1、2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题共 60 分）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1已知 ，0） ， ，则 （ ）2(x4cosx2tgx（A） （B） （C） （D）47777242圆锥曲线 的准线方程是 （ ）2cosin8（A） （B） （C） （D）2cossin2sin3设函数 ，若 ，则 的取值范围是 （ ）21)(xf01)(0
2、xf0（A） （ ，1） （B） （ ， ） （C） （ ， ） （0， ） （D） （ ， ） （1， ）4函数 的最大值为 （ ）)cos(insy（A） （B） （C） （D） 2215已知圆 C： （ ）及直线 ： ，当直线 被 C 截得的弦4)2()(yax0al03yxl长为 时，则 （ ）3（A） （B） （C） （D）2212126已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）2249238R237已知方程 的四个根组成一个首项为 的的等差数列，则0)(nxmx 41（ ）|n（A）1 （B） （C） （D）43
3、21838已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0） ，直线 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的71xy横坐标为 ，则此双曲线的方程是 （ ）32（A） （B） （C） （D）14yx132yx25152y9函数 ， 的反函数 （ ）xfsin)(23,)(1xf（A） ，1 （B） ，1arc1arcsin1x（C） ，1 （D） ，1xsi10已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点 沿与0PAB 的夹角 的方向射到 BC 上的点 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 、 和 （入射角等1P234于反射角）
4、 ，设 的坐标为（ ，0） ，若 ，则 tg 的取值范围是 44x4x（ ）（A） （ ，1） （B） （ ， ） （C） （ ， ） （D） （ ， ）331252153211 （ ）)(lim1143122nnC（A）3 （B） （C） （D）612一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）2（A） （B） （ C） （D）43二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。13 的展开式中 系数是 92)1(x9x14使 成立的 的取值范围是 log215如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使
5、用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）16下列 5 个正方体图形中， 是正方体的一条对角线，l点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 面 MNP 的图形的序号是 （写出所有l符合要求的图形序号） PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM21 534三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知复数 的辐角为 ，且 是 和 的等比中项，求z0|1|z|2z|z18 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ，1CBA90ACB21AD、E 分
6、别是 与 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G1C（I） 求 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II） 求点 到平面 AED 的距离119 （本小题满分 12 分）已知 ，设0cP：函数 在 R 上单调递减xyQ：不等式 的解集为 R1|2|c如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 的取值范围20 （本小题满分 12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南）方向 300km 的海面 P 处，并以102arcos(20km/h 的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭45的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并
7、以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21 （本小题满分 14 分）DEKBC1A1B1A FCGO北东Oy线岸OxPOr(t)P45海已知常数 ，在矩形 ABCD 中， ， ， O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在0a4ABaCBC、CD、DA 上移动，且 ，P 为 GE 与 OF 的交点（如图） ，问是否存在两个定点，使 P 到DCFE这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。22 （本小题满分 12 分，附加题 4 分）（I）设 是集合 且 中所有的数从小到大排列成的数列，即na|2tsts0Z,， ， ， ，
8、， ，31526394a1526a将数列 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：n35 69 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；求 10a（II） （本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）设 是集合 ，且 中所有的数从小到大排列成的数列，已nbtsrtsr 0|2,Ztr知 ，求 .160kk2003 年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1D 2C 3D 4A 5C 6B 7C 8D 9D 10C 11B 12A二、填空题13 14 （-1，0） 1572 16三、解答题：17 解：设 ，则复数 由
9、题设)60sincorrz.2rz的 实 部 为 2,rz.1|).(1,2:.012 ,4,|(| rrz即舍 去解 得整 理 得 即OPAGD FECB xy18 （）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， .32arcsin136sin.,2.)4(.3,1,3, ,1221所 成 的 角 是与 平 面于 是 分 中在 直 角 三 角 形的 重 心是连 结 为 矩 形平 面又的 中 点分 别 是 ABDEGEBCFFDDEABCEFC（）解： , FABEF又 .362362, ,
10、. ., 1111 111 的 距 离 为到 平 面中在 的 距 离到 平 面是即平 面垂 足 为作 面且 面平 面平 面面又面 EDABKAKDE AEB 19解：函数 在 R 上单调递减xcy.0c不等式 .1|2|1|2| 上 恒 大 于在函 数的 解 集 为 Rcxy ).,120(.1,.210, |,| 的 取 值 范 围 为所 以则正 确且不 正 确如 果则不 正 确且正 确如 果 的 解 集 为不 等 式上 的 最 小 值 为在函 数 cQPcQP cRxyc20解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻：（1）台风中心 P（ ）的坐标为yx,.20173
11、,ty此时台风侵袭的区域是 ,)()22trx其中 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有,601)(tr即.)(0222yx 22 )0173()013( tt4,8,)( tt 解 得即答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值.按题意有 A（2，0） ，B（2，0） ，C（2，4a） ，D（2，4a）设 )10(kDACFBE由此有 E（2，4 ak） ，F（24k，4 a） ，G（2，4 a4ak）直线 OF 的方程为：)1(yx直线 GE 的方程为： 0)1(yx从，消
12、去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程 022ayxa整理得 当 时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.1)(22ayx2当 时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。当 时，点 P 到椭圆两个焦点（ 的距离之和为定值 。21a ),21(),aa2当 时，点 P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值 2 . ),0()a22 （本小题满分 12 分，附加题 4 分）（）解：（i）第四行 17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48（i i）解：设 ，只须确定正整数 0210tsa.,0ts数列 中小于 的项构成的子集为 n0t ,|20t t其元素个数为 满足等式的最大整数 为 14，所以取.1)(,2)(00 tCt依 题 意.140t因为 100 .16402,8s,1814000214 as由 此 解 得（）解： 令637kb |B,(6|r tsrCBcMts其 中因 .2|2| 371071071010 cccB现在求 M 的元素个数： ,ttsr其元素个数为 ： 310C.|10710src某元素个数为 30|222|: 7103727 rc r某元素个数为 .1453731010Ck
