1、智浪教育 -普惠英才文库 1 2012 年广州市高二数学竞赛试题 2012 5 13 考生注意： 1用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； 2不准使用计算器； 3考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分 . 一、选择题：本大题共 4 小题，每题 6 分，满分 24 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有 一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 222 0 , 1 , 1 2M x x x N y y x x , 则有 ( ) A. MN B. NM C. MN D. MN 2已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS , 且 6 135, 143aS, 则公差 d 的值为 ( ) A
2、. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3. 方程 21 1 1xy 所表示的曲线是 A. 一个圆 B. 两个圆 C. 半个圆 D. 两个半圆 4. ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，设向量 m ,ab ， n ,b c a ， 则 m / n 是 2AB 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、填空题 : 本大题共 6 小题，每题 6 分，满分 36 分 . 5已知 3sin45 ，则 sin2 的值为 * . 6已知向量 a= 2,3 ， b= 1,2 ，若向量 m a n b 与向量 a
3、 2 b 共线（ ,mn R， 且 0n ) ， 则 mn 的值为 * . 7. 在区间 1,3 和 1,2 上分别取一个 数 , 记为 ,ab, 则方程 221xyab表示焦点在 x 轴上并且离心 率小于 12 的椭圆的概率为 * . 8. 三棱锥 A BCD 的所有棱长均为 1, 顶点 A 在底面 BCD 上的正投影为点 H , 点 M 在 AH 上 , 且 使 90BMC , 则 AM 的长为 * . 9已知函数 lg 1f x x，若 1 ab，且 f a f b ，则 ab 的取值范围是 * . 10. 对于任意两个正数 ,xy, 定义运算“ ”如下： x y ax by cxy ，
4、其中 ,abc为常数 . 智浪教育 -普惠英才文库 2 DMNCBAS已知 1 2 3, 2 3 4，并且存在一个非零实数 d ，使得对于任意实数 x 都有 2x d x ， 则 d 的值为 * . 三、解答题 : 本大题共 5 小题，满分 90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 11.(本小题满分 15 分 ) 已知函数 c o s c o s s in 0f x x x a x a 的最大值为 32. (1) 求 a 的值 ; (2) 若 524f , 求3f 的值 . 12. (本小题满分 15 分 ) 如图 ,在三棱锥 S ABC 中 , SA 平面 ABC , 90A
5、BC , 2, 4SA BC AB , M , ,ND分别是 ,SC AB BC 的中点 . (1) 求证 :MN AB ; (2) 求二面角 S ND B的余弦值 ; (3) 求点 M 到平面 SND 的距离 . 13.(本小题满分 20 分 ) 已知平面内的动点 P 到点 1,02F的距离比它到直线 32x 的距离小 1，记动点 P 的轨迹为 曲线 C . (1) 求 曲线 C 的方程 ; (2) 若直线 10xy 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点 , 问在曲线 C 上是否存在点 Q ,使 QAB 为等 边 三角形 ? 若存在 , 求点 Q 的坐标 ; 若不存在 , 说明理由 . 14
6、. (本小题满分 20 分 ) 智浪教育 -普惠英才文库 3 已知数列 na 的前 n 项和为 nS , 对任意 n N* 都有 11nnaSaa（ a 为常数， 0, 1aa ） . (1) 求数列 na 的通项公式 ; （ 2）令 1nn nSb a，若数列 nb 为等比数列，求 a 的值； (3) 在满足 (2)的条件下 , 记11111nnnc aa,设数列 nc 的前 n 项和为 nT , 求证 : 12 4nTn. 15.(本小题满分 20 分 ) 已知函数 21l n , ( ,2f x x g x a x b x a b R) . （ 1）当 2b 时，求函数 h x f x
7、g x的单 调区间； （ 2）设函数 fx的图象 1C 与函数 gx的图象 2C 交于不同两点 P 、 Q ，过线段 PQ 的中 点作 x 轴的垂线 分别交 1C 、 2C 于点 M 、 N ，试判断 1C 在点 M 处的切线与 2C 在点 N 处的切线是否平行，并说明理由 . 智浪教育 -普惠英才文库 4 2012 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案 与评分标准 说明： 1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错
8、误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题 ：每小题 6 分，满分 24 分。 1 A 2 C 3 D 4 C 二、填空题 ：每小题 6 分，满分 36 分。 5 725 6 127 2 3 34 8 66 9 4, 10 3 三、解答题 ：满分 90 分。 11. (1) 解 : c o s c o s s inf x x x a x2c o s si
9、n c o sx a x x 1 1 c o s 2 s i n 222axx 11s in 2 c o s 222a x x 2 11s in 222a x (其中 1tan a ). 函数 fx的最大值为 32 2 1 1 32 2 2a , 解 得 3a . (2)解 :由 (1)知 1si n 262f x x . 524f , 15si n6 2 4 ,得 3sin64. 3f 1si n 2 3 6 2 1si n 22 3 2 智浪教育 -普惠英才文库 5 HEF DMNCBAS1cos 232 2 11 2 si n62 2311242 38. 12.(1) 证明 :取 AC
10、的中点 E ,连接 ,MENE .则 /ME SA , 又 SA 平面 ABC , ME 平面 ABC . AB 平面 ABC , ME AB . ,NE分别为 ,ABAC 的 中点 , /NE BC . 90ABC ,即 AB BC , NE AB . ,M E NE E M E平面 ,MNE NE 平面 ,MNE AB 平面 MNE . MN 平面 MNE , MN AB . 解 :过 A 作 AF DN 且与 DN 的延长线相交于点 F , 连接 SF .由三垂线定理知 , SFA 是二面角 S ND A的平面角 ,也是二面角 S ND B的平面角的补角 , 在 Rt DBN 中， 22
11、 5ND D B NB ， 5si n 5DBD N B ND . 在 Rt AFN 中， AF AN 5 2 5s in 2 55A N F . 在 Rt SAF 中， 22SF SA AF 2305 ， 6c o s 6AFAFS SF . 二面角 S ND B的余弦值为 66 . (2) 解 :过点 A 作 AH SF 于 H , 由 (2)知平面 SAF 平面 SND ,且平面 SAF 平面 SND SF , AH 平面 SND . AH 的长为点 A 到平面 SND 的距离 . 在 Rt AFN 中， SA AFAH SF 63 . 智浪教育 -普惠英才文库 6 点 M 是 SC 的
12、中点 , 点 M 到平面 SND 的距离是点 C 到平面 SND 的距离的 12倍 . /AC ND , /AC 平面 SND . 点 C 到平面 SND 的距离等于点 A 到平面 SND 的距离 . 点 M 到平面 SND 的距离是 66 . 13.(1)解法 1: 点 P 到点 1,02F的距离比 到直线 32x 的距离小 1， 点 P 到点 1,02F的距离与它到直线 12x 的距离相等。 点 P 的轨迹是以点 1,02F为焦 点，直线 12x 为准线的抛物线 . 曲线 C 的方程为 2 2yx . 解法 2:设点 P 的坐标为 ,xy , 依题意得 , 2 213 122x y x .
13、 当 32x 时 , 得 2 21122x y x , 化简得 2 2yx . 当 32x 时 , 得 2 21522x y x 得 52x 化简得 2 6 6 0yx ,得 1x ,矛盾 . 曲线 C 的方程为 2 2yx . (2)解 :设 A 、 B 的坐 标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y ,线段 AB 的中点为 00,D x y . 由21 0,2.xyyx 消去 x ,得 2 2 2 0yy . 1 2 1 22 , 2y y y y . 120 12yyy , 0012xy . 点 2, 1D . 智浪教育 -普惠英才文库 7 21 2 1 21 1 4A B y
14、y y y 26. 假设曲线 C 上存在点 Q ,使 QAB 为等边三角形 ,设点 33,Q x y , 由 DQ AB ,得 331 112yx ,即 3330xy . 又 33 1 3 3222xyD Q A B ,得 3316xy . 由 33333 0,16xyxy 或 33333 0,1 6.xyxy 解得 335,2,xy 或 331,4,xy 点 Q 的坐标为 5,2 或 1, 4 . 点 5,2 或 1, 4 不在曲线 C 上 , 曲线 C 上不存在点 Q ,使 QAB 为等边三角形 . 14.(1) 解 : 当 1n 时 , 1 1 111 aa S aa , 解得 1aa
15、, 当 2n 时 , 111111n n n n naaa S S a a , 整理得 1nna aa . 数列 na 是首项为 a ,公比为 a 的等比数列 . 1nnna a a a . (2)解 :由 (1)得 11 nn aSaa ,则 1nn nSb a 211 1 naaa aa . 321 2 3 22 1 2 12 , , 1a a ab b ba aa . 由 22 1 3b bb ,得 2 3222 1 2 12 1a a aa aa , 解得 12a . 又 12a 时 , 2nnb ,显然数列 nb 为等比数列，故 12a . 智浪教育 -普惠英才文库 8 (3) 证明
16、 :由 (2)知 12a ,故 12nna . 11111nnnc aa11222 1 2 1nn111112 1 2 1nn 1112 2 1 2 1nn 1222 2 1 2 1nnn . 当 2n 时 , 1222 1 2 1nnn 112 2 1 122 1 2 4 2 2 1nnn n n . 12222 1 2 1iniii 1212n ii 1311122 11 412n. 112 2 1 244nT n n . 15.（ 1） 解 ： 2b ， h x f x g x 21ln 22x ax x ， 函数 hx的定义域为 0, . 2 1 2 12 a x xh x a xxx
17、 . 当 0a 时， 12xhx x ， 令 0,hx 得 10 2x ；令 0,hx 得 12x . 函数 hx的单调递增区间为 10,2，单调递减区间为 1,2. 当 0a 时，令 0,hx 得 2 21 0ax xx， 0,x 2 2 1 0ax x . 44a . 智浪教育 -普惠英才文库 9 （）当 0 ，即 1a 时，得 2 2 1 0ax x ，故 0,hx 函数 hx的单调递增区间为 0, . （）当 0 ，即 1a 时，方程 2 2 1 0ax x 的两个实根分别为 1 2 4 4 1 12 aax aa ，2 11ax a . 若 10a ，则 120, 0xx， 此时，当
18、 10,xx 时， 0,hx 当 1,xx 时， 0hx . 函数 hx的单调递增区间为 11 ,aa ，单调递减区间为 110, aa . 若 0a ，则 120, 0xx， 此时，当 20,xx 时， 0,hx 当 2,xx 时， 0,hx . 函数 hx的单调递增区间为 110, aa ，单调递减区间为 11 ,aa . 综上所述，当 0a 时，函数 hx的单调递增区间为 110, aa ，单调递减区间 为 11 ,aa ； 当 10a 时，函数 hx的单调递增区间为 11 ,aa ，单调递减区间为 110, aa ； 当 1a 时，函数 hx的单调递增区间为 0, ，无单调递减区间 .
19、 （ 2） 证法 1：设点 P 、 Q 的坐标分别是 1 1 2 2 1 2, , , , 0x y x y x x. 则点 M 、 N 的横 坐标为 122xxx . 1C 在点 M 处的切线斜率为121 12212xxxk x x x ， 智浪教育 -普惠英才文库 10 2C 在点 N 处的切线斜率为 121222 2xxxa x xk a x b b . 假设 1C 在点 M 处的切线与 2C 在点 N 处的切线平行，则 12kk ， 即 12122 2a x x bxx ， 则 21 222 1 2 1122 2xx a x x b x xxx 222 2 1 1 2 1 2 1l n
20、 l n22aax b x x b x y y x x . 21221121ln1xxxxxx. 设 21xt x ，则 21ln , 11tttt . （ *） 令 21ln , 11th t t tt ，则 22211411tht tt t t . 1t ， 0ht . ht 在 1, 上单调递增 . 10h t h，即 21ln 1tt t ，这与（ *）式矛盾，假设不成立 . 1C 在点 M 处的切线与 2C 在点 N 处的切线不平行 . 证法 2： 设点 P 、 Q 的坐 标分别是 1 1 2 2 1 2, , , , 0x y x y x x. 则点 M 、 N 的横坐标为 122xxx . 1C 在点 M 处的切线斜率为121 12212xxxk x x x ， 2C 在点 N 处的切线斜率为 121222 2xxxa x xk a x b b .
