1、第四章 整环里的因式分解1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定 为整环, 为 的商域.1. 整除定义 1 设 为整环, , 如果存在 , 使得Dba, Dc则称 整除 , 记作 ; 并称 是 的一个因子, 是 的倍元. 整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质. 整除有下列常用的性质: (1) 如果 , , 则 ;(2) 如果 , , , 则 . 2.相伴 定义 2 整环 的一个元 叫做 的一个单位，假如 是一个有逆DD元的元。元 叫做元 的相伴元，假如 是 和一个单位 的乘积：定理 两个单位的乘积也是一个单位.单位 的逆元 也是一个单位.例因为整数环 的单
2、位仅有与-，故任一非零元 有个相伴元： 与 .a例 有四个单位，-，i,-i,所以任一非零元 ，有四个相伴元：定义 3 单位以及元 的相伴元叫做 的平凡因子.若 还有别的因子，则称为 的真因子. 素元定义 4 设 为整环， ，且 既非零也非单位，如果 只有Dp平凡因子，则称 为一个素元.定理 单位 与素元 的乘积 也是一个素元.定理 整环中一个非零元 有真因子的充分且必要条件是：，这里 ， 都不是单位.推论 设 ，并且 有真因子 ： .则 也是 的真因子.定义 5 我们称一个整环 的元 在 中有唯一分解，如果以下条D件被满足：(i) ( 为 的素元)(ii) 若同时有（ 为 的素元）则有 ，并
3、且可以调换 的次序，使得 （ 为 的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例 给整环 .那么有：(1) 的单位只有 .(2)适合条件 的元 一定是素元.首先 ， ；又由(1), 也不是单位.设 为 的因子：那么但不管 ， 是何整数， 或若 ，则 是单位.若 ，则 而 为单位.因而是 的相伴元.从而 只有平凡因子，故 是素元.(3) 没有唯一分解：我们有(A) ,故由(2),2, 都是 的素元.由(1), 都不是的相伴元，因而 给出了的两种不同分解从而没有唯一分解.这说明并不是任意整环 中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理
4、一个唯一分解环有以下性质：若一个素元 能够整除 ，则有 整除 或 .定理 做定整环 有如下性质：(i) 的每一个非零非单位的元 都有一个分解.（ 为 的素元）(ii) 的一个素元 若能够整除 ，则有 整除 或 ，则 一定是一个唯一分解环.定义 6 元 叫做 的公因子，如果 .定理 一个唯一分解环 的两个元 和 在 里一定有最大公因子.和 的两个最大公因子 和 只能差一个单位因子：（ 是单位).推论 一个唯一分解环 的 个元 在 里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义 一个唯一分解环的元 称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理 设 是一个主理想环.若在
5、序列 里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理 设 是一个主理想环，那么 的任一素元 生成一个最大理想.定理 一个主理想环 是一个唯一分解环.证：我们证明 是一个唯一分解环.设 且 不是零也不是单位.若 不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$.的推论，都是 的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则 就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若 没有分解，则 一定有一个真因子 也没有分解.这样，在 没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理，这是不可能的，所以 一定有分解.即满足$.定理中的
6、条件(i).又设 的素元 能整除 的元 乘积 ，那么这就是说在剩余类环里 ， 所代表的类与 o 所代表的类相同：由引理， 是最大理想，因而由$.的定理， 是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有 或亦即 或从而 或 ，故也满足$.定理的条件(iii).因而 是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义 一个整环 叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从 的非零元所作成的集合 到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元 ， 的任何元 都可以写成的形式，这里有 或例 整数环是一个欧氏环.因为：定理是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数 ，则任何整数都可写成这里 或上面定义中的
7、映射 称为欧氏映射.定理 每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明 设 为欧几里德环 的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果 , 则 .(2) 如果 , 令则 非空, 且 . 设 , 使得 为 中的最小数, 下证 .任给 , 因为 , 所以存在 , 使得 . 于是, .如果 , 则 , 与 的选取矛盾. 所以, , 则 , 于是 . 由 的任意性可知 . 又 , 所以 , 从而 .这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故 为主理想整环.定理 整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理 一个域 上的一元多项式 是一个欧氏环 .因而是一个唯一分解环.$. 多项式环的因子分解本章讨论唯
8、一分解环 上的一元多项式环 .我们称 的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义 的一个元 叫做一个本原多项式，如果 的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A) 的单位是 的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式 可约，那么且有（ 表示 的次数）引理 1 设 ，那么 是本原多项式的充分且必要条件是 和 都是本原多项式.设 是 的商域，那么多项式环 是唯一分解环.引理 2 的每一个非零多项式 都可以写成的形式，这里 是 的本原多项式.如果也有 的性质，那么 ，（ 为 的单位）引理 3 的一个本原多项式 在 里可约的充分必要条件是 在 里可约.引理 4 的次数大于零的本原多项式在 里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有
