1、12010 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1 （5 分） （2010 天津）i 是虚数单位，复数 =（ ）A1+i B5+5i C 55i D1i【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将 i2 改为1 【解答】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将 i2改为1 = 故选 A【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，2 个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数2 （5 分） （2010
2、 天津）函数 f（x）=2 x+3x 的零点所在的一个区间是（ ）A （2， 1） B （ 1，0） C （0，1） D （1，2）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数零点的判定定理求得函数 f（x）=2 x+3x 的零点所在的一个区间【解答】解：由 ，以及及零点定理知，f（x）的零点在区间（1， 0）上，故选 B【点评】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题3 （5 分） （2010 天津）命题“若 f（x）是奇函数，则 f（x）是奇函数”的否命题是（ ）A若 f（x）是偶函数，则 f（x）是偶函数B若 f
3、（x）不是奇函数，则 f（x）不是奇函数C若 f（x）是奇函数，则 f（x）是奇函数2D若 f（ x）不是奇函数，则 f（x）不是奇函数【考点】四种命题菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】用否命题的定义来判断【解答】解：否命题是同时否定命题的条件结论，故由否命题的定义可知 B 项是正确的故选 B【点评】本题主要考查否命题的概念，注意否命题与命题否定的区别4 （5 分） （2010 天津）阅读如图的程序框图，若输出 s 的值为7，则判断框内可填写（ ）Ai3 Bi4 Ci5 Di6【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权所有【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用
4、，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量 i 的值到 S 并输出 S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S i循环前/2 1第一圈 是 1 3第二圈 是2 5第三圈 是7 7第四圈 否所以判断框内可填写“i6” ，故选 D3【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误5 （5 分） （2010 天津）已知
5、双曲线 的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A BC D【考点】双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 x=6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在 x 轴上，则双曲线的左焦点为（6，0） ，此时由双曲线的性质 a2+b2=c2 可得 a、b 的一个方程；再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x，可得 = ，则得 a、b 的另一个方程那么只需解 a、b 的方程组，问题即可解决【解答】解：因为抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=6，则由题意知，点 F（ 6，0）是
6、双曲线的左焦点，所以 a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是 y= x，所以 ，解得 a2=9，b 2=27，所以双曲线的方程为 故选 B【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质6 （5 分） （2010 天津）已知a n是首项为 1 的等比数列，S n 是a n的前 n 项和，且9S3=S6，则数列 的前 5 项和为（ ）A 或 5 B 或 5 C D4【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的性质菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列求和公式代入 9s3=s6 求得 q，进而根据等比数列求和公式求得数列的前 5 项和【解答】解：显然 q1，所
7、以 ，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列，前 5 项和 故选：C【点评】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用7 （5 分） （2010 天津）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若a2b2= bc，sinC=2 sinB，则 A 的值为（ ）A B C D【考点】余弦定理；正弦定理菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】先利用正弦定理化简 sinC=2 sinB，得到 c 与 b 的关系式，代入中得到 a2 与 b2 的关系式，然后利用余弦定理表示出 cosA，把表示出的
8、关系式分别代入即可求出 cosA 的值，根据 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A的值【解答】解：由 sinC=2 sinB 得：c=2 b，所以 = 2 b2，即 a2=7b2，则 cosA= = = ，又 A（0，） ，所以 A= 故选 A【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，根据三角函数的值求角，是一道基础题58 （5 分） （2010 天津）若函数 f（x）= ，若 f（a）f（a） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1， 0）（0，1） B （ ，1）（1，+ ） C （ 1，0） （1，+）D （ ， 1）（0，1）【考点】对数值
9、大小的比较菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论【解答】解：由题意故选 C【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错9 （5 分） （2010 天津）设集合 A=x|xa|1，xR，B=x|xb| 2，xR若 AB，则实数 a，b 必满足（ ）A|a+b|3 B|a+b| 3 C|ab| 3 D|a b|3【考点】集合的包含关系判断及应用；绝对值不等式的解法菁优网版权所有【
10、专题】集合【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合 A、B，再结合 AB，观察集合区间的端点之间的关系得到不等式，由不等式即可得到结论【解答】解：A=x|a 1x a+1，B=x|xb 2 或 xb+2，6因为 AB，所以 b2a+1 或 b+2a1，即 ab3 或 ab3，即|a b|3故选 D【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题温馨提示：处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解10 （5 分） （2010 天津）如图，用四种不同颜色给图中的 A，B，C，D，E，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色
11、方法用（ ）A288 种 B264 种 C240 种 D168 种【考点】排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】排列组合【分析】由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当 B，D，E，F 用四种颜色，B，D，E，F 用三种颜色，B ，D ，E，F 用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果【解答】解：图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，B，D，E，F 用四种颜色，则有 A4411=24 种涂色方法；B，D，E，F 用三种颜色，则有 A4322+A43212=192 种涂色方法；B，D，E，F 用两种颜色，则有
12、 A4222=48 种涂色方法；根据分类计数原理知共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法【点评】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题近两年天津卷中的排列、组合问题均处于压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）11 （4 分） （2010 天津）甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 24 和 23 7【考点】茎叶图；众数、中位数
13、、平均数菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口，根据所给的茎叶图看出两组数据，代入平均数个数求出结果，这是一个送分的题目【解答】解：由茎叶图知，甲加工零件个数的平均数为 ；乙加工零件个数的平均数为 故答案为：24；23【点评】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题考查最基本的知识点12 （4 分） （2010 天津）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】立体几何【
14、分析】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉 【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥组成的组合体，因为正四棱柱的体积为 2，正四棱锥的体积为 ，所以该几何体的体积 V=2+ = ，故答案为： 8【点评】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题13 （4 分） （2010 天津）已知圆 C 的圆心是直线 xy+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线x+y+3=0 相切则圆 C 的方程为 （x+1） 2+y2=2 【考点】圆的标准方程菁优网
15、版权所有【专题】直线与圆【分析】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可【解答】解：令 y=0 得 x=1，所以直线 xy+1=0，与 x 轴的交点为（ 1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，所以圆 C 的方程为（x+1） 2+y2=2；故答案为（x+1） 2+y2=2【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题14 （4 分） （2010 天津）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P，若 ，则 的值
16、为 【考点】圆內接多边形的性质与判定菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】由题中条件：“四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形”可得两角相等，进而得两个三角形相似得比例关系，最后求得比值【解答】解：因为 A，B，C，D 四点共圆，所以DAB=PCB， CDA=PBC，因为P 为公共角，所以PBCPDA，所以 设 PB=x，PC=y，则有 ，所以 故填： 9【点评】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题温馨提示：四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点15 （4 分） （2010 天津）如图，在 ABC 中，AD AB， ，
17、，则= 【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题【解答】解： ， ， ， ，cosDAC=sinBAC，在ABC 中，由正弦定理得 变形得|AC|sinBAC=|BC|sinB，=|BC|sinB= = ，故答案为 【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题16 （4 分） （2010 天津）设函数 f（x）=x 21，对任意 x ，+） ，f（ ）4m 2f（x）f（x1）+4f（m）恒成立，则实数 m 的取值范围是 【
18、考点】函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】依据题意得 在上恒定成立，即 在 上恒成立，求出函数函数 的最小值即可求出 m 的取值10【解答】解：依据题意得 在上恒定成立，即 在 上恒成立令 g（x）= ，g（x）= ， ，g（x）0当 时，函数 取得最小值 ，所以 ，即（3m 2+1） （ 4m23） 0，解得 或 ，故答案为：（， ，+ ） 【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解三、解答题（共 6 小题，满分 76 分）17 （12 分） （2010 天津）已知函数 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1（xR ）（）求函数 f（x）的最小正周期及在区间 0， 上的最大值和最小值；（）若 f（x 0）= ，x 0 ， ，求 cos2x0 的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】先将原函数化简为 y=Asin（x+）+b 的形式（1）根据周期等于 2 除以 可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间0， 上的最值（2）将 x0 代入化简后的函数解析式可得到 sin（2x 0+ ）= ，再根据 x0 的范围可求出cos（2x 0+ ）的值，最后由 cos2x0=cos（2x 0+ ）可得答案
