 2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示自测牛刀小试1(教材习题改编)若直线 x 2 的倾斜角为 ，则 ( )A等于 0 B等于4C等于 D不存在2解析：选 C 因为直线 x2 垂直于 x 轴，故其 倾斜角为 .22(教材习题改编)过点 M(2，m )，N(m,4)的直线的斜率等于
5、1，则 m 的值为( )A1 B4C1 或 3 D1 或 4解析：选 A 由题意知， 1，解得 m1.4 mm 23过两点(0,3)，(2,1) 的直线方程为( )Axy30 Bx y30Cx y30 Dxy30解析：选 B 直线斜率为 1，3 10 2其方程为 yx 3，即 xy30.4直线 l 的倾斜角为 30，若直线 l1l ，则直线 l1 的斜率 k1_；若直线l2l ，则直线 l2 的斜率 k2_.解析：l 1l2，kl1tan 30 .33l2l，kl2 .1kl 3答案： 33 35已知 A(3,5)，B(4,7) ，C(1，x)三点共线，则 x 等于_ 解析：因为 kAB 2，
6、k AC .7 54 3 x 5 1 3 x 54A，B，C 三点共线，所以 kABk AC，即 2，x 54解得 x3.答案：3直线的倾斜角和斜率例 1 (1)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是( )A0，) B. 0，4 34，)C. D. 0，4 0，4 2，)(2)已知两点 A(m，n)，B( n， m)(mn)，则直线 AB 的倾斜角为_；(3)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线 l 的斜3率的取值范围为_自主解答 (1)设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin ，其中 sin 1,1又0，)，所以 0 或 0，b0
7、)xa yb则有 1，且 ab12.3a 2b 12解得 a6，b4.所以所求直线 l 的方程为 1，x6 y4即 2x3y120.法二：设直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0；令 y0，得 x3 0.2k所以 SOAB (23k ) 12，解得 k ，12 (3 2k) 23故所求直线方程为 y2 (x3)，即 2x3y 120.23答案 (1)D (2)2x 3y 120 求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程再根据已知条件构造关于待定系数的方程( 组 )求系数，最后代入求出直
8、线方程5ABC 的三个顶点为 A(3,0)，B(2,1)，C(2,3) ，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程解：(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点，由两点式得 BC 的方程为 y 13 1，即 x 2y40.x 2 2 2(2)设 BC 中点 D 的坐标(x ，y)，则x 0，y 2.2 22 1 32BC 边的中线 AD 过点 A(3,0) ，D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为 1，即 2x3y60.x 3 y2(3)BC 的斜率 k1 ，则 BC 的垂直平分线 DE
9、的斜率 k22，由点斜式得直线 DE 的方12程为 y22( x0)，即 2xy20. 1 个关系直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率(2)直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系： 0 00 不存在 k0 3 个注意点与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为
10、零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论. 易误警示有关直线方程中“极端”情况的易误点典例 (2013常州模拟)过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为_解析 当截距不为 0 时，设 所求直线方程为 1，即 x ya0.xa ya点 P(2,3) 在直线 l 上，23a0，a 1，所求直线 l 的方程为 xy10.当截距为 0 时，设所求直线方程 为 ykx，则有32k，即 k ，32此时直线 l 的方程为 y x，即 3x2y0.32综上，直线 l 的方程为 xy 10
11、或 3x2y0.答案 xy 10 或 3x2y0易 误 辨 析 1因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程 3x2y0 而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解2在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与 x 轴垂直的情况及与 y 轴垂直的情况变 式 训 练 已知直线 l 过(2,1)，( m,3)两点，则直线 l 的方程为_解析：当 m2 时，直线 l 的方程 为 x2；当 m2 时，直线 l 的方程为 ，y 13 1 x 2m 2即 2x(m2)ym60.因为 m2 时，方程 2x( m 2)ym 6
12、0，即为 x2，所以直线 l 的方程为 2x( m2) ym60.答案：2x(m 2)ym6 0一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1(2013秦皇岛模拟)直线 x y10 的倾斜角是( )3A. B.6 3C. D.23 56解析：选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k ，设倾斜角为 ，则 tan ，所33 33以 .562已知点 A(1，2) ，B(m,2)，且线段 AB 垂直平分线的方程是 x2y20，则实数m 的值是( )A2 B7C3 D1解析：选 C 由已知 kAB2，即 2，解得 m3.4m 13若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为
13、2，则这样的直线共有( )A4 条 B3 条C2 条 D1 条解析：选 B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个4(2013银川模拟)已知直线 l1：xay60 和 l2：( a2)x3y2a0，则 l1l 2 的充要条件是 a 等于( )A3 B1C1 D3 或1解析：选 C 由题意知，l 1l2 ，1a 2 a3 62a即 a1.5直线 2xmy13m0，当 m 变化时，所有直线都过定点( )A. B.( 12，3) (12，3)C. D.(12， 3) ( 12， 3)解析：选 D 原方程可化为(2x1) m(y3) 0，令 Error!解得 x ，y3，故所12有直线都过定点 .( 12， 3)6设 a，b，c 分别是ABC 中角 A，B，C 所对边的边长，则直线 xsin Aayc 0与直线 bxysin Bsin C0 的位置关系是( )A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：选 C 由已知得 a0，sin B0，所以两条直线的斜率分别为 k1 ，k2sin Aa，由正弦定理得 k1k2 1，所以两条直线垂直bsin B sin Aa bsin B二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为 ，而 ，则 k 的取值范围是6，4) 23，)_解析：当 时，k tan ；6，4) 33，1)
