1、12010 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 A=xR|x|2， ，则 AB= （ ）A （0 ，2 ） B0，2 C0，2 D0，1，22 （5 分）已知复数 ， 是 z 的共轭复数，则 =（ ）A B C1 D23 （5 分）曲线 y= 在点（1， 1）处的切线方程为（ ）Ay=2x+1 By=2x1 Cy=2x 3 Dy=2x24 （5 分）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（， ） ，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（
2、 ）A B CD5 （5 分）已知命题 p1：函数 y=2x2x 在 R 为增函数， p2：函数 y=2x+2x 在 R 为减函数，则在命题 q1：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：（ p 1）p 2 和2q4：p 1（p 2）中，真命题是（ ）Aq 1，q 3 Bq 2，q 3 Cq 1，q 4 Dq 2，q 46 （5 分）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（ ）A100 B200 C300 D4007 （5 分）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ）A
3、B C D8 （5 分）设偶函数 f（x）满足 f（x）=2 x4（x0） ，则x|f （x2）0 =（ ）Ax |x 2 或 x4 Bx|x0 或 x4 Cx|x0 或 x6Dx |x2 或 x29 （5 分）若 ， 是第三象限的角，则 =（ ）A B C2 D 210 （5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面3上，则该球的表面积为（ ）Aa 2 B C D5a 211 （5 分）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等，且f（a）=f（b） =f（c ） ，则 abc 的取值范围是（ ）A （1 ，10 ） B （5，6） C （10，12） D （20，24）1
4、2 （5 分）已知双曲线 E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N（12，15） ，则 E 的方程式为（ ）A B C D二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）设 y=f（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有 0f（x ）1，可以用随机模拟方法近似计算积分 ，先产生两组（每组 N 个）区间0，1 上的均匀随机数 x1，x 2，x N 和 y1，y 2，y N，由此得到 N 个点（x i，y i）（i=1，2，N） ，再数出其中满足 yif（x i） （i=1，2， ，N）的点数 N1
5、，那么由随机模拟方案可得积分 的近似值为 14 （5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种）15 （5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 xy=1 相切于点 B（2，1） ，则圆 C 的方程为 16 （5 分）在ABC 中， D 为边 BC 上一点，BD= DC，ADB=120 ，AD=2，若ADC 的面积为 ，则BAC= 三、解答题（共 8 小题，满分 90 分）17 （12 分）设数列满足 a1=2，a n+1an=322n14（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn=nan，求数列 bn的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰
6、梯形，ABCD，ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高， E 为 AD 中点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值19 （12 分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：性别是否需要志愿 男 女需要 4030不需要 160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：P（
7、 k2k）0.0 0.010 0.0015k 3.841 6.635 10.82820 （12 分）设 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，过 F1斜率为 1 的直线 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列（1）求 E 的离心率；（2）设点 P（0，1）满足|PA|= |PB|，求 E 的方程21 （12 分）设函数 f（x）=e x1xax2（1）若 a=0，求 f（x）的单调区间；（2）若当 x0 时 f（x）0，求 a 的取值范围22 （10 分）如图：已知圆上的弧 ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：（）ACE=BCD
8、（）BC 2=BECD23 （10 分）已知直线 C1 （t 为参数） ，C 2 （ 为参数） ，（）当 = 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；（）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当 变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线24 （10 分）设函数 f（x）=|2x 4|+1（）画出函数 y=f（x）的图象：（）若不等式 f（x） ax 的解集非空，求 a 的取值范围62010 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2010宁夏）已知集合 A=xR
9、|x|2， ，则AB=（ ）A （0 ，2 ） B0，2 C0，2 D0，1，2【分析】先化简集合 A 和 B，注意集合 B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解【解答】解：A=x R|x|2，= xR|2x2，故 AB=0，1，2应选 D2 （5 分） （2010宁夏）已知复数 ， 是 z 的共轭复数，则=（ ）A B C1 D2【分析】因为 ，所以先求|z|再求 的值【解答】解：由 可得 另解：故选 A73 （5 分） （2010宁夏）曲线 y= 在点（ 1，1）处的切线方程为（ ）Ay=2x+1 By=2x1 Cy=2x 3 Dy=2x2【分析】欲求在点（1， 1）处的切线方程
10、，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y= ，y= ，所以 k=y|x=1=2，得切线的斜率为 2，所以 k=2；所以曲线 y=f（x）在点（ 1，1）处的切线方程为：y+1=2（x+ 1） ，即 y=2x+1故选 A4 （5 分） （2010新课标）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ ， ） ，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（ ）A B C8D【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离
11、来确定答案【解答】解：通过分析可知当 t=0 时，点 P 到 x 轴距离 d 为 ，于是可以排除答案 A，D，再根据当 时，可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0，排除答案B，故应选 C5 （5 分） （2010宁夏）已知命题 p1：函数 y=2x2x 在 R 为增函数，p 2：函数y=2x+2x 在 R 为减函数，则在命题 q1：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：（p 1）p 2和 q4：p 1（p 2）中，真命题是（ ）Aq 1，q 3 Bq 2，q 3 Cq 1，q 4 Dq 2，q 4【分析】先判断命题 p1 是真命题，P 2 是假命题，故 p1p 2
12、 为真命题， （ p2）为真命题，p 1（p 2）为真命题【解答】解：易知 p1 是真命题，而对 p2：y=2 xln2 ln2=ln2（ ） ，当 x0，+）时， ，又 ln20，所以 y0，函数单调递增；同理得当 x（ ，0）时，函数单调递减，故 p2 是假命题由此可知，q 1 真，q 2 假，q 3 假，q 4 真故选 C6 （5 分） （2010宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（ ）9A100 B200 C300 D400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都
13、为 0.9，现播种了 1000粒，即不发芽率为 0.1，故没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B（1000， 0.1） 又没发芽的补种 2 个，故补种的种子数记为 X=2，根据二项分布的期望公式即可求出结果【解答】解：由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B （1000 ，0.1） 而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X故 X=2，则 EX=2E=210000.1=200故选 B7 （5 分） （2010新课标）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ）A B C D【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作
14、用是累加并输出 S= 的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，10再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S= 的值S= =1 =故选 D8 （5 分） （2010新课标）设偶函数 f（x）满足 f（x ）=2 x4（x0） ，则x|f（x2）0=（ ）Ax |x 2 或 x4 Bx|x0 或 x4 Cx|x0 或 x6Dx |x2 或 x2【分析】由偶函数 f（x）满足 f（x）=2 x4（x0） ，可得 f（x ）=f （|x |）=2|x|4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案【解答】解：由偶函数 f（x ）满足 f（x）=2 x4（x0） ，可得 f（x ）=f （|x |）=2|x|4，则 f（x2 ）=f （|x2|）=2 |x2|4，要使 f（|x 2|） 0，只需 2|x2|40，|x2|2解得 x4，或 x0应选：B9 （5 分） （2010宁夏）若 ， 是第三象限的角，则 =（ ）A B C2 D 2【分析】将欲求式 中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角 与
