1、12009 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2009 江西）若复数 z=（x 21）+ （x 1）i 为纯虚数，则实数 x 的值为（ ）A1 B0 C1 D1 或 1【考点】复数的基本概念菁优网版权所有【专题】计算题【分析】复数 z=（x 21）+ （x 1）i 为纯虚数，复数的实部为 0，虚部不等于 0，求解即可【解答】解：由复数 z=（x 21）+（x 1）i 为纯虚数，可得 x=1故选 A【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题2 （
2、5 分） （2009 江西）函数 的定义域为（ ）A （4， 1） B （ 4，1） C （ 1，1） D （1，1【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意知 ，解得1x1，由此能求出函数的定义域【解答】解：由题意知，函数 的定义域为，解得1 x1，2故选 C【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法3 （5 分） （2009 江西）已知全集 U=AB 中有 m 个元素， （ UA）（ UB）中有 n 个元素若 AB 非空，则 AB 的元素个数为（ ）Amn Bm+n Cn m Dmn【考点】Venn 图表达集合的关系及运算菁优
3、网版权所有【专题】数形结合【分析】要求 AB 的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析（如解法一） ，也可以利用德摩根定理解决（如解法二） 【解答】解法一：（C UA）（C UB）中有 n 个元素，如图所示阴影部分，又U=AB 中有 m 个元素，故 AB 中有 mn 个元素解法二：（C UA） （C UB）=C U（A B）有 n 个元素，又 全集 U=AB 中有 m 个元素，由 card（A）+card（C UA）=card（U）得，card（A B）+card（C U（AB） ）=card（U）得，card（A B）=mn，故选 D【点评】解答此类型题目时，要求对集合的
4、性质及运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：（C UA） （C UB）=C U（A B） （C UA）（C UB）=CU（AB） card（A B）=card（A）+card （B ）card（A B）等4 （5 分） （2009 江西）若函数 ，则 f（x）的最大值是（ ）A1 B2 C D【考点】同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【分析】先对函数 f（x）=（1+ tanx）cosx 进行化简，再根据 x 的范围求最大值【解答】解：f（x）=（1+ tanx）cosx=cosx+ sinx=2sin（x+ ）0x ， x+f（ x）1，2故选 B3【点评】本题主
5、要考查三角函数求最值问题一般都是先将函数式进行化简再求值，这里一定要注意角的取值范围5 （5 分） （2009 江西）设函数 f（x）=g（x）+x 2，曲线 y=g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 y=2x+1，则曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处切线的斜率为（ ）A4 B C2 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率菁优网版权所有【专题】计算题【分析】欲求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处切线的斜率，即求 f（1） ，先求出 f（x） ，然后根据曲线 y=g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 y=2x+1 求出 g（1） ，从而得到f（x）的
6、解析式，即可求出所求【解答】解：f（x）=g（x） +2xy=g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 y=2x+1，g（1）=2，f（1）=g（1）+21=2+2=4，y=f（x）在点（1，f（1） ）处切线斜率为 4故选：A【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题6 （5 分） （2009 江西）过椭圆 + =1（ab0）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，若F 1PF2=60，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】把
7、x=c 代入椭圆方程求得 P 的坐标，进而根据F 1PF2=60推断出 = 整理得e2+2e =0，进而求得椭圆的离心率 e【解答】解：由题意知点 P 的坐标为（c， ）或（ c， ） ，F1PF2=60， = ，即 2ac= b2= （a 2c2） e2+2e =0，4e= 或 e= （舍去） 故选 B【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力7 （5 分） （2009 江西） （1+ax+by） n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243，不含y 的项的系数绝对值的和为 32，则 a，b，n 的值可能为（ ）Aa=2，b= 1， n=5
8、 Ba= 2，b=1，n=6Ca= 1，b=2，n=6 Da=1，b=2 ，n=5【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【分析】据（1+ax+by） n 展开式中不含 x 的项是 n 个（1+ax+by）都不出 ax 即（1+ax+by） n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和就是（1+by） n 展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含 y 的项的系数绝对值的和，列出方程解得【解答】解：不含 x 的项的系数的绝对值为（1+|b|） n=243=35，不含 y 的项的系数的绝对值为（1+|a|） n=32=25，n=5， ，将各选项的参数取值代入验证知， a=1，b=2，n=5故选 D【
9、点评】利用分步乘法原理得展开式中各项的情况8 （5 分） （2009 江西）数列a n的通项 an=n2（cos 2 sin2 ） ，其前 n 项和为 Sn，则S30 为（ ）A470 B490 C495 D510【考点】数列的求和菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为 3，可化简S30，求出值即可【解答】解：由于cos 2 sin2 以 3 为周期，故 S30=（ +32）+（ +62）+ +（ +302）= +（3k） 2= 9k = 25=470故选 A【点评】考查学生会求数列的和，掌握三角函数周期的计算方法59 （5 分） （2
10、009 江西）如图，正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线 Ox，Oy，Oz 上，则在下列命题中，错误的为（ ）AOABC 是正三棱锥 B直线 OB平面 ACDC直线 AD 与 OB 所成的角是 45 D二面角 DOBA 为 45【考点】空间点、线、面的位置菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案【解答】解：对于 A，如图 ABCD 为正四面体， ABC 为等边三角形，又 OA、 OB、 OC 两两垂直， OA面 OBC， OABC过 O 作底面 ABC 的垂线，垂足为 N，连接 AN 交 B
11、C 于 M，由三垂线定理可知 BCAM，M 为 BC 中点，同理可证，连接 CN 交 AB 于 P，则 P 为 AB 中点，N 为底面 ABC 中心，O ABC 是正三棱锥，故 A 正确对于 B，将正四面体 ABCD 放入正方体中，如图所示，显然 OB 与平面 ACD 不平行则答案 B 不正确对于 C，AD 和 OB 成的角，即为 AD 和 AE 成的角，即DAE=45 ，故 C 正确对于 D，二面角 DOBA 即平面 FDBO 与下底面 AEBO 成的角，故FOA 为二面角 DOBA 的平面角，显然 FOA=45，故 D 正确综上，故选：B6【点评】本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平
12、面成的角、二面角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题10 （5 分） （2009 江西）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该食品 5 袋，能获奖的概率为（ ）A B C D【考点】等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】计算题【分析】3 种不同的卡片分别编号 1、2、3，购买该食品 5 袋，能获奖的情况有两种（5 张中有 3 张相同的）12311；12322；12333； （5 张中有 2 张相同的）12312；12313；12323，且两事件互斥，根据概率的加法公式可求【解答】解析：获奖可能情况分
13、两类：12311；12322；12333；12312；12313；12323P1= ，P 2= ，P=P1+P2= = 故选 D【点评】本题主要考查了古典概率的计算，在试验中，若事件的发生不只一种情况，且两事件不可能同时发生，求解概率时，利用互斥事件的概率求解还要熟练应用排列、组合的知识11 （5 分） （2009 江西）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“ 直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率 ”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 1， 2， 3， 4，则下列关系中正确的为（ ）A 1 4 3 2 B 3 4 1 2 C 4 2 3
14、1 D 3 2 4 1【考点】三角形的面积公式菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题7【分析】由题意设出边长，求出四个图形的直径，四个图形的周长，计算它们的比值，即可比较大小【解答】解：由题意，设图形的边长或直径为 a，则第一个图的直径为 a，后三个图形的直径都是 a，第一个封闭区域边界曲线的长度为 4a，所以 t1= ，第二个封闭区域边界曲线的长度为 2，所以 t2= =；第三个封闭区域边界曲线的长度为 a+2 +22 =3a，所以 t3= =3，第四个封闭区域边界曲线的长度为 2 a，所以 t4= =2 ，所以 4 2 3 1故选 C【点评】本题是中档题，考查具体图形的周长的求法，考查计算能
15、力，考查发现问题解决问题的能力12 （5 分） （2009 江西）设函数 的定义域为 D，若所有点（s，f（t） ） （s，tD）构成一个正方形区域，则 a 的值为（ ）A2 B4 C 8 D不能确定【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】常规题型；计算题；压轴题【分析】此题考查的是二次函数的性质问题在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数至于方程的给出要充分利用好“构成一个正方形区域” 的条件【解答】解：由题意可知：所有点（s，f（t） ） （s，t D）构成一个正方形区域，则对于函数 f（x） ，其定义域的 x 的长度和值域的长度是相等的，f（x）的定义域为 ax
16、2+bx+c0 的解集，设 x1、x 2 是方程 ax2+bx+c=0 的根，且 x1x 2则定义域的长度为|x 1x2|= = ，8而 f（x）的值域为0， ，则有 ， ， a=4故选 B【点评】本题考查的是二次函数的性质问题在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、解方程的思想以及运算的能力值得同学们体会反思二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上13 （4 分） （2009 江西）已知向量 =（3，1） ， =（1，3） ， =（k，7） ，若（ ） ，则 k= 5 【考点】平行向量与共线向量菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得
17、=（3k，6） ，由（ ） ，可得（3k，6）= （1，3） ，解出 k 值【解答】解：由题意可得 =（3k，6） ，（ ） ，（ 3k， 6）=（1，3） ，3k=，6=3 ，解得 k=5，故答案为 5【点评】本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到 （3k， 6）=（1， 3） ，是解题的关键14 （4 分） （2009 江西）正三棱柱 ABCA1B1C1 内接于半径为 2 的球，若 A，B 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 8 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由已知中正三棱柱 ABCA1B1C1 内接于半径为 2 的球，若 A，B
18、两点的球面距离为 ，我们易求出 AOB 的大小，进而求出棱柱底面棱长，进而求出棱柱的高和底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案【解答】解：正三棱柱 ABCA1B1C1 内接于半径为 2 的球9又 A， B 两点的球面距离为 ，故 AOB=90，又OAB 是等腰直角三角形，AB=2 ，则 ABC 的外接圆半径为则 O 点到平面 ABC 的距离为正三棱柱高 h= ，又ABC 的面积 S=正三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V=Sh=8故答案为：8【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积公式，球内接多面体，其中根据已知条件计算出棱柱的底面面积和高是解答本题的关键15 （4 分） （2009 江西）若
19、不等式 k（x+2 ） 的解集为区间a，b，且 ba=2，则 k= 【考点】其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，可以从数形结合寻求突破【解答】解：设 y1= ，y 2=k（x+2 ） ，则在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示y1 图象为一圆心在原点，半径为 3 的圆的上半部分，y2 图象为过定点 A（2， ）的直线据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标 x 所对应的集合观察图形，结合题意知 b=3，又 ba=2，所以 a=1，即直线与半圆交点 N 的横坐标为 1，代入 y1= =2 ，所以 N（1，2 ）
20、由直线过定点 A 知直线斜率 k= = 故答案为： 10【点评】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系基本思路是：构造函数 f（x） （或 f（x）与 g（x） ） ，作出 f（x） （或f（x）与 g（x） ）的图象，找出满足题意的曲线（部分） ，曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点16 （4 分） （2009 江西）设直线系 M：xcos +（y2）sin=1（02 ） ，对于下列四个命题：AM 中所有直线均经过一个定点B存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上C对于任意整数 n（n 3） ，存在正 n 边形，其所有边均在 M
21、中的直线上DM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 BC （写出所有真命题的代号） 【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】验证发现，直线系 M：xcos +（y2）sin =1（02 ）表示圆 x2+（y2） 2=1 的切线的集合，AM 中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标C对于任意整数 n（n 3） ，存在正 n 边形，其所有边均在 M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，DM 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出【解答】解：因为点（0，2）到直线系 M：xcos +（y2）sin=1（02 ）中每条直线的距离 d= =1，直线系 M：xcos +（y 2）sin=1（0 2）表示圆x2+（y 2） 2=1 的切线的集合，A由于直线系表示圆 x2+（y 2） 2=1 的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故 A 不正确；B存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上，观察知点 M（0，2）即符合条件，故 B 正确；
